在平面直角坐标系中两线段之差最值问题

1．下列四个说法：①两点之间，直线最短；②直线外一与直线上各连接的所有线段中，垂线段最短； ③连接两点的线段，叫做两点的距离；

④从直线外一这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．

其中正确的是（ ）

A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④ 2

．已知线段AB=8cm，回答下列：

（1）是否存在点C ，使它A 、B 的和等于6cm ，为什么？

（2）是否存在点C ，使它A 、B 的和等于8cm ，点C 的位置应该在哪里？为什么？这样的点C 有多少个？

3．在平面直角坐标系中的点A （0，2），B （4，1）．在X 轴上取P ，使得P 点A ，B 的和最小， 求这个最小值

4. 已知A （1，5），B （3，-1）两点，在x 轴上取一点M ，使AM-BM 取得最大值时，则M 的坐标为

5．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 间的表示为AB ，在数轴上A 、B 间的

AB=|a-b|．

回答下列：

（1）数轴上表示2和5间的是 ，数轴上表示1和-3的间的是

（2）数轴上表示x 和-2的间的表示为

（3）若x 表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．

6．如图，已知直线l 及其两侧A 、B ．

（1）在直线l 上求O ，使A 、B 和最短；

（2）在直线l 上求P ，使PA=PB；

（3）在直线l 上求Q ，使l 平分∠AQB ．

7. 在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知抛

物线的对称轴为x=1，B （3，0），C （0，-3）．

（1）求这个抛物线的解析式；（2）在x 轴上方平行于x 轴的一条直线交抛物线于

M ，N 两点，以MN 为直径作圆与x 轴相切，求此圆的直径；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B ，C 两点间的距离之差最

大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，直线AB 过点A （m ，0），B （0，n ）（m ＞0，n ＞0）．反比例函数y=

的图象与AB 交于C 、D ．P 为双曲线y= m

上任，过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，PR ⊥y 轴

各自的要求解答．

（1） 若m+n=10，n 为何值时△AOB 面积最大，是多少？

（2）若S △AOC =S△COD =S△DOB ，求n 的值；

（3）在（2）的条件下，过O 、D 、C 三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为

x=1时，矩形PROQ 的面积是多少？

（2） x 于R ．请分别按（1）、（2）、（3）m x

1. 在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为x=1，B （3，

0），C （0，-3）．

（1）求这个抛物线的解析式；（2）在x 轴上方平行于x 轴的一条直线交抛物线于M ，N 两点，以MN 为直径作圆与x 轴相切，求此圆的直径；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B ，C 两点间的距离之差最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2.

3.

4. 解：（1）设抛物线的解析式为：

y=a（x-1）2+c，

把B （3，0），C （0，-3）代入得：

a(3-1)2+c=0

a(0-1)2+c=-3 ．

解得a=1，c=-4

∴抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，

即y=x2-2x-3．

（2）设圆的半径为r ，依题意有M （1-r ，r ），N （1+r，r ）

把M 的坐标代入y=x2-2x-3

整理，得r

2

-r-4=0，

解得r1=

1+

17

2

，

1-

17

2

（舍去）

∴所求圆的直径为1+

17

．

（3）存在．

∵由对称性可知，A 点的坐标为（-1，0）

∵C 点坐标为（0，-3），

∴直线AC 的解析式为y=-3x-3（11分）

∵P 点在对称轴上，

设P 点坐标为（1，y ）

代入y=-3x-3，

求得P 点坐标为（1，-6）．

y=a（x-1）2+c，

把B （3，0），C （0，-3）代入得：

a(3-1)2+c=0

a(0-1)2+c=-3 ．

解得a=1，c=-4 ∴抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，

即y=x2-2x-3．

（2）设圆的半径为r ，依题意有M （1-r ，r ），N （1+r，r ）

把M 的坐标代入y=x2-2x-3

整理，得r 2-r-4=0，

解得r1=

1+

17

2

，

1-

17

2

（舍去）

∴所求圆的直径为1+

17

．

（3）存在．

∵由对称性可知，A 点的坐标为（-1，0）

∵C 点坐标为（0，-3），

∴直线AC 的解析式为y=-3x-3（11分） 解：（1）设抛物线的解析式为：

∵P 点在对称轴上，

设P 点坐标为（1，y ）

代入y=-3x-3，

求得P 点坐标为（1，-6）

．19．已知关于的四种说法：

①连接的线段长度叫做间的；

②连接直线外的点和直线上的点的线段叫做点直线的；

③从直线外所引的这条直线的垂线叫做点直线的；

④直线外这条直线的垂线段叫做这点直线的．

其中正确的有（ ）

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

22．如图，已知直线l 及其两侧A

、B ．

（1）在直线l 上求O ，使A 、B 和最短；

（2）在直线l 上求P ，使PA=PB；

（3）在直线l 上求Q ，使l 平分∠AQB ．

显示解析试题篮解：（1）连接AB ，线段AB 交直线l 于点O ，

∵点A 、O 、B 在一条直线上，

∴O 点即为所求点；

（2）连接AB ，

分别以A 、B 两点为圆心，以任意长为半径作圆，两圆相交于C 、D 两点，连接CD 与直线l 相交于P 点， 连接BD 、AD 、BP 、AP 、BC 、AC ，

