向量内积公式的创新应用
向量内积公式:a・b=|a|・|b|�cos�θ(其中θ为a与b的夹角),则|a・b|=|a|・|b|・�|�cos�θ|�.�
根据-1≤�cos�θ≤1,可得不等关系式:�
①a・b≤|a|・|b|(当且仅当a与b共线同向时,等号成立.以下同)�
②|a・b|≤|a|・|b|; ③|a|≥|a・b||b|; ④|a・b|�2≤|a|�2・|b|�2.�
以上不等式能沟通“和”、“和的平方”、“平方和”,可操作性强,具有多种解题功能,为我们开辟了广阔的思维空间,提供了更多的创新机遇. 对于问题中直接或间接出现了“和”、“和的平方”、“平方和”的有关问题,若能观察题目结构特征,有针对性地、恰当地构造向量,往往会收到意想不到的效果,这样不仅有利于拓展我们的想像力,激发创新活力,而且有利于提高分析和解决问题的能力.�
1 比较大小�
例1 已知m、n、a、b、c、d∈R�+且p=ab+cd,q=ma+nc・bm+dn,那么p,q的大小关系为().�
(�A�) p≤q(�B�) p≥q�
(�C�) p<q (�D�) p,q大小不能确定�
解:构造向量h=(ma,nc),k=(bm,dn), 则h・k=ab+cd,�
|h|=ma+nc,|k|=bm+dn,�
由h・k≤|h|・|k|,得�
ab+cd≤ma+nc・bm+dn,�
即p≤q,故选(�A�).�
2 求值�
例2 若锐角α、β满足�cos�α+�cos�β-�cos�(α+β)=32,求�sin�(α+β)之值.�
解:原条件式可化为(1-�cos�β)�cos�α+�sin�β�sin�α=32-�cos�β.�
构造向量a=(1-�cos�β,�sin�β),�
b=(�cos�α,�sin�α).�
由|32-�cos�β|=|a・b|≤|a|・|b|=�
(1-�cos�β)�2+(�sin�β)�2,�
两边平方,并整理得(�cos�β-12)�2≤0,�
于是�cos�β=12,故锐角β=π3.�
同理可得α=π3.�
所以 �sin�(α+β)=�sin�2π3=32.�
例3 已知�sin�α+�sin�(α+β)+�cos�(α+β)=3,β∈[π4,π],求β之值.�
解:原条件式可化为(1+�cos�β-�sin�β)�sin�α+(�sin�β+�cos�β)�cos�α=3,�
构造向量a=(1+�cos�β-�sin�β,�sin�β+�cos�β),b=(�sin�α,�cos�α).�
由3=a・b≤|a|・|b|=�
(1+�cos�β-�sin�β)�2+(�sin�β+�cos�β)�2,�
两边平方,并整理得 �cos�β≥�sin�β,�
又β∈[π4,π], 所以 β=π4.�
3 解方程或方程组�
例4 解方程3+2�sin��2x+3+2�cos��2x=4.�
解:构造向量 a=(1,1), �
b=(3+2�sin��2x,3+2�cos��2x),�
则 4=3+2�sin��2x+3+2�cos��2x=�
a・b≤�|a|�・�|b|�=�
2・(3+2�sin��2x)+(3+2�cos��2x)=�
2・22=4.�
可见a=(1,1)与b=(3+2�sin��2x,3+2�cos��2x)共线同向,�
所以 3+2�sin��2x=3+2�cos��2x,�
解得 x=kπ±π4.�
例5 求方程组x�2+y�2=3�x�2+4+y�2+1=4 的实根.�
解:构造向量a=(1,1),�
b=(x�2+4,y�2+1),�
则 4=x�2+4+y�2+1=�
a・b≤|a|・|b|=2・x�2+y�2+5=�
2・8=4,�
可见a与b共线同向, 所以 原方程组等价于x�2+y�2=3�x�2+4=y�2+1 .�
解得x=0�y=3 或x=0�y=-3 .�
4 求最值或值域�
例6求函数y=23x+6+528-2x的最大值.�
解:由原函数得�
y=23・x+2+52・14-x.�
构造向量a=(23,52),�
b=(x+2,14-x),�
则|a|=62,|b|=(x+2)+(14-x)=4,�
由a・b≤|a|・|b|,得�
y=a・b≤462(�)�
由14-xx+2=5223,解得x=3431.�
当x=3431时, a与b共线同向, 所以(�)式等号成立,故y���max��=462.�
例7 求函数y=2�sin�x+3�cos�x-4�cos�x-2的值域.�
解:由原函数得2�sin�x+(3-y)�cos�x=4-2y,�
构造向量a=(2,3-y),b=(�sin�x,�cos�x),�
则|4-2y|=|a・b|≤|a|・|b|=4+(3-y)�2,解得13≤y≤3.�
5 证明不等式�
例8设任意实数x,y满足|x| 证明:构造向量a=(11-x�2,11-y�2),�
b=(1-x�2,1-y�2).�
由(a・b)�2≤|a|�2・|b|�2,得4≤(11-x�2+11-y�2)(1-x�2+1-y�2),�
所以11-x�2+11-y�2≥42-(x�2+y�2)≥42-2xy=21-xy,�
即11-x�2+11-y�2≥21-xy.�
当x=y时,上面各式等号成立,故原不等式得证.�
6 求参数的取值范围�
例9 问实数p在什么范围内取值,关于x,y的方程组p+x+y=1�p�2+x�2+y�2=1 有实数解.�
解:由已知得x+y=1-p�x�2+y�2=1-p�2 .�
构造向量m=(x,y),n=(1,1), 则|m|=x�2+y�2,|n|=2,�
由|m・n|≤|m|・|n|,�
得 |x+y|≤2・x�2+y�2,�
即|1-p|≤2・1-p�2, 两边平方并整理得3p�2-2p-1≤0,解得-13≤p≤1.�
7 解探索性问题�
例10 是否存在正整数a,使得方程组x�2+y�2=2y�ax-y+2a=0 有实数解?若存在,找出所有a;若不存在,试说明理由.�
解:由x�2+y�2=2y�ax-y+2a=0 ,�
得x�2+(1-y)�2=1�ax+(1-y)=1-2a .�
构造向量m=(a,1),n=(x,1-y), 则�
|m|=a�2+1,�
|n|=x�2+(1-y)�2=1.�
由|m・n|≤|m|・|n|,�
得 |1-2a|≤a�2+1,�
解得0≤a≤43,�
故存在正整数a=1,使得方程组有实数解.�
综上,不难看出,许多能用“重要不等式(a+b2)�2≤a�2+b�22”、“三角方程a�sin�x+b�cos�x=c有解条件”或“柯西不等式”解决的问题,都可用向量法解决,且能绕过复杂的配凑技巧,往往可操作性更强,解答过程直观又容易接受.重视向量内积公式的创新应用,无论对教师和学生都是极其有利的.�
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