区间数决策矩阵规范化方法的性质分析

第４０卷第ｌｏ期

２０１３年１０月

计算机科学

Ｃｏｍｐｕｔｅｒ

Ｓｃｉｅｎｃｅ

Ｖ０１．４０Ｎｏ．１０

Ｏｃｔ２０１３

区间数决策矩阵规范化方法的性质分析

胡明礼１’２范成贤３史开泉４

（南京航空航天大学经济与管理学院

（山东大学电气工程学院

摘要

南京２１１１０６）１

济南２５００６１）３

（南京航空航天大学科学发展研究中心（山东大学数学与系统科学学院

南京２１１１０６）２

济南２５０１００）４

区间数决策矩阵的规范化是区间数多属性决策的基础，规范化使得不同类型的属性值之间可以进行比较和

计算。分析了现有规范化公式的优缺点，提出了区间数决策矩阵规范化函数应满足的性质；鉴于现有区间数决策矩阵

规范化方法的局限性，采用极差变换的思想，给出区间数属性值的规范化公式，经过规范化之后，属性值均在区间［ｏ，１］中，且不同方案在同一属性值下的序关系保持不变。从理论上证明了新的规范化公式具有单调性、平移不变性、差

异比不变性、缩放不变性和区间稳定性等性质。最后，算例的结果验证了方法的可行性和有效性。关键词

区间数，决策矩阵，规范化，性质

文献标识码Ａ

中图法分类号Ｎ９４

ＣｈａｒａｃｔｅｒＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＳｔａｎｄａｒｄｉｚａｔｉｏｎ

ＨＵ

Ｍｅｔｈｏｄｓ

ｏｆＤｅｃｉｓｉｏｎ

Ｍａｔｒｉｘ

ｗｉｔｈＩｎｔｅｒｖａｌｓ

Ｍｉｎｇ－ｌｉｌ’２ＦＡＮＣｈｅｎｇ－ｘｉａｎｓ

ＳＨＩＫａｌ－ｑｕａｎ４

（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｃｏｎｏｍｉｅｓ＆Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃｓａｎｄＡｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１１１０６，Ｃｈｉｎａ）１（ＣｅｎｔｅｒｏｆＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔＲｅｓｅａｒｃｈ，ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｅｓａｎｄＡｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１１１０６，（ｍｉｎａ）２

（ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ２５００６１，Ｃｋｈａ）３（Ｓｅｈ００１ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄ

Ｓｙｓｔｅｍ

Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，ＳｈａｎｄｏｎｇＵＴｌｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ２５０１００，Ｃｈｉｎａ）４

Ａｈｓａ－ａｅｔＳｔａｎｄａｒｄｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｔｒｉｘｗｉｔｈｉｎｔｅｒｖａｌｎｕｍｂｅｒｓｉＳｔｈｅｂａｓｉｓｆｏｒｉｎｔｅｒｖａｌｍｕｌｔｉ－ａｔｔｒｉｂｕｔｅｄｅｃｉｓｉｏｍ

ｍａｋｉｎｇ．Ｓｔａｎｄａｒｄｉｚａｔｉｏｎ

ｍａｋｅｓ

ｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｔｙｐｅｓｏｆａｔｔｒｉｂｕｔｅｖａｌｕｅｓ

ｃａｒｌ

ｂｅｃｏｍｐａｒｅｄａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｅｄ．Ｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｓ

ａｎｄｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆｔｈｅｅ】（ｉｓｔｉｎｇｓｔａｎｄａｒｄｉｚａｔｉｏｎｆｏｒｍｕｌａ

ｔｏ

ｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．ＴＫｓｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｅｄｓｅｖｅｒａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｓｔｈａｔ

ｓｔａｎｄａｒｄｉｚａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｈｏｕｌｄｓａｔｉｓｆｙ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｈｅ

