半正定矩阵论文
*****************本科毕业论文
半正定矩阵的性质
姓 名 系 别 专 业 班 级 学 号 指导教师 答辩日期 成 绩
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数学与计算机科学系 数学与应用数学
****班 *********
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论文题目:半正定矩阵的性质
内容摘要
矩阵是线性代数的一个重要内容,矩阵这一概念是从其它许多事物中抽象出来的,具有很大的现实意义。矩阵的理论不仅贯穿于线性代数的各个部分,而且在在物理学及其它科学技术领域,在经济及其它社会科学领域都有广泛的应用。本文以半正定矩阵的概念为基本出发点,从特征值、顺序主子是、QR分解、Gram矩阵等等系统研究半正定矩阵的基本性质,研究半正定矩阵的各种运算,尤其是hadamard 积 和kronecker积 ,加深对半正定矩阵这一特殊矩阵的全面的、掌握和运用。
【关键词】 半正定矩阵 hadamard 积 kronecker积
Title:Semi positive definite matrix on the properties
Abstract
Matrix is one of the important contents in linear algebra,The concept of The matrix is from many other abstract things ,It has great practical significance.Matrix theory is widely used in munch many field, not only throughout various parts of linear algebra, but also in physics and other fields of science and technology, the economy and other society science.The artle is based on the positive semi definite matrix concept , Study on the basic properties of positive semi definite matrix from the characteristic value, order is the master, QR Gram matrix decomposition, Study on semi positive definite matrix of A variety of computing, especially the Hadamard product and Kronecker product.On this special positive semi definite matrix and comprehensive grasp and use.
【the key words 】 Semi definite matrix Hadamard product
Kronecker product
目录
引言 ...................................................1 一、矩阵的相关知识 .....................................1 二、半正定矩阵的性质 ...................................1
(一)半正定矩阵的定义 .................................................. 1
(二)半正定矩阵的二次型 ................................................ 1 (三)半正定矩阵的性质 .................................................. 1
小结 ...................................................8 参考文献: ........................................................................................................................................... 8 致谢: ....................................................................................................................................................... 9
半正定矩阵的性质
学生姓名:*** 指导教师:*** 引言
矩阵是线性代数中的一个重要内容,而半正定矩阵又是一种特殊的矩阵.因此,想要更好的学习线性代数这门课,就必须掌握半正定矩阵这一特殊矩阵.因为半正定矩阵的特殊形式使得它具有一些特殊的性质,彻底掌握它又不是一件容易的事。本文从半正定矩阵的定义出发,研究了半正定矩阵的判定依据及其半正定矩阵的性质,从而对半正定矩阵与的系统全面掌握.
在研究半正定矩阵的有关性质前,先做一些准备工作,掌握矩阵的基本知识,如特征值,主子式,一些基本的矩阵、矩阵的运算等等。下面给出矩阵的相关知识。
一、矩阵的相关知识 二、半正定矩阵的性质
(一)半正定矩阵的定义
如果矩阵ARnn是实对称矩阵,并且对于一切XRn,有XTAX0,则称矩阵A为半正定矩阵.记作A0.如果AB0,记作AB.
(二)半正定矩阵的二次型
对称矩阵A的二次型fXXTAX,如果对任何非零向量X,都有XTAX0成立,则称fXXTAX为半正定二次型.
(三)半正定矩阵的性质
性质1:设A为一个n阶对角优势对称矩阵,且对角线元素非负,那么矩阵A为半正定矩阵.
定义4. 对角优势矩阵
对于矩阵A(aij)nn,如果
aiiaij,i1,2,,n
j1ji
n
则称矩阵A为对角优势矩阵.
证明:设A是一个n阶对角优势对称矩阵,且对角线元素非负. 设Aij矩阵是A的主子矩阵且i行j列如下,且其它对角元素等于0
aijaij
n
aijaij
那么Aij是一个半正定矩阵,而Ai,j1Aij也为非负对角阵,所以A为半正定的.
注8:半正定矩阵对角化之后,所有元素都大于等于0.
性质2:设A为一个n阶对称矩阵,下列命题等价: (a)A是半正定矩阵;
(b)A的所有特征值为非负; (c)A的所有的主子矩阵非负;
(d)存在一个n阶矩阵B,使得ABBT;
(e)存在一个n阶下三角矩阵L,使得ALLT; (f)存在一个n阶对称矩阵C,使得AC2;
(g)存在一个k维欧氏空间V和向量v1,v2,,vnV,使得AGramv1,v2,,vn; (h)存在k个向量b1,b2,,bkR,使得AbibiT.
n
k
i1
定义1. 矩阵的秩
向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩.矩阵的行秩就是矩阵行向量组的秩,矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩,统称为矩阵的秩,记作RA.
