_抛物线的切线及其性质初探
·童嘉数学之森窗
2 3 y ·均由不等式值 ,得t a =n槡 θ≤.3 槡 32 y因为θ
为角 ,锐所 以θ 的 最大 值 3 当且仅是 0 °当.
2即 y= ± 3时槡取最得大值. =y,
3 3 用定利义平与几何性质面破 解例 4 (设 动 C 与2 个 圆 定圆2 0 1 1年 广 卷)东2
22 2 x(+ 槡 5) + x 槡- )5+y =4 中 的 一 个 内y 4,(=
切, 另一个外 . (切1)求动 C 圆的心的轨迹圆L的 程 .方
1 32 级教特师) ◇ 京北 李 于海龙锋 嘉童 (
森35 4,5 ) 槡 槡 (,, 点 P 且已点知 M(2) F( 5 , 0) 槡 5
为5 L动上 ,点 |求 P MFP | | -| | |最的值大此及点时P 的标坐 . 解 ,( 由设题件知条1) 圆设心C( x, y) ((x + 槡5)+ -x 槡5 )+ |槡 y - 槡y|=4 ,
2 22
2
学中 教 中材 比较 透彻 地 究 研 直了线 与 圆相 切 问 题,对于直 线 其 与 他 曲 线,特别 是锥曲线圆切的问 相但这不并意 味着 高 中学 生 对 个这 问 题材并教未介绍 ,没题有决办法解, 特别是在 引 进 了 导 数这 一 工 性 知具 识 后 对于一,简些单圆的 锥 曲 线 的切 问线 题 我们就 有了一 的定决办法 . 本解就文 抛物 线的 切线 及 其 性质 问 题进一个初行的步论讨 .例1 如 右 ,图已 知抛 物线 x= A4 By的 焦 点 为 F , ,、是 抛物的线焦点弦过 A B 22
x
2 化 , 得 L 的简方程 -为 =1y.4 (
,入代L 的方程 ,得 2将)l x-槡 5 ) =y2- ( MF
2:
6 , 41 解得2 1x 5x - 32 5x + 48 =0 5. x. 5 1 =2 = 槡槡槡 5 1 5 2 从而6l T和25 - 槡 ,5 ) FM与 L的交 是点T 1( 5 槡5 14 , 2( 5 5 . )槡 1槡 51 5
点分别作 抛物 线的 切 线 ,设其证 明 交点为 M . 1()点 M在抛物 线准的上 线; → → (· )2FM A为定值B. ,, 证 明 ( y则 )1设 A ( B(x y x 1,y1) 2 , 2) 1
2 = x x 21 , , 2已由知, 点焦F ( 0,1 .)y 2 = 4
4
直设线A B 的 程方 :为 + 1x则 由 y, =k
2图
{ xk+1 y= 2, x 得4-k x- 40=,所 x x2 =以4. - 1 2x = y, 14 以所过 ,点 的由 y=1x2 求得y导′ x=,AB 2 4
如2 2图 所示 ,因 T1 在线 段 FM外 , T2 在线 段 故 MF内
,
切
方程线别为 分:
x21 1 x-x ,+y =x 1 1) 2(4 2 x 1 2 x-x + y, x= (22) 24 2 2 xx 11 2 即 =y11xx -, -x y.=x2 24 24 2 2由上 式 得 可(2 然显x x x=xxx 1 -2 1- )2 .≠1
M1T-||F 1|TM F| | |= ||=,2 TM2-| F T2|| F M|| | | <|2.
=点 若P 在直不 MF线上 , 在 △MF P 有
M中PF P F |M || |-| |< |=|.
2|故MP F P ||-|| | 在 只T1 取得点最大2.值 用利 圆锥 曲 线的 义定和 平面 几 何 中的 对 三称 形角三 边 关 系 、两点 之间段线最 短系关 、 来等理 , 处使求可最值题的解问答过程简捷快明. ( 者作位 单 :甘肃省宁会头县寨中 )学
x
2,故 2 x x
x xx xx2 1+1 21+2 1 ,1 = x = --1.= = y1·x2 2 42 4
““人” 的结 就是相互支构 撑, 众” 人事的需业每要个人的参与
9
.