ｌｉｍｉｔｓｏｆｔｈｅ

ｅ菇ｓｔｉｎｇ

ａｒｅ

ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｅｗｆｏｒｍｕｌａｗａｓｇｉｖｅｎｉｎｔｈｅｒａｎｇｅ

ｂａｓｅｄ

ｏｎ

ｒａｎｇｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｅｒｅｎｔｐｒｏｊｅｃｔｓｕｎｄｅｒｔｈｅ

ｌｙ，ａｎ

ｅｘａｍｐｌｅｗａｓ

ｉｄｅａ．Ａｆｔｅｒ

ａ

ｓｔａｎｄａｒｄｉｚｅｄ，ｔｈｅａｔｔｒｉｂｕｔｅｖａｌｕｅｓｏｆ［ｏ，１］，ａｎｄ

ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｄｉｆ－

ｓａｍｅａｔｔｒｉｂｕｔｅｒｅｍａｉｎｉｓ

ｕｎｃｈａｎｇｅｄ．Ｉｔｉｓｐｒｏｖｅｎｔｈａｔｔｈｅｎｅｗ

ｆｏｒｍｕｌａ

ｓａｔｉｓｆｉｅｓｃｈａｒａｃｔｅｒｓｏｆ

ｍｏｎｏｔｏｎｅ，ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎｉｎｖａｒｉａｎｃｅ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｒａｔｉｏ

ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ，ｓｃａｌｉｎｇｉｎｖａｒｉａｎｃｅａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｉｎｔｅｒｖａｌ．Ｆｉｎａｌ—

ｇｉｙｅｎ

ｔｏ

ｖｅｒｉｆｙｔｈｅｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｎｅｗｍｅｔｈｏｄ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ

Ｉｎｔｅｒｖａｌｓ，Ｄｅｃｉｓｉｏｎ

ｍａｔｒｉｘ，Ｓｔａｎｄａｒｄｉｚａｔｉｏｎ，Ｃｈａｒａｃｔｅｒ

矩阵的实数化过程中会损失区间数蕴含的重要信息，因此，本

文主要关注后者。

１

引言

由于客观事物的复杂性以及人们认识事物的能力有限，

文献Ｅ１］提出了基于区间数运算的规范化方法和基于误差传递的规范化方法，文献［２，３］在构建区间数多属性决策模

型时使用了该文方法，但该方法有一定的局限性，比如规范化后不能保持原始决策矩阵中方案间的序关系，规范化矩阵的属性值不在一个固定的区间内。文献［－４－６－１提出了基于向量标准化法的规范化公式；文献［７］提出了基于线性尺度变换法

在实际决策问题中，决策信息往往是不确定的。决策矩阵的

属性值为区间数的一类多属性决策问题受到许多学者的关

注。区间数的决策矩阵规范化方法是一项基础工作，因为通过规范化不同属性值才能进行比较和计算。目前，学者已提出并应用了一些规范化方法，但区间数决策矩阵的规范化方法的专门研究比较少，仍没有一个统一的规范化方法。从思路上看，规范化方法主要有两类，一类是将区间数矩阵转化成规范化实数矩阵来处理；另一类是利用某种规范化函数将区

的规范化公式；文献［８—１２］在处理区间数决策矩阵规范化问题时应用了该方法；文献［１３—１５３提出了基于极差变换法的规

范化方法。但上述规范化公式的性质和适用条件的系统研究还未见到。恰当地构造和选用规范化公式是构建区间数多属

间数决策矩阵转化为规范化区间数矩阵。由于前者在区间数

到稿日期：２０１２—１２—１８返惨日期：２０１３—０３—１９

本文受国家自然科学基金（９０９２４０２２，７１１７１１１２），教育部人文社科基金项目（１０Ｙ］Ｃ６３００８４），

中国博士后科学基金项目（２０１３Ｍ５３１３５６），中央高校基本科研业务费专项科研项目（ＮＳ２０１１０１８，ＮＮ２０１２０１６，ＮＪ２０１３００２０）资助。

胡明礼（１９７９一），男，博士后，讲师，主要研究方向为多属性决策、不确定系统分析，Ｅ－ｍａｉｌ：ｈｕｍｌ＠ｎｕａａ．ｅｄｕ．ｃｒｌ；范成贤（１９７５一），男，博士，讲师，主要研究方向为信息系统与系统分析；史开泉（１９４５－－），男，教授，博士生导师，主要研究方向为粗集理论与应用、信息系统与信息识别理论与应用。