∵BD=AD=BC=AC，

∴△BCD ≌△ACD ，

∴∠BED=∠AED=90°，

∴CD 是线段AB 的垂直平分线，

∵P 是CD 上的点，

∴PA=PB；

（3）作B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 与点Q ，连接BQ ，

∵B 与B′两点关于直线l 对称，

∴BD=B′D，DQ=DQ，∠BDQ=∠B′DQ，

∴△BDQ ≌△B′DQ，

∴∠BQD=∠B′QD，即直线l 平分∠AQB ．

点评：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关键．37．（1）阅读下面材料：

点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 间的表示为AB ．

当A 、B 中有在原点时，不妨设点A 在原点，

如图甲，AB=OB=|b|=|a-b|；

当A 、B 都不在原点时，

1 如图乙，点A 、B 都在原点的右边，

AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|；

②如图丙，点A 、B 都在原点的左边，

AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a ）=|a-b|；

③如图丁，点A 、B 在原点的两边

AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b ）=|a-b|．

综上，数轴上A 、B 间的AB=|a-b|．

（2）回答下列：

①数轴上表示2和5的间的是

，数轴上表示-2和-5的间的是

，数轴上表示1和-3的间的是

；

②数轴上表示x 和-1的分别是点A 和B ，则A 、B 间的是

，如果|AB|=2，那么x=

；

③当代数式|x+2|+|x-5|取最小值时，相应的x 的取值范围是

．

④当代数式|x-1|+|x+2|+|x-5|取最小值时，相应的x 的值是

．

⑤当代数式|x-5|-|x+2|取时，相应的x 的取值范围是

．

显示解析试题篮：①、根据（1）中的知识可以得到两点之间的距离就是较大的数与较小的数的差，据此即可求解；

②、根据（1），即可直接写出结果；

③、|x+2|+|x-5|表示数轴上一点到-2与5两点的距离的和，当这点是-2或5，以及它们之间时和最小，最小距离是-2与5之间的距离；

④、代数式|x-1|+|x+2|+|x-5|表示数轴上一点到1、-2与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当x=1时和最小，最小值是5到-2的距离；

⑤、代数式|x-5|-|x+2|表示数轴上一点到5与-2两点的距离的差，当点不在-2与5之间时差最大，最大值是5与-2之间的距离．

解答：解：①.5-2=3，-2-（-5）=3，1-（-3）=4；

②、|x+1|，|x+1|=2则x=1或-3；

③|x+2|+|x-5|表示数轴上一点到-2与5两点的距离的和，当这点在-2和5之间时和最小，最小距离是：5-（-2）=7；

④代数式|x-1|+|x+2|+|x-5|表示数轴上一点到1、-2与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当x=1时和最小，最小值是5到-2的距离，是5-（-2）=7；

⑤代数式|x-5|-|x+2|表示数轴上一点到5与-2两点的距离的差，当点不在-2与5之间时差最大，最大值是5

与-2之间的距离，是7．

故答案是：①3，3，4；

②|x+1|，1或3；

③7；

④7；

⑤7．

（2012•内江）已知A （1，5），B （3，-1）两点，在x 轴上取一点M ，使AM-BM 取得最大值时，则M 的坐标为

（

7

2

，0）

7

2 ．

考点：一次函数综合题；三角形三边关系；关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．

分析：作点B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′并延长与x 轴的交点，即为所求的M 点．利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出其与x 轴交点的坐标，即M 点的坐标．

解答：解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′并延长与x 轴的交点，即为所求的M 点．此时AM-BM=AM-B′M=AB′．

不妨在x 轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B′．

则M′A-M′B=M′A-M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．

∴M′A-M′B＜AM-BM ，即此时AM-BM 最大．

∵B′是B （3，-1）关于x 轴的对称点，∴B′（3，1）．

设直线AB′解析式为y=kx+b，把A （1，5）和B′（3，1）代入得：

k+b=5

3k+b=1 ，解得

k=-2

b=7 ，

∴直线AB′解析式为y=-2x+7．

23．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 间的表示为AB ，在数轴上A 、B 间的AB=|a-b|．

回答下列：

（1）数轴上表示2和5间的是

，数轴上表示1和-3的间的是

；

（2）数轴上表示x 和-2的间的表示为

；

（3）若x 表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． ☆☆☆☆☆显示解析解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是|5-2|=3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4；

（2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x 和-2的两点之间的距离表示为|x-（-2）|=|x+2|或|-2-x|=|x+2|；

（3）根据绝对值的定义有：|x-1|+|x+3|可表示为点x 到1与-3两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当x 在-3与1之间时，|x-1|+|x+3|有最小值4．

30．在平面直角坐标系中的点A （0，2），B （4，1）．在X 轴上取P ，使得P 点A ，B 的和最小， 求这个最小值

．47．（2003•吉林）如图，直线AB 过点A （m ，0），B （0，n ）（m ＞0，n ＞0）．反比例函数y= m

x

的图象与AB 交于C 、D ．P 为双曲线y=

m

x

上任，过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，PR ⊥y 轴于R ．请分别

（3）各自的要求解答．

（1）若m+n=10，n 为何值时△AOB 面积最大，是多少？

（2）若S △AOC =S△COD =S△DOB ，求n 的值； 按（1）、（2）、

（3）在（2）的条件下，过O 、D 、C 三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ 的面积是多少？

☆☆☆☆☆显示解析41．已知线段AB=8cm，回答下列：

（1）是否存在点C ，使它A 、B 的和等于6cm ，为什么？

（2）是否存在点C ，使它A 、B 的和等于8cm ，点C 的位置应该在哪里？为什么？这样的点C 有多少个？ 显示解析试题篮