定义2[1]. 矩阵的特征值与特征向量 设A是n阶方阵,如果存在数和非零n维列向量x,使得Axx成立,则称 为A的一个特征值.非零n维列向量x称为矩阵A的属于(对应于)特征值的特征向量,简称A的特征向量。特征向量x0.
注1. 特征向量不是由特征值唯一确定的,但是特征值都是由特征向量唯一决定的。所以一个特征向量只能属于一个特征值,一个特征值有无穷多个特征向量.
注2.对于一个n阶矩阵A,是矩阵A的特征值,一般通过求解特征方程f()EA和齐次线性方程组EAX0来得到矩阵的特征值和特征向量.
定义3[1]. 矩阵的迹 设矩阵A(aij)nn,那么矩阵A的迹就是矩阵A的主对角线元素的之和,记作tr(A). 注3.矩阵的迹就是矩阵的所有特征值之和. 定义5[1].对称矩阵
对于矩阵A(aij)nn,若元素满足
aijaji, i,j1,2n
[1]
或者ATA, 则称矩阵A为对称矩阵.
定义6[2].酉矩阵
对n阶复矩阵A,用A表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A满足
AAAAE,则称矩阵A为酉矩阵.
T
T
定义8. 可对角化
如果方阵A相似于一个对角矩阵,称方阵A为可对角化,换句话说,即如果存在一个可逆矩阵 P使得P1AP是对角矩阵,那么称矩阵A可对角化.
定义9[2]. 置换矩阵
对于矩阵P(pij)nn,如果它的每一行和每一列都只有一个元素为1,其它的元素都为零,则称矩阵P为置换矩阵.
定义10[2]. 可约矩阵
对于 矩阵Aaijnn,如果满足 ①n1时,A0;
BC1
PAPPn ②n2,存在阶置换矩阵,使得OD,其中B是k阶方阵1kn1,左
下角是nkk阶的零矩阵,则称矩阵A为可约的。否则,矩阵A为不可约.
定义11[1]. 非退化矩阵
对于矩阵Aaijnn,如果A0,称矩阵A为非退化的. 证明:
(a)(b)设AXX,X0,其中为矩阵A的特征值,由于矩阵A为半正定矩阵,有XTAXXTX0,且XTX0,则XTAX\XTX0, 所以矩阵A的所有特征值非负.
(a)(c) 设Aa是A的主子矩阵,由于A为半正定的,所以Aa也为半正定的,由(a)(b)可知Aa的特征值为非负,因此,Aa0.
(c)(b) 设A的特征多项式
knn1n2nkAxxnPxPx1Px1Pn12k
其中Pk为A的所有kk阶子矩阵的和,由于 (c),Pk0,k1,2n, 假设x0,如果n为任意正整数,那么xn0并且Ax0;如果n唯一,那么xn0,并且Ax0,这表明矩阵A不可能有负特征值且A为对称矩阵,所以矩阵A特征值存在且非负.
(b)(f) 由于A为对称矩阵,并且特征值非负,它正交相似与一个非负对
角矩阵D.即AUDUT,其中U是正交矩阵,D是非负对角矩阵Ddiagd1d2dn,但是当AUDUTUDUT,然而
diag
.
所以AC2,CUDUT.
定义13[4]. 阵的QR分解
实(复)非奇异矩阵A能够化成正交(酉)矩阵Q与实(复)非奇异上三角矩阵R的乘积,即AQR,称为A的QR分解.
(d)(e) 为了证明这个结论,首先利用下列这一点:任何矩阵C有一个QR因数i.e.,CQR,其中Q的行正交,R是上三角矩阵.
设ABBT,BT的QR分解为BTQR,有BTBQRRTQT,那么
T
T
TT
ARQQR
T
QTRTL,QRLT,然而LR是一个下三角矩阵. 所以LL,那么就有
T
ALLT.
定义7.Gram矩阵
设v1,v2,,vn是欧氏空间V的一个向量组,定义矩阵
v1,v1v1,v2v1,vnv,vv,vv,v21222n Av,vv,vv,vn2nnn1
A称为由向量v1,v2,,vn组成的Gram矩阵,记做Gramv1,v2,,vn. 其中,,为欧氏空间V中定义的内积.
(d)(g) 设ABBT,然而B是nn阶矩阵,设VRk,并且设ViT是 B的i行,那么AGramv1v2vn
(g)(a)由于AGramv1,v2,,vn,且设xRn,那么
nn
XAXaijxixjvi,vjxixjxivi,xjvjxvxviijj
i,j1i,j1i,j1j1i1
XTAX0,所以矩阵A为半正定矩阵.