・２０３・

万方数据

性决策模型的关键基础性问题，然而目前规范化公式的构造

和应用大多比较随意，缺乏系统深入的研究。

本文给出区间数决策规范化公式所应具备的基本性质，分析了比较常用的规范化公式的优缺点，针对现有方法的局限性，提出一个统一的规范化方法，证明了其具有强单调性等性质，最后通过算例验证了新方法的可行性和有效性。

２

区间数决策矩阵的规范化方法

２．１预备知识

为了便于讨论区间数决策矩阵的规范化问题，下面给出区间数、区间数运算及区间数比较的基本概念。

定义１（区间数定义）设Ｒ为实数域，称闭区间［口，五］为

区间数，用云表示，其中ａ，云∈Ｒ，且口≤云。

当口一云时，区间数退化为实数。同样，某一实数ａ也可

表示为区间数［口，刃，其中口＝五＝ｎ。

定义２（区间数运算）设三＝［口，云］，云一［６，－］为任意两个正区间数（１ｉｐａ＞Ｏ且６＞ｏ），Ｃ表示正实数，其运算法则是：

（１）口＋６一［口＋６，口＋习；（２）口×６＝［口ｂ，ａ６］；

（３）云届一ｋ届，ａ／６］；（４）ｃａ～一ｃａ，ｃａ］；（５）１层一［１／ａ，１／，，－１；

（６）ｃ一口一■一口，ｃ一口］。定义３（ＩＸ间数的比较）

对于任意两个区间数三一ａ，

习，５一［６，习，将它们之间的序关系“＞”（优于）、“≥”（不劣

于）、“∈”（包含于）分别定义为：

ｆ三河，ｉｆｆ堡＞石

＜ａ≥６，ｉｆｆ口≥６

（１）

Ｉ云！三５，ｉｆｆ云≥ｂＲ云≤多

２．２区间数决策矩阵

对于属性值均以区间数形式给出的多属性决策问题，设有ｍ个方案Ｓ。，Ｓ，…，Ｓ组成方案集Ｓ一｛Ｓ，，Ｓ２，…，Ｓ，１），方案的咒个属性Ｑ，，Ｑ，…，ＱＩ组成方案集Ｑ一｛Ｑ，Ｑ，…，Ｑｌ｝，决策者给出方案Ｓｆ∈Ｓ在属性Ｑ∈Ｑ下的属性值为区

