(全面详细有用的)高等测量平差 论文
高等测量平差作业
目录
前言---------------------------------------------------------第2页 （一）平差模型的假设检验---------------------------第3页 ● 1.1平差模型的假设检验的一些基本概念和原则------------------------------------------------------------第3页 ● 1.2 t 检验法和算例分析--------------------------第4页
✧ 1.2.1适用对象---------------------------第4页 ✧ 1.2.2算例----------------------------------第4页
● 1.3
2检验法和算例分析-------------------------第
5页
✧ 1.3.1适用对象---------------------------第6页 ✧ 1.3.2算例----------------------------------第6页
● 1.4 F 检验法和算例分析--------------------------第9页
✧ 1.4.1适用对象---------------------------第9页 ✧ 1.4.2算例---------------------------------第9页
（二）平差模型的稳健估计---------------------------第10页
2.1平差模型的稳健估计一些概念--------------第10页
2.2平差模型的稳健估计残差绝对和最小法，丹麦法，IGG 法分析及算例------------------------------------第10页 （三）参考文献-------------------------------------------第20页
前言：
“高等测量平差”课程是“误差理论与测量平差基础”的后续课程。通过学习“误差理论与测量平差基础”，我了解了五中经典的平差方法，以及精度评定的方法。在学习高等测量平差之前的数据处理中，条件是假定已经消除了系统误差而且不存在粗差的理想状态，即仅仅含有偶然误差。但在实际测量中，随着科学技术的不断发展，数据采集的现代化、自动化和高精度化，使得有时候经典平差模型不能适应实际问题的需要。因此测量平差的研究内容也在不断扩展。
通过【文献1】可知现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心, 通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法。由【文献2】可知，测量平差内容的扩展主要体现在以下七个方面，一是从法方程系数矩阵满秩扩展到秩亏。二是从处理静态数据扩展到动态数据。三是无偏估计扩展到有偏估计。四是从线性模型的参数估计扩展到非线性模型的参数估计。五是从待估参数为非随机量扩展为随机量。六是观测值从偶然误差扩展到含系统误差和粗差。七是主要研究函数模型扩展到深入研究随机模型。八是从最小二乘准则扩展到其他多种准则。
本文通过选取【文献2】中的例题，从平差模型的统计假设检验和稳健估计的理论与方法两个方面，通过自己实际计算，加深了对高等平差的理解。不足之处是没有对回归分析的理论与方法，秩亏自由网平差的理论和方法，以及非线性模型的平差理论与方法进行解释性的学习。按照终身学习的理念，我将努力在以后弥补本文的不足，争取掌握高等测量平差的方法，更好的为测绘事业努力奋斗。
1.1平差模型的假设检验的一些基本概念和原则
一个完整的最优的平差系统，除了采用最小二乘精度准则对平差参数进行最优估计外，还要保证观测数据的完整性和平差模型的合理性与精确性。后者要借助于数理统计方法，对观测数据和平差数学模型进行假设检验，是保证平差系统质量的一个重要组成部分。