T
n
n
n
xv
i1
n
2ii
0
(b)(h) 设ABB ,则有AbibiT,其中bi(i1,2k) 为B的列向量,由
T
k
(e)(d),(f)(d),可知结论成立.
注9:
①性质2 中,证明(b)(f) 中,构造的矩阵C其实为半正定矩阵,这表明任何一个半正定矩阵A都有唯一的半正定矩阵C满足AC2,那么矩阵C为A
的平方根,记作C
②中指的是主子矩阵而不是顺序主子矩阵,实际上,只有顺序主子矩阵大于等于零并不能保证A是半正定的.
22x32x1x2的正定性 例1 判定二次型fx1,x2,x35x14x2
解:(解法1) 用顺序主矩阵判别
首先,该二次型fx1,x2,x3对应的矩阵为
510A140
001
i1
求A的各阶主子矩阵可得,
D150 D2
51
14
220 D3A0
由于的各阶主子矩阵全都大于等于零,所以该二次型fx1,x2,x3为半正定二次型。
(解法2)用特征值判别
首先,给出该二次型fx1,x2,x3所对应矩阵A的特征值多项式为
5
EA
10
100
4
令f0,可求出矩阵A的特征值为 10,24,31.可见矩阵A的全部特征值都大于等于零,所以该二次型fx1,x2,x3为半正定二次型.
注9:本例题主要应用半正定矩阵性质2中A为半正定矩阵时,A各阶主子矩阵全都大于等于零,A的所有特征值非负. 例2 设矩阵
101B020
101
满足矩阵AkEB, 其中k为实数,E为单位矩阵,求对角矩阵C,使得矩阵A相似与矩阵C,并求k为多少时,矩阵A为半正定矩阵.
解:由于B为实对称矩阵,从而A也为实对称矩阵,使得
2
EB20122,30
1
4--1f-5
从而存在正交矩阵T,使得
21
TBT2
0
A相似于B,所以
k-2
T1ATT1kEBTk-2=C①
k
由于A相似于C,设矩阵A特征值为u1,u2,u3由①可知,A的特征值为u1u2k2,u3k A为半正定的,所以
ui0i1,2,3 k20,k0 k0
所以k0时,A为半正定矩阵.
注9:本例题主要应用半正定矩阵性质2中A为半正定矩阵时,A的所有特征值非
负.
例3 设A,B分别为mn和sn的行满秩实矩阵,QABTBBTBA
证明:AATQ是半正定矩阵
AT
证明:令CB,GCC,那么G是半正定矩阵,且
AATABT
GBATBBT
其中AAT,BBT 分别是m阶和s阶,且秩AAT=秩Am 秩BBT=秩Bs 所以,AAT BBT都是可逆矩阵.
EABTBBT1AATABTEABTBBT1AATO TBATBBTO0BBEE0
AATO
是半正定,从而它由于G是半正定矩阵,但是合同不改变半正定性,因此TOBB
的主子矩阵AATQ也是半正定的.
注10:本例题主要应用了半正定矩阵性质2A是半正定矩阵,A的所有的主子矩阵非负;A是半正定矩阵,存在一个nn阶矩阵B,使得ABBT.
例4 A为实对称矩阵,若A为半正定矩阵,则对任意n维向量X,Y有
XTAYXTAXYTAY.
证明:在Rn中,由柯西-布涅夫斯基不等式,则
由于矩阵A为半正定矩阵,那么有nn 阶矩阵B,使得ABBT 令PX,PY,则
,222
,TPXTPYXTBTBYXTAX
2
,PXTPXXTAX 2
,PYTPYYTBY
所以
XTAXXTAXYTAY
注11:本例题主要应用柯西-不涅夫斯基不等式,证明半正定矩阵性质2(d)矩阵A是半正定矩阵,那么存在一个nn阶矩阵B,使得ABBT.
性质3:如果A是一个半正定矩阵,且k为正整数,那么Ak也是半正定的. 定义12. 矩阵的幂
AkAAAk
k对于矩阵Aaijnn,对任意正整数k,A定义为,称为矩阵A的k次幂.规定A0E.
证明:A为半正定矩阵,由性质2可知AC2, 其中,C是对称矩阵,那么
AkC2
C
k
k2
0
所以A也是半正定的.
性质4:设A,B为半正定矩阵,那么AB也为半正定的,且a0,则aA也为半正定的.
k
证明:由于矩阵A,B为半正定矩阵,则有XTAX0,XTBX0
那么有
XTABXXTAXXTBX0
XTaAXaXTAX=aXTAX0
所以AB,aA也为半正定的.