间数ａｉ＝［％，函］，净１，２，…，ｍ，ｊ＝ｌ，２，…，竹，其中９表示

区间数下限，瓦表示区间数上限，于是有决策矩阵

ｒ［口１１

］［钆，五。ｚ］［口ｈ

——

Ａ—ｌ—

Ｅ

］［口２ｚ，云２２］

［口ｚ，ｔ

（２）

Ｉ厂

ＬＬ９１

］［ｎ，，＿２，乙］［‰

假设，是规范化函数，ｆ（ａ／ｉ）＝／，ｉ．ｉ一嗡，瓦］是规范化决

策矩阵的属性值，那么决策矩阵Ａ经过规范化后得到决策矩

阵

『匦・，ｂ１１］哂ｚ，．１ｚ］…哂一，瓦一３］

Ｂ：ｌ睡・，玩－］睡ｚ，玩ｚ］…睡”瓦３

＝ｌ一

一

一

（３）

ｉ；

；；

ｌ略。，．卅。］［细，ｋ］…［蜘，ｋ］ｊ

万方数据

・２０４・

２．３规范化函数应满足的性质

文献［１６］分析了线性无量纲化方法的性质，本文将其自

然推广到区间数的情况，给出区间数决策矩阵规范化方法应具备的基本性质。

性质１（单调性）规范化后的区间数保留原有区间数之间的序关系。

假设效益型属性值Ｑ中的任意两个属性值记为云ｕ，函，其规范化后的标准数据为毛，砀，瓦＝，（西）（净１，２），ｆ为

规范化函数。

（１）当ａ—ｕ一面时，瓦一砀；当ａ—ｌ／＞而时，孔芝瓦，此时称

，为弱单调性的。

（２）当ａｕ＝面时，瓦＝毛；当ａ～ｌｊ＞云巧时，瓦＞砀，此时称

，为强单调性的。

性质２（平移不变性）对原始数据进行“平移”变换不会

影响规范化后的结果，即有ｆ（ａｉ＋ｃ）＝厂（函）（ｃ为任意一常

数）成立。

性质３（差异比不变性）规范化后的属性值保留原有数

据之间对于某个标准量的比较关系，即有

（４）

式中，区间数ａ—ｕ，西是属性ｑ下任意两个属性值，区间数刁

是Ｑ下某个特定属性值，，是规范化函数。

性质４（缩放无关性）对原始数据进行“缩小”或“放大”

变换不会影响规范化后的结果，即有ｆ（ｃ。ａｄ）一厂（毛）（“为

任意一非零常数）成立。

性质５（区间稳定性）对任意一属性原始数据的规范化结果都处在一个确定的取值范围内，即有ｆ（ａｄ）∈ｃ５，ｃ５］成立，其中Ｇ＝ｎｌｉＩｌ｛八哟）｝～ｃ＝ｍａｘ｛ｆ（ａ＃））。

２．４几种常见的规范化公式

（１）基于区间数运算的规范化公式

ｆ当＝９／墨西

当Ｑ是效益型属性，≮

（５）

Ｌ瓦一函／五９

。

当Ｑ是成本型属性，＜

当Ｑ是成本型黜户一丢盛

一‘

㈣（６）

峙丢僵丢

规范化式（５）、式（６）不满足单调性的要求，也不满足性质２，３和５。

（２）基于向量标准化的规范化公式

当Ｑ是效益型属性，ｊ驴９／√弘

当Ｑ是效益型属性，．｛

¨“

（７）

ｏ瓦一面／√擎

当Ｑ是成本型黜ｊ茧一去循（当ｙ

㈣

【瓦一丢循ｃ丢，２

规范化式（７）、式（８）不满足单调性的要求，也不满足性质２，３和５。

（３）基于线性尺度变换法的规范化公式当Ｑ是效益型属性，』当一９／ｎ孕刈％’

（９）

慨＝西／ｒｎａｘ｛云＃）当Ｑ是成本型属性，．｛一

ｆ当一叫ｎ｛９）厄口

ｉ一

（１０）

ｌ瓦一ＩＩｌｉｎ｛哪）／＃＿ａ

规范化式（９）、式（１０）满足单调性的要求，但不满足性质

２，３和５。

（４）基于极差变换法的规范化公式

ｆ，

＿ａｏ一叩｛９｝

当Ｑ是效益型属性，．《

．，．…１９一面面Ｆ硼

。

‘

（１１）

卜２而磊耵ｊ而

｜，

西一叩㈦

ｆ，

叩ｘ㈤一面

当Ｑ是成本型属性，．《

１§２面瓦Ｆ两

‘

２

（１２）

｜－

ｍ：ａｘ｛ａｏ）＿９

【ｂｏ３五磊罚＝面币再

规范化式（１１）、式（１２）满足上述性质１－－５。

综上所述，表１给出了几种规范化公式的性质比较。

表１几种规范化公式的性质分析

３新的区间数决策矩阵的规范化方法

属性值规范化的目的在于获得可比的尺度。主要包括两个方面：１）消除属性值量纲的影响（即无量纲化）；２）将不同类型的属性值转化成同一类型（即类型一致化）。基本做法是将效益型、成本型等不同类型的属性值转化成同一类型（比如效益型），同时将不同标度转化成同一标度（比如规范化后的属性值最大为１，最小为ｏ）。