统计假设检验的基本原理是小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的。假设检验主要用来解决的问题类型为：母体数学期望是否与一数值一致；两个或者多个母体的数学期望是否相同；母体的方差是否与某一数值一致；两个或者多个母体的方差是否相同等；
假设检验的方法是，先做一个原假设, 然后找一个适当的子样函数作为检验统计量，如果在成立的条件下，由子样计算出的统计量数值出现的概率很小，则根据小概率事件原理可拒绝原假设。
假设统计检验时可能发生如下情况。当为真时，由于抽样误差所算得的统计量不落在的接受域，从而做出拒绝的错误判断，称为第一类错误，即弃真错误。弃真的概率为，即落在拒绝域的概率。所以是否被接受与的大小有关，越大则被拒绝的机会越多。
如果被检验问题为真，而子样统计函数落在接受域，就犯了纳伪的错误，称之为第二类错误。纳伪的概率为（以右尾检验为例，见下图），即密度曲线下（的）接受域所围面积。
由上可知，统计假设检验做出的判断不是绝对的，做判断无法不冒一定的风险。加上抽样的随机性，第一和第二类错误都是不可避免的。
显著性水平的选择，应该按照实际问题而定。一般取值为0.005,0.01，0.001三个数值。当认为实际观测值与原假设有一些不符合，就应该拒绝的严格要求，则可选用较大的，如果不应该轻易拒绝，
则选用较小的。此外，在不改变的前提下，应该尽可能使减小，让检
验功效增大，这是拒绝域选择的基本原则。
平差模型假设检验中常用的统计量有标准正态分布统计量，卡埃平方（χ2）分布统计量，学生（t ）分布统计量等。平差模型常用的假设检验方法有检验法，检验法，检验法，检验法等。下边列出具体的算例。
● 1.2t 检验法和算例分析
● 1.2.1适用对象
如果平差平差模型的母体单位权方差σ02已知，要检验其中一个参数的理论值是否与一已知常数相符，就采用t 检验法。
● 1.2.2算例
例2-5. 为了比较两类激光测距仪，同一条边进行了测距，A 仪器对该边施测了4测回，得到平均值=1287.689m, 一测回标准误差估
142
ˆx =值为σ=7mm；B 仪器对该边施测了6测回，得到平(x -) ∑i
4-1i =1
均值为=1287.676m ，一测回标准差估值为
14
ˆy =σ(y i -) 2=11mm;问这两类测距仪施测的边长是否有显著∑6-1i =1
差别？
解：由题可知，要求检验E () =E () ，故做出原假设和备选假设为
H 0:E () -E () =0
H 1:E () -E () ≠0
做出统计量t, 有
t (f ) =
(-) -0
σ(-)
（1-1）
ˆ(-) ： 计算差数-的标准差估计σ
22
ˆy σˆx σ1122
ˆ=ˆ==∑x i σ； =∑y i σ 4444
72112ˆˆ+σˆ=+ˆ(-) = 5.6936 σ=σ= 32.4167；σ(-) 46
2
2
2代入（1-1）得t (f ) =
(-) -0
σ(-)
=
13
=2.2833，f =4+6-2=8 5. 6936
以α=0. 05,
f =10查t 分布表得t α=2. 23
2
以α=0. 01,
f =10查t 分布表得t α=3. 17
2
因为t (f ) 2. 23，所以在α=0. 01受H 0，两仪器测距无明显差别，其13mm 差值应该属于偶然误差造成的；在α=0. 05下判断，13mm 中可能存在系统误差。
由此可知，α的取值应该按照实际选取，这种检验应该在不同的环境下多做检验并分析作出判断。
1.3χ检验法和算例分析
2
● 1.3.1适用对象：平差系统的母体单位权方差σ02已知，要检
2ˆ0验通过平差获得的σ（验后方差）是否与已知的σ02一致，称
为验前验后方差一致性检验，就要采用χ2检验法。一个合理的平差系统，必须通过这种检验。
● 1.3.2算例：例题2。图1为在已知点A , B 中布设的水准网（图2-1），观测数据如表1所示。试检验该网是否能够达到设计上的每千米观测高差中误差σ0=2. 5mm 的要求。
表1观测数据
图2-1水准网路线图
ˆ1, x ˆ2 解：令P 1，P 2的近似值为x
00