性质5:如果A是一个nn阶半正定矩阵,且S是nm阶矩阵,那么STAS为半正定的.
N,X证明:A是一个nn阶半正定矩阵,Aa是A的任意主子矩阵,1,2,
是仪的N维向量令Y=X且xi0,ia,那么有yTAayXTAX0.
注12:任何nn阶半正定矩阵A是对称的,有n个实特征值,并且它是正交的可对角化的,那就是说这里存在一个正交的矩阵U,使得UTAUD是对角矩阵,特别的rankArankDA的非零特征值.
性质6:设A,B为半正定矩阵,那么AB也为半正定的.
定义14[5].Kronecker积
设AaijRmn,BbijRmn,A与B的Kronecker积,记作AB,定义为
a11Ba12BaBa22BAB21
aBaBn2n1a1nBa2nBmnCannB
注4:从定义看矩阵的Kronecker积被表示成为矩阵的分块运算,即AB是一个分块矩阵,每一个子块是数乘运算aijB. 矩阵的Kronecker积也称为直积或张量积.
,m,Bu1,,um,证明:设A,B为半正定矩阵,设A1,则i0,uj0,
而且
ABiuj,i1,,m,j1,,n
由于iuj0,所以AB也是半正定的.
性质7[5]: 设A,B为半正定矩阵,那么AB也为半正定的.
定义15[5].Hadamard积
设AaijRmn,BbijRmn,其中A与B为同阶矩阵,A与B的Hadamard积,记作AB,定义为ABaijbijRmn.
注5: 矩阵A与B的Hadamard积即将A与B对应元素相乘,矩阵的Hadamard积也称为Schur积.
注6[5]:矩阵Hadamard积的性质:
① kABAkB
② ABCABAC
③ ABCABC
TT④ ABAB
注7:由矩阵的Kronecker积与Hadamard积的定义可以看出,AB是AB的主子矩阵. T
证明:设A,B分别是秩为k和l的半正定矩阵,那么A,B可以表示为
AviviT
i=1k
BwjwT
j
j=1l
AB
i1,j1v,vwwijijkT,其中,uij=viwj
T由于uijuij为半正定矩阵,所以AB也为半正定的.
注13:性质6知,A,B为半正定矩阵,AB也为半正定的,而AB是AB的一个主子矩阵,所以由此可得AB也为半正定的.
性质8:如果fxaixi是一个非负系数的多项式,并且A是半正定,那么
i0m
fxaiAi也是半正定的.
i0
kaAk注14:由性质3,性质4可得,如果A是一个半正定矩阵,A也为半正定的. 且a0,m
也为半正定的.那么aiAi也为半正定的.
i0m
小结
本文在了解一些矩阵基础知识的前提下,从半正定矩阵的定义出发,了解半正定矩阵的特点,特别是研究了从特征值、主子式、矩阵分解来判定何种矩阵为半正定矩阵,又研究了半正定矩阵的特殊的运算性质,如矩阵加法、矩阵数乘、矩阵求和、矩阵的幂、矩阵的hadamard 积 、矩阵的 kronecker积.
参考文献:
[1]王萼芳 石生明 高等代数 高等教育出版社 [M] 2008,4.P126 P164
[2]张绍飞 赵迪 矩阵论教程 机械工业出版社[M] 2010,1.P164 P43
[3]詹兴致 矩阵论 高等教育出版社 [M] 2008,6.P16 P40
[4]廖平安 矩阵论 湖南大学出版社 [M] 2005.P51
[5]杨明 刘先忠 矩阵论 华中科技大学出版社 [M] 2005,3.P136 P27
[6]钱吉林 高等代数题解精粹 中国人名大学 [M] 1973.P264
[7]刘书田 北京大学出版社 [M] 2007,8 P159
致谢:
经过半年的忙碌和工作,本次毕业论文已经接近尾声,作为一个本科生的毕业论文,由于经验的匮乏,难免有许多考虑不周全的地方,如果没有导师的督促指导以及同学们的支持,想要完成这个设计是很困难的。
在论文写作过程中,得到了我的导师***老师的悉心指导。您治学严谨,学识渊博,思想深邃,视野雄阔,为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔,置身其间,耳濡目染,潜移默化,使我不仅接受了全新的思想观念,树立了宏伟的学术目标,领会了基本的思考方式,从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的感觉。
然后还要感谢大学四年来所有的老师,为我们打下数学专业知识的基础;同时还要感谢所有的同学们,正是因为有你们的支持和鼓励,此次毕业论文才会顺利完成。
最后我还要感谢数学系和我的母校—****大学四年来对我的栽培。