定义４（类型一致化定义）

若属性Ｑ是成本型属性，有

≮ａｌｊ＇＝一ｍ毒ａｘ｛凰ａｌｊ｝ｈ－ａ。，ｊ

（１３）

则属性值函７一ｂ７，％－－！］是效益型属性值。

注：式（１３）可以将成本型属性值转化成效益型属性值。

定义５（无量纲化定义）

对于一般的区间数五＃一［９，

瓦］，不妨设ｏ≤野≤面。若属性Ｑ是效益型属性，则区间数

瓦＝［％，瓦］是规范化矩阵Ｂ中的元素，其中

ｆ，

９一ｒａ；ｉｎ｛９｝Ｉ当２面币万；丽刃

１，ｎ４’

【ｂｏ一面习ｉＦ面丽甭

‘矿叩｛二）注：式（１４）可以将效益型区间数决策矩阵转化为规范化

矩阵。

万方数据

区间数决策矩阵的规范化过程如图１所示。

图１

区间数决策矩阵规范化过程示意图

根据上述规范化思路，下面给出一个新的区间数决策矩阵的规范化方法，该方法同时满足上述性质１—５。其算法步骤如下：

第１步先判断属性的类型，如果Ｑ（歹一１，２，…，咒）是

效益型属性，不做处理，歹＝Ｊ＋１；如果Ｑ是成本型属性值，应

用式（１３）转换为效益型属性值，ｊ＝Ｊ＋１，直到Ｊ一九＋１，转下一步；

第２步对每个属性下的属性值集，应用式（１４），将所有属性值转换到规范化属性值；

第３步检验规范化矩阵是否满足性质１—５，若满足则

转下一步；

第４步得到最终的规范化区间数决策矩阵；

第５步结束。

４新的规范化方法的性质分析

第３节提出的规范化方法的核心是类型一致化式（１３）和无量纲化式（１４），下面从理论上证明无量纲化式（１４）的性质。

定理１规范化式（１４）满足强单调性。

证明：（１）当三ｕ一三≈时，９＝ａａｊＲａ—ｌｉ一云巧，同一属性Ｑ

下，ｍ擘｛西）和ｒａ。ｉｎ｛９｝是不变的，因此

垒ｕ－－．ｍｉｎ（ｅ目｝

％一ｎ酆｛西）一ｍｊ．＇ｎ｛＿ａ／ｉ｝一

．．．．．．．．．．．．．—————————！———————————．．．．．．．．．．．．一一

ｔ

ｌ

里币口二ｘ

！凰

而且

姚。一～；，面

一～ｖ

ａ—ｌｊ—ｎｌｉＩｌｂ）

ｂｙ一

ｍ警｛面）一面ｎ｛９）一

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ｊ！．。．———．————．．．．．．．．．．．．一一

ｔ

ｔ

云币一口一ｘ

！嘛

吣。一～；，面

一～可

所以６玎一６材；

（２）当面＞函时，ａｌｊ＞动，由于

ｂ一面雨万；ｉ珂＞面币万；面刁＿６巧

ａｌｊ—ｒＩｌｉｎ｛口卉｝＂－｛－－－＂ｊ２一一

ａ一ｎ每ｎ｛９）因此瓦＞瓦，此时称，为强单调性的。

证毕！

定理２规范化式（１４）满足平移不变性。

证明：若对属性Ｑ下所有属性值“平移”一个常数ｃ，ｃ为

实数，平移后的属性值记为毛＝［％＋ｃ，ａ＃＋ｃ３，根据规范化式（１４）可得砖一［％，碡］，其中

多２面雨再可三面硐

９＋ｃ—ｎ曲｛９＋ｃ）

一—ｍａ—ｘ’ｉａ—Ｆ二＝。丽一参

９一Ⅱ归｛９）

，

＃，一ｒｍｎ／ａ／／，一’

