利用轴对称求最短距离
利用轴对称求最短距离
山东 潘逢超
在轴对称图形中利用轴对称知识解决两点之间最短距离在近几年各地中考试题中出现
较多，逐步成为一个新的热点。下面举几个典型题目及其解法，以供读者参考。
例1（2013•莆田）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是
AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为_______．
接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小
值是_______．
例4（2013•日照）问题背景:
如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和
最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.
（a） (b) (c)
（1）实践运用：
如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，
P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．
（2）知识拓展：
如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F
分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
分析：（1）圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴，很容易解决。
（2）E、F分别是线段AD和AB上的动点，首先应该确定AD所在的直线是对
称轴，根据等腰三角形的三线合一，找到B点关于直线AD对称点B′，此题就转化为连接
直线AB外一点B′与直线AB上各点的所有线段中，垂线段最短，所以过点B′作B′F⊥AB,
垂足为F, 交AD于E，连结BE，此时BE+EF最小。
解：（1
）
（2）解：如图，在斜边AC上截取AB′=AB,连结BB′.
∵AD平分∠BAC，
∴点B与点B′关于直线AD对称.
过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E，连结BE,
则线段B′F的长即为所求.(点到直线的距离最短) 在Rt△AF B′中，∵∠BAC=45, A B′=AB= 10， ︒
∴B'F=AB'⋅sin450=AB⋅sin450=10⨯
∴BE+EF的最小值为52 2=522，
反思：圆和等腰三角形都是轴对称图形，可以利用轴对称求最短距离。
例5（2013年，聊城市）已知在∆ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．
⑴写出∆ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
⑵当BC多长时，∆ABC的面积最大？最大面积是多少？
⑶当∆ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其
最小周长；如果不存在，请给予说明．
分析：（3）当∆ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10，也就是说，B点和
C点是确定的，A点是在距离BC是10的直线上的动点，从而AB+AC的大小是变化的。
把A点所在的直线看成对称轴，作出点B关于直线L的对称点B'，连接连接B'C交直线
L于点A'，问题就很容易解决。
y=
解：⑴依题意得：11x(20-x)=-x2-10x(0
112y=-x2-10x=-(x-10)+5022⑵ 由⑴得：，
∴当x=10即BC=10时，∆ABC的面积最大，最大面积是50；
⑶∆ABC的周长存在最小的情形，理由如下：
由⑵可知∆ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10， 过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B'，
连接B'C交直线L于点A'，再连接A'B,AB'，
则由对称性得：A'B'=A'B,AB'=AB，
∴A'B+A'C=A'B'+A'C=B'C，
当点A不在线段B'C上时，则由三角形三边关系可得： CL=AB+AC+BC=AB'+AC+BC>B'C+BC，
当点A在线段B'C上时，即点A与A'重合，这时L=AB+AC+BC=A'B'+A'C+BC=B'C+BC，
因此当点A与A重合时，∆ABC的周长最小；
反思：第⑶的难度较大，很多学生意识不到A点是在距离BC是10的直线上的动点，思路很难打开。
山东省邹平县码头镇初级中学 潘逢超 邮编：256214 邮箱：[email protected] 手机号：[1**********]
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