对称法求积分
Vol.6,No.1高等数学研究
Mar.,2003 STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS35
对称法求积分
凌明伟
(浙江广播电视高等专科学校电子信息工程系数学教研室 浙江杭州 310015)
积分计算是高等数学的基本运算,巧妙地利用对称性解积分题,常能化难为易,简化计算,收到事半功倍的效果,本文拟就此方法作一探讨。 一 利用函数奇偶性
利用被积函数的奇偶性和积分区间关于原点的对称性简化计算,是积分运算中经常使用的方法。
2例1 求积分I=-1dx1+1-x
解 本题中虽然积分区间关于原点对称,但被积函数不具奇偶性,但通过拆项,可利用奇偶性
∫
1
来简化积分运算。
1
△2原积分I=-1dx+dxI1+I2.-1
1+1-x1+1-x
2
因为是奇函数,而是偶函数,所以I2=01+1-x1+1-x
1
2
I=I1+0=40dx=1+1-x
∫
1
∫
x
4
1
2dx=40dx-4
∫∫
11
1-x
dx.
由定积分的几何意义知4
例2 求积分I=
∫
1
1-xdx是单位圆的面积 ,所以I=4- .
2dx01+cosx
解 本题中积分区间不关于原点对称,但通过换元,令x=+t仍可以利用奇偶性这一性质。
2
+t)cost (I=- dt=
1+sin2t2 0
-dt+
1+sint
-dt=
1+sint
2=.0
4
2
dt+0= arctan(sint)
1+sin2t
二 利用积分区间对称原理
:
高等数学研究 2003年3月36
若设f(x)在[a,b]上连续,则通过变量变换x=a+b-t,可得下面的关系式
bb
b
f(x)dx=af(a+b-x)dx=[f(x)+f(a+b-x)]dxa2a
∫∫
特别地,当f(x)=f(a+b-x)时,有
f(x)dx=∫
a
b
2f(x)dx.关系式的几何意义是f(x)与f(a
a
+b-x)关于直线x=对称,从而f(x)+f(a+b-x)关于直线x=对称。因此
22
称关系式为积分区间对称原理。利用对称原理,可以使得积分运算变得简便。
例3 求积分
1+tanx
解 利用对称原理得
原积分=
2
2
一般地,型如
[0
+]dx=k
1+tanxk1+tan(-x)
2+dx=2
1+tanx1+cotx
0dx=04
例4 求积分ln(1+00
kdx的积分都可用此解法。sinx+cosx
tanx)dx
ln1+tan(-x)dx=04
0 解 利用对称原理
原积分=
2ln(1+tanx)+ln(1+tanx)+2
dx=ln2.
82
0 0
ln1+tan(4-x)ln(1+
dx=
)dx=
1+tanx
三 利用积分区域的等分原理
对于重积分,如果积分区域和被积函数具有一定的对称性,我们可以通过所给的条件来简化积分的计算。
例5 计算
D1
(x+y)d ,D=
2
(x,y) x + y ≤解 被积函数(x+y)2=x2+2xy+y2,由区域对称性知4
xyd =
D
0,又
xd = yd =
2
2
D
D
xd ,其中D
2D
1
是D在第一象限部分,所以原积分=8
D
1
xd =80dx
2
∫∫
11-x
xdy=80(x2-x3)dx=
2
∫
1
.3
一般地,设f(x,y)在有面积的有界闭域D上连续,则I=
f(x,y)d 存在。
D
第6卷第1期 凌明伟:对称法求积分 37
I=
D
f(-x,y)d =
2
[f(x,y)+
D
f(-x,y)]d .
特别地,若进一步给出条件f(x,y)关于x是偶函数,则I=2
f(x,y)d ,其中D
D
1
1
是D中位
于y轴右边的那一部分(若给出的条件f(x,y)是关于x的奇函数,则I=0)。
(2)若D关于x轴对称,则
I=
D
f(x,-y)d =
2
[f(x,y)+
D
f(x,-y)]d .
特别地,若进一步给出条件f(x,y)关于y是偶函数,则I=2
f(x,y)d ,其中D
D
2
2
是D中位
于x轴上边的那一部分(若给出的条件f(x,y)是关于y的奇函数,则I=0)。
我们称上述性质为二重积分区域的等分原理。类似地,可以得到三重积分的区域等分原理,这里仅举例说明。
例6 计算重积分I=
xyz dv, 的界面为 x +
10
1-x0
1
y + z =1。
解 记 1为 在第一卦限的部分,由等分原理
原积分I=8
dx xyzdv=8∫∫dy∫
01-x-y
xyzdz,
再利用积分区间对称原理可求得I=.
60
重积分的等分原理可移植到对弧长的曲线积分。
例7 计算线积分I=
∮
22(x+y)ds,L为 x + y =1L
解 由于-x换x(或-y换y)L的方程不变,而被积函数关于x(或y)为偶函数,记L1为L
在第一象限部分,则由等分原理
I=4
∫
L1
(x2+y2)ds=4
2
[x0
1
2
+(1-x)2]dx=3
2
.
我们在利用等分原理求积分时,应注意兼顾被积函数与积分区域两方面的匹配,否则容易出现错误。
四 利用积分变元的轮换对称性
如果积分区域D的边界方程中,变元x,y互换方程不变,则被积函数x与y互换积分值也不变,即
[f(x,y)+f(y,x)]d
特别地,若进一步给出条件f(x,y)=f(y,x),则 f(x,y)d =2 f(x,y)d ,其中D
f(x,y)d =
D
D
D
D
D
3
f(y,x)d =2
3
是y=x一
侧的部分,我们称这一性质为积分变元的轮换对称性。
例8 计算
D
sinx2cosy2d ,D={(x,y) x2+y2≤1}
解 由轮换对称性
=
22D
(x22+x22
高等数学研究 2003年3月38
例9 计算重积分 (x+
2
2
sin(x+y)d =
2D
2
∫
2
2
d!rsinrdr=00
1
(1-cos1).2
y+z)dv, 是由平面x+y+z=1及三个坐标面围成的区域
解 记D为 在坐标面x0y上的投影,题中 的边界方程对三个变元x、y、z是对称的,而且被积函数关于x、y、z也是对称的,由轮换对称性得
原积分=3
3
xdv=
xdv= ydv= zdv,
3 dxdy∫xdz=
1-x-y0
D
x(1-D1
1-x0
x-y)dxdy=x(1-x-y)dy=
8
30dx
∫∫
在解积分题时,还可以根据问题的特点去发掘潜在的对称关系或构造某种对称性,使积分问题得到巧妙快捷的解决,数学中绚丽多彩的对称美,给我们提供了种种奇妙的解法,同时也给我们带来了美的享受。
参考文献
[1]同济大学数学教研室主编.高等数学[M].高等教育出版社,1996.[2]张奠宙、过伯祥.数学方法论稿[M].上海教育出版社,1996.[3]马忠林主编.数学思维论[M].广西教育出版社,1998.
[4]龚冬保主编.高等数学典型题[M].西安交通大学出版社,2000.(上接第34页)
当t∈{t t- /2 ≥∀1且 t-(3 )/2 ≥∀1且0≤t≤2 }, cost ≥#.取∀=#/2,当0
2
232332
所以,任意#>0,取∀=#/2,当0
rcost+r8sin8t
33
lim=0x→0x+yy→0
参考文献
[1] 陈纪修等.数学分析.高等教育出版社,2000
[2] 菲赫金哥尔茨, . .微积分学教程(三卷二分册)(吴亲仁,路见可等译).人民教育出版社,1957
[3] Goffenman,C.多元微积分,(史济怀等译).人民教育出版社,1979