・２０５・

的一面而再可三忑网

ａｑ＋ｃ－ｍｉｎ｛ｄ＋ｃ）＿ａ

２２

ａｉｉ—ｍｉ／＇ｎ｛ａｏ｝，

—’’—。——————‘—————／—ｍｉｎ｛Ｅ

一

因此魂＝ｂ—ｏ。即规范化式（１４）满足平移不变性。

证毕！

定理３规范化式（１４）满足差异比不变性。证明：

ｆ（ａｏ）一岛一［当，瓦］，ｉ＝１，２，，（刁）一醪一［箩，醪］

根据区间数运算规则，等式左边

虱二至：里型二堕：塑＝堡！

口巧－ａ；

匦巧－ａ；，ａａｊ一箩］

由定义知，等式右边

』亟立￡亟２一量亡篮一—Ｅ刍ｉ－－ｂ７，—ｂｌｉ－－ｂ］＇］

ｆ（ａ２ｉ）－－ｆ（ａ；）６巧一够［％一６，，ｂ２ｊ一够］

又

知一＂２一一

盂面ｉ西丁三ａｌｊ一啦｛９）

瓣／ｎ警｛ａｏ｝－ｍｉ／＇ｎ｛ａｏ｝

习一ｍｊ．＇ｎ｛ａｏ｝坠ｉ一五；

一ｍａｘ｛ａｏ）一ｍｊ．＇ｎ｛ａｑ）

一

因此，等式右边＝

口１』一９

ｍｇｘ｛ａｏ｝一ｎｇｎ｛ａｑ｝

，

里巧－－ａ；

—』———＝・————÷————一

ａ２ｊ一９

。ｍａｘ｛ａｏ｝一ｍｊｎ｛９｝’ｒｏ＃ｘ｛ａｏ）一ｍｊｎ｛ａｏ｝

［口ｕ－ａ；，ａｌｊ一酊］

匦巧一刁，动一ａｊ。］

所以，等式左边＝等式右边。

证毕！

定理４规范化式（１４）满足缩放无关性。

证明：根据区间数运算规则，Ｃ４ａ～ｄ＝Ｅｖ４ａｏ，Ｃ４ａｌｊ３

ｃ４ａⅡ一ｎｌｉｎ｛“哟）

，‘。野’２面而百声面而刃

一面而万；ｉ田２八９’

ａｄ—ｍ！ｎ｛ｅｄ）

而且

ｆ（ｏａｉｉ）＝面币瓦＂Ｆｉ面砑－－＂

ｃ４ａｑ—ｍｉｎ｛ｃ４ａ＃）

ｎｄ—ｍｉ．＇ｎ｛ａｏ｝

一

一面币万ｌ＿面刁一ｆ‘口。’

所以，ｆ（ｃａａ—ｉ）＝［，（叼），，（面）］＝ｆ（ａｄ：；。

证毕！

定理５规范化式（１４）满足区间稳定性。

根据规范化函数，的定义，！ｓ＝ｍｊｎ｛，（９））一０，；ｓ—ｍａｘ｛ｆ（ａ口））一１，因此ｆ（ａ口）∈［ｏ，１］，即规范化结果处在一

个确定的区间［ｏ，１］内。

・２０６・

万方数据

５算例分析

考虑一个具有区间数的决策矩阵Ａ，其中，方案集Ｓ一

｛Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，ｓ４），属性集Ｑ一｛Ｑｌ，Ｑ，Ｑ，Ｑ４｝，Ｑｌ—Ｑ是效益型属性，Ｑ４是成本型属性。