X =H +h X =H A +h 2 1A 12对应近似值为
按照条件平差列出条件方程得
v 1-v 2+v 5+7=0v 3-v 4+v 5+8=0v 3+v 6+v 7+6=0v 2-v 4+3=0
11
，得Q i ==S i S i P i
每千米观测高差为单位权观测，p i =
解得
T
V =[-0.2427 2.8552 -4.2427 -0.1448 -3.9021 -0.6151 -1.1423]mm
V T PV V PV =19. 7994σ0== 2.2248
r
T
22ˆ0H 0:E (σ) =σ0=2. 52,
22
ˆ0H 1:E (σ) ≠σ0
假设检验：
χ
2
(4)
=
V T PV
σ02
= 19.7994
=3. 1679
2. 52
2
α=0. 05, f =4χ以查分布表得H 0的接受域为（0.484,11.1）。接收H 0，
该平差系统达到设计要求，可以应用。
如果检验拒绝了H 0，说明该网观测精度或者定权或者起始数据可能存在问题，需要查明并改正。
当我们考虑实际补测的网的精度是否等于或者高于设计精度时，就要采用单尾检验法，接受域为：χ
2
(f )
=
V T PV
σ
20
2
⎧V T PV 2⎫对应概率表达式为：P ⎨2
⎩σ0⎭
以α=0. 05, f =4查χ2分布表得，χ(20. 05) =9. 49，本例中3.17
结论： 本例中问题分析的不足是在没有考虑到数据中含有粗差的影响，在后边的例题分析中可以看到，本例所使用的数据是含有粗差
的，而且可以通过一定的方法检测出粗差，并减小粗差的影响。
1.4.1适用对象：
1.4 F 检验法和算例分析
如果有两个单位权方差相同的平差系统，要检验分别通过平差获得的
22
ˆ01ˆ02σ, σ两个单位权方差估值的理论值是否相同，也就是要检验两个平
差系统的验后方差是否一致，此时采用F 检验法。 1.4.2算例
2χ例4题数据：同例2检验法。题目要求，在不同年代对该网进行了
两期观测，1999年5月观测第1期，2004年5月观测第2期。为进行变形分析，首先要分析两期观测的精度是否相同，即要检验两期的每千米观测高差的标准差是否相同。
2222
ˆ0ˆ02ˆ0ˆ02H :E (σ) =E (σ), H :E (σ) ≠E (σ) 0111检验的原假设和备选假设为：
分别代入观测数据，求得
2
σ01=
19. 826. 812
=4. 95, σ02==6. 744
2ˆ02σ6. 7F ===1. 35222
ˆσ>σσ4. 9501，故F 统计量为01因为02
f 2=4查分布表得以α=0. 05, 分子自由度f 1=4，分母自由度
F α=9. 6
2
1.35
结论：选取不同的α将会有不同的结论，对变形检测的数据处理应该考虑更多的
二．平差模型的稳健估计算例分析
2.1平差模型的稳健估计一些概念
现代测量平差理论中，考虑粗差产生的原因和影响，在数据处理是可将粗差归为函数模型或为随机模型。将粗差归位随机模型，粗差即表现为先验随机模型和实际随机模型差异过大；将粗差归位函数模型，粗差即表现为观测误差绝对值较大且偏离群体。
将粗差归位函数模型，可解释为均值漂移模型，其处理思想是在正式进行最小二乘平差之前探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，得到一组比较净化的观测值，已便符合最小二乘平差观测值只含有偶然误差的条件。我国科研人员在大地测量数据处理方面取得很大进展，粗差探测与可靠性理论【文献4】成果在生产、科研和教学中发挥了重要作用。
稳健估计的基本思想是在粗差不可避免的情况下，选择适当的方法，使得参数的估值尽可能少受粗差的影响，得到正常模式下的最佳估值。常用的抗差二乘法有参差绝对和最小法，丹麦法，IGG 法，Huber 法等。本文使用课本给出的例题5-2，使用Matlab 软件，通过实际编程运行，增加了对抗差估计理解。
2.2平差模型的稳健估计残差绝对和最小法，丹麦法，IGG 法分析及算例
残差绝对和最小法：
原理：p (u ) =u 对应权因子为：w i =