·童森数嘉学窗之
x +x·2 , 因此 M (1- )1. 2
由于物线抛准方线程 为 =y 1- ,点 故M 在抛物 线的准上 线 .;y 0 , ,)证 明 设 切点 (A设 点切弦 xB ( yx 1y, 1)2, 2
)
xx 1 21+ 2 → →( ·, · (2 FM) AB= ( 2- x ) x2- ,1 x2 -2
4 2 22 2x x x 12 )x 2 1-1 - 2+ = 0 x1 . 4 2 =2 → → · 此因, 其值 0. FM A为 为B值定 ,2 (, 对于物线抛 x 们我以利用可 2 p y p>0)=
AB 所在直线的斜为率k 由.命题1 知可线切PA 、PB 的方 程别分为y1y= y x+和x x+ x p(. =y( p1) 22)
P( 代将切线 P 入xA、 P 的方程B y 0得 0, ② ), 式 由② 说①点明A( 在直线 x 均B( xy 1y,1 )2, )2上 , 因切此弦 A点x )xB 所在的线方直 y程 yp( 0 0= +为0y xx+. =p(y0) 2 同 理过抛 线 物 x 一外 点P( =2 x p>)0p y(0 , 2 条引线 ,切则 点切弦在所直的线方是程y 0) x xp=( .y+ y0 )
0 命2 3 题 抛 物 线 y直线 与 =A x( 2+xp p0)
>
,x x y y0= p (10 +) ,1 x xy 0 y=( p20 2+
)
①
数导的 知 识 求 得 抛过物 线上 一 点 处 的 切 本例中还涉线到及了而设不求的法方 方程.. 由本 例我可们以到以得下2
个推 广:2 推广
1 过物抛 线 的x焦 点F的 2= py( p >0)
线交直物线于 A抛、 过 、AB 2 点 , 2 B点切的交于线 →A →, , M 则点点M 在抛物的准线线 上且F M⊥ B 2. 推广 2过抛线物y 的焦 点 F的 =2 x (pp 0)>过 、A 线交直物抛于 A 线 、 2 点, B B 2点的切线交于 A → →M, 点则 M 在点物抛的准线上线 , FM且 B.⊥ 抛与线物的切线关有的结论有如下几个还命题:
命2题 1 抛物线 y 上 一 点P =( 2x(x >p) p 00,; 的处切线方是程y +x y y=px(0) 0 0) 2 抛 物线 x=2 一 上点 P(处的 x p0>)y p y (0 0,
B)2 2= B CA .yC+0 =相切的件是条 过抛p物线一上的切 线点方 程 与 切点 弦 方 一 程 ,
可致看作2 切点重 合的极时情端况. 根可据判式别证法 明 ,请同学们自己成 完.根 以据上结 论 们我可 更 以 方 便地解 决 抛 物与 线切的有线关问的 题.例 2 (2 0 8 0年 山 东 高 题 考 改编) 设过抛 物 线 上 ,2 点( 的2 Px (xQ x( py =2p >)0y y , 1) 12, ) 2切线条于点交M , 求 证: P M、 、 Q3点的横坐 成标比等
2;切 方线程是 x xp= (+ yy 0) 0明 证过设P (的切l线 y为 x- k x- ( yy ,00 )0 =2
( ,,代 入物线 y抛 消 去,y 整x k≠)0=2 x( p >p0) ) 理0得
数 列 ,坐标纵成等数列 . 差,证 明 设 M( 由则题命 2知切 弦P点x Qy0 0),2
,所 在直线方程 为 y 0与 抛线方程物yx x+ y=p(0 )2 联 , 立消 去x , 得y 2 x= -2 x( p0 p> ) 00 yy 2+ p
2 2 py 0 2p- 2x0 0, =y- y+ p kk 因 为线l 直抛物与线相 ,切所以 22 yp0 ) 2p- 4(-- x0 )2= , 0=Δ (p kk 整得理 解得2 x0 k 22-k+ =0,py 02
42x0 y 0± 槡 y0-8 kp=. 4x 0 2又 点 P在物抛上 线,所 y 代入得 以=k 2x0 , p 0=
=0
. 一由元二 次 方程 根 与 系 数关 系 可 知 y +y1 2 = ,· 、 、 2 2 x0 则 , 可 P 知 QM 3 点纵的坐标成 y 0y p1 y 2= 差数列等.
2 因为 P 所、y Q以两 点 均在 抛物 线上,x 1 p, 1=2 2 2 2 式相乘两得(所 以2 2x , x ,2 ypy pyx 2=1 ·12 )
=42 即 、Px x2 =xM、 Q3 点 的横标成坐比数等列 . 1 0,
y0 p 所 以抛线 物2 一上点P( = , x( x y2= pp 0>) ,02 x0 y0 的处切方程是 y线x x .+ y yp( =0 ) 0)02
同理物线抛x 上 一 点 P( 2= x >p0 y)p ( y0 0,
以上我)对 于们 抛 线 物的 切 及线其 性质问 题 做 了 一 初个的讨论 步 抛物线的 切, 存线 着在 许 多 趣有 的 同性时于对椭 圆 、 双线曲可也以照上按的述法进 方, 质行论 , 也会 得讨 到相类 似 的 结 论 , 给有兴留趣读的 继续者思考. 1北京市.里屯三中一( 作 单位者: 2.北京市柔怀第区中学一 ).北京市3八十第学中
处
的线方程切是x x p( .= +yy 0 )0
2命 2 题过 抛 物 y线外一 点P =2x (p0)>
p(
引 条 切 2线, 切点弦则在的直线所方程 是 xy0 ,0)( );y y= p+xx 0
2 0过物线 抛 外 一x点 P( 引 = 2 px y p>0) ( y,0 0)
则切
点 弦所在 的 直 线 方程 x 2是 切线 ,条x p( y+= 01 0
竞 争颇打似球 ,网与球 艺胜你过的手比赛对 , 以可提高你的平水.