Ｑ

ＱＱＱ４

Ｓ１

ｒ［１．

Ｓ２１［２．

Ａ＝

Ｉ。

Ｓ３ｌ［１．

Ｓ４

Ｌ［２．

运用式（５）、式（６）对决策矩阵Ａ进行规范化，得到矩阵

Ｑ１

Ｑ

Ｑ

Ｑ４

吼１９４０．ｚ８６］［ｏ．１３００．２６５］［ｏ．２０７０．３１０］［Ｏ．２３１ｏ．２４９］］吼

０６

４７

ｆ

ｒ０．３５１］［ｏ．２６１ｏ．４４１］［ｏ．１８４０．２８１］［Ｏ．１９６ｏ‘２１０］ｆ一

吼１７２

０．２６０］［Ｏ．１８５０．３３８］Ｅｏ．２８１０．３２４］［Ｏ．２８１

Ｓ＆Ｓ＆ｎ忆江Ｕ吼２１５０．３１２７［Ｏ．１６３０．３０９］［ｏ．２０６０．３１０］［Ｏ．２５４

剖

根据该原始决策矩阵，通过区间数比较，可知方案在不同

属性下的序关系，例如属性Ｑ１下Ｓ，劣于Ｓ２（三。ｔ＜三ｚ，），方案

Ｓ２优于Ｓ３（云。。＞三。。），方案Ｓ４不劣于Ｓ３（ｉ，≥云。。）；属性Ｑ

下Ｓ１劣于Ｓ２（云。。＜云。：），方案Ｓ。优于Ｓ３（云：：＞云。。），方案Ｓ２优于Ｓ４（云。。≥云。。）；属性Ｑ下Ｓ。优于Ｓ２（云。。＜三。。），方案Ｓ。等于Ｓ４（云。。一云。。）；属性Ｑ４下Ｓ。优于Ｓ４（ａ３。－＜Ｓ。），方案Ｓ４

优于Ｓ１（云。。＞云。。），方案Ｓ。不劣于Ｓ２（云。。≥ａ～ｚｔ）。观察规范化后的决策矩阵Ｂ７，我们发现，方案之间的序关系发生了变化，例如属性Ｑｌ下Ｓ。不一定劣于Ｓｚ，方案Ｓ２不一定优于

Ｓ。，方案Ｓ４不一定不劣于Ｓａ；而且其他序关系都不一定成

立，即属性Ｑ下Ｓ。劣于Ｓ２，方案ｓ２优于Ｓ３，方案Ｓｚ优于Ｓ４；属性Ｑ下Ｓ。优于Ｓ２，方案Ｓ。等于Ｓ４；属性Ｑ４下Ｓ３优于Ｓ４，方案Ｓ４优于Ｓ，，方案Ｓ。不劣于Ｓｚ。

因此，我们可以得到结论，规范化式（５）和式（６）破坏了方案之间原有的序关系，其原因在于该公式不满足单调性。这验证了２．３节中的结论。

下面利用第３节给出的区间数决策矩阵规范化算法，对原始区间数决策矩阵Ａ重新进行规范化处理。

第１步已知Ｑ１一Ｑ是效益型属性，本步不做处理，Ｑ４是成本型属性，应用式（１３）将Ｑ４下的属性值转换成效益型属性值，得到新的决策矩阵

Ｑ１

ＱＱＱ４

Ｓ、

Ａ，：Ｓ２

Ｓ３

Ｓ４

睦

第２步应用式（１４），对决策矩阵Ａ７中所有属性值进行规范化，得到规范化矩阵

Ｑｌ

Ｑ

Ｑ

Ｑ４

鐾｜

０．５４５］［Ｏ．００００．３３３１［ｏ．２８６０．８５７］Ｅｏ．４５５０．５４５：ｈ＆Ｓ

雠１．ｏｏｏ］［０．６６７１．ｏｏｏ］［ｏ．０００ｏ．５７１］［ｏ．００００．０９１］ｌＢ一

咖０．３６４］［ｏ．２７８０．４２９］［Ｏ．４２８１．０００］［ｏ．９０９１．ｏｏｏ］ｌ

Ｓ＆

兰呈呈；撤

０．７２７］［ｏ．１６７０．５００］［ｏ．２８６０．８５７］［ｏ．６８２

０．７７３３－］

第３步检验规范化矩阵是否满足性质１—５。（１）单调性

观察规范化矩阵Ｂ，显然属性Ｑ下方案Ｓ２优于Ｓ３，方案Ｓ・劣于Ｓ２、方案Ｓ４不劣于Ｓ３等等，保持了原始决策矩阵的序关系。这验证了定理１，即新的规范化函数满足单调性。

