中考数学冲刺复习资料

2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题

9．(2014年四川资阳，第24题12分) 如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点为A （3，0），与y 轴的交点为B （0，3），其顶点为C ，对称轴为x =1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M 为y 轴上的一个动点，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；

（3）将△AOB 沿x 轴向右平移m 个单位长度（0＜m ＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC 重叠部分的面积记为S ，用m 的代数式表示S ．

20. （2014•邵阳，第26题10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2﹣（m +n ）x +mn （m ＞n ）与x 轴相交于A 、B 两点（点A 位于点B 的右侧），与y 轴相交于点C ．

（1）若m =2，n =1，求A 、B 两点的坐标；

（2）若A 、B 两点分别位于y 轴的两侧，C 点坐标是（0，﹣1），求∠ACB 的大小；

（3）若m =2，△ABC 是等腰三角形，求n 的值．

34. （2014•德州，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA =OC =4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作y 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．

37．（2014年山东泰安，第29题）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣1，4），且与直线y =﹣x +1相交于A 、B 两点（如图），A 点在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （﹣3，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值；

（3）在（2）的条件下，点N 在何位置时，BM 与NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的N 点的坐标．

面积类

1．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN ∥y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长．

（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．

平行四边形类

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx +n 经过点A （3，0）、B （0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ．

（1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．

（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．

（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线y =x 2﹣2x +c 的顶点A 在直线l ：y =x ﹣5上．

（1）求抛物线顶点A 的坐标；

（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状；

（3）在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

周长类

6．如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y =x 2+bx +c 经过点B ，且顶点在直线x =上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE ，点A 、B 、O 的对应点分别是D 、C 、E ，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，连接BD ，已知对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；

（4）在（2）、（3）的条件下，若点M 是线段OB 上的一个动点（点M 与点O 、B 不重合），过点M 作∥BD 交x 轴于点N ，连接PM 、PN ，设OM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 和t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由．

等腰三角形类

7．如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．

8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （﹣1，0），如图所示：抛物线y =ax 2+ax ﹣2经过点B ．

（1）求点B 的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，抛物线与x 轴交于A （1，0）、B （﹣3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），设抛物线的顶点为D ．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标．

（2）试判断△BCD 的形状，并说明理由．

（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，已知抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标．

14．如图，已知抛物线y =﹣x 2+bx +4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C 的坐标，连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；

（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，A （1，0），B （0，2），抛物线y =x 2+bx ﹣2的图象过C 点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？

（3）点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题．.