ϕ(v i )
v i
=
ϕ(v i ) 1
v i
v i
=
1 v i
为解决迭代过程中因v i =0出现定权问题，计算是也可取权因子为
w 1
i =
w +k
i k 为很小的数。
平差准则为： ∑n
p i v
i
=min
i =1
丹麦法： 权因子定义为w ⎧
1v i ≤c i =⎨⎩exp(
1-(v i /c ) 2) v i >c
c 为常数 IGG 法：
由周江文教授基于测量误差的有界性提出。
⎧u i
k 1
i k ⎪u 0≤u i
i ⎪⎩0
k ≤u
i i
同例题2（课本例题5-2（P81））
在如图1所示的水平网中，A 和B 是已知高程的水平点，并设这些点为已知高程无误差。图中点为待定点，A 、B 点高程，观测高差，和相应的水平路线长度列于下表，试求个点的平均高程。（在水平路线h2中人为的加入20cm 的粗差）
图3水平路线图
残差绝对和最小法原理：p (u ) =u 对应权因子为：w i =
ϕ(v i )
v i
=
ϕ(v i ) 1
v i
v i
=
1 v i
1
w i +k
为解决迭代过程中因v i =0出现定权问题，计算是也可取权因子为w i =
k 为很小的数。
n
平差准则为：
∑p i v
i
=min
i =1
残差绝对和最小法解题步骤：
（1）. 列误差方程
令P 1，P 2的近似值为x
ˆ1, x ˆ2 对应近似值为
X 00
1=H A +h 1X 2=H A +h 2 列出观测方程得
v ^
1=x 1+0v ^
2=x 2+0v ^
3=x 1-4v ^
4=x 2+197v 5=-x ^^
1+x 2+193v ^
6=-x 1-2
得到矩阵
B=[1 ,0;0,1;1,0;0,1;-1,1;-1,0] l=[0,0,4,-197,-193,2]’ 常数项单位为毫米。
（2）定权
以每千米的观测高差为单位权观测值，观测值之间互相独立，定权为P i =1/S i ，则有
0.59,0.43, 0.37,0.42, 0.25) P =diag(0.91,
设初始值w =diag(1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0)
则有P =P *w =diag(0.91,0.59,0.43, 0.37,0.42, 0.25)
T
（3）解法方程：B PB x -B Pl =0
T
^
-
解得：x 1=18. 821668，x 2=-105. 829637
（4）计算改正数：V =Bx -l
-10
（5）取k =10，根据w i =
^^
1
定权得到一组新的权因子(残差绝对和最小法) v i +k
（6）重复计算（2）~（5），直到改正数收敛为止.
现列出前25次迭代的权因子和改正数（序号为0表示初始值）表3-1
权因子迭
表3。对应的改正数结果（单位mm ）（25次）
第25次的迭代结果如下表
丹麦法对应的权因子
丹麦法对应的改正数
IGG 法对应的权因子
IGG 法对应的改正数
在本题中，IGG 法只能选取迭代次数为5次。
结论：
1. 通过本例题的数据处理结果，分析，IGG 法具有迭代次数少，精度高的优点。适用于大量测量数据的自动化处理。
2. 残差绝对和最小法中，当K 的取值很小时，不会影响到迭代的精度，但当k 取值较大时，即使增加迭代的次数，对于粗差的影响 还是不能有效减小，影响数据处理精度。现列出改正数。 k=1e-3 迭代次数25次
k=1e-4 迭代次数25次
k=1e-5 迭代次数25次
（四）参考文献
文献1：朱建军 宋迎春 现代测量平差与数据处理理论的进展_ 工程勘察 2009年12期 文献2：王新洲 陶本藻 邱卫宁 姚宜宾 等 高等测量平差 测绘出版社 2006年8月
文献3：姚宜宾 刘经南 施闯 相关稳健估计及其在测量中的应用 测绘信息与工程 2001年11月 文献4：杨元喜 张丽萍 中国大地测量数据处理60年重要进展 地理信息空间 2009年9月 文献5：王正林 龚纯 精通Matlab 科学计算 电子工业出版社 2007