（２）平移不变性

若对矩阵Ａ中Ｑ・下的所有属性值均平移一个常数ｃ＝０．１（即属性值加一个常数ｃ＝Ｏ．１），那么得到新的矩阵为：

Ｑ

Ｑ

Ｑ

Ｑ

９

２．３１．１．８２．２５．４４２．８２．３．０２．０６．４Ａ∞＝

兀¨Ｋ

７２．１１．２．３２．３４．５Ｓ＆＆＆

ＵＬ复Ｌ色

１

２．５

１．

２．１

２．２

４．９

运用新的规范化算法后，得到规范化矩阵的属性Ｑ下的列向量为

（［ｏ．１８２，０．５４５］，［ｏ．６３６，１］，［ｏ，０．３６４］，［ｏ．３６４，０．７２７］）Ｔ

这与未平移的矩阵规范化后的结果完全一样，验证了定理２，即新的规范化函数满足平移不变性。

（３）差异比不变性

前ａ蛙２，－ａ；＝瞄绸渊一脯期

设选定区间数西一［ｏ．５，０．６］是Ｑ下的标准值，规范化

￡鲤！；）二丛簟２

ｒ１．８—１．６２．２—１．６］ｒＯ．５—１．６０．６—１．６］。２．７—１．６’２．７—１．６００２．７—１．６’２．７—１．６０

２匿耐

ｏ万而’万而］－－Ｌ万而’万而ｊ

ｒ１．２。１．７］

这验证了定理３，即新的规范化算法满足差异比不变性。（４）缩放无关性

假设决策矩阵中属性Ｑ下的属性值均“放大”２倍（即属性值均乘以２），那么得到新的矩阵为

Ｑ

ＱＱ

ＱＩ

６

４．４１．２１．８］１．８２．２］５．４５．５．４２．４３．ｏ］１．６Ａｍ６＝

２．ｏ］

６．４６．２４．０１．７２．３］１．９２．３］

４．５４．＆＆Ｓ＆

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０

４．８

１．５

２．１］

１．８

２．２］

４．９

５．

运用新的规范化算法后，得到规范化矩阵的属性Ｑ下的列向量为

（［ｏ．１８２，０．５４５］，［ｏ．６３６，１］，［ｏ，０．３６４］，［ｏ．３６４，０．７２７］）Ｔ

这与Ｂ中的结果完全一样，验证了定理４，即新的规范化算法满足缩放无关性。

（５）区间稳定性

观察规范化矩阵Ｂ，所有属性值均在区间［ｏ，１］内，并且

万方数据

最小值０和最大值１都可以取到。这验证了定理５，即新的规范化算法满足区间稳定性。

因此，矩阵Ｂ是最终的规范化区间数决策矩阵。

算例结果表明，新的方法能够克服现有方法的局限性，是比较有效的区间数决策矩阵规范化方法。

结束语本文提出了区间数决策矩阵的规范化函数应满

足的性质，针对现有区间数决策矩阵规范化方法的不足，提出一个新的区间数决策矩阵规范化方法，并证明了该方法满足强单调性、平移不变性、差异比不变性、缩放无关性和区间稳

定性。本文研究对区间数决策矩阵的规范化处理具有指导意义，丰富了区间数多属性决策方法的研究。

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区间数决策矩阵规范化方法的性质分析

作者：作者单位：

胡明礼， 范成贤， 史开泉， HU Ming-li， FAN Cheng-xian， SHI Kai-quan

胡明礼,HU Ming-li(南京航空航天大学经济与管理学院 南京 211106;南京航空航天大学科学发展研究中心 南京 211106)， 范成贤,FAN Cheng-xian(山东大学电气工程学院 济南 250061)， 史开泉,SHI Kai-quan(山东大学数学与系统科学学院 济南 250100)计算机科学

Computer Science2013,40(10)

刊名：英文刊名：年，卷(期)：

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