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诱导范数的证明

05-19

下面用向量范数定义一类矩阵范数，这种矩阵范数满足上述两个条件。

定理1 设x ∈R , A ∈R

n

n ⨯n

，给

x 定一种向量范数v ，相应地定义一

个矩阵的非负函数

A v =max

x ≠0

Ax x

，

v

v

=Ax

x v =1

v

则称之为向量v 是一个矩阵范数，

范数x v 的诱导范数（算子范数）。

证明 只要验证矩阵范数定义的三个条件即可。

（1）对于任意的x ∈R ，

x v =1，由于A v =Ax v ≥0

x v =1

n

Ax ≥0，故

。进一步，

A v =Ax v =0

x v =1

⇔Ax v =0, ∀x ∈R , x v =1⇔Ax =0, ∀x ∈R , x v =1⇔A =0

（2）

n

n

A v =(αA ) x

x v =1

v

=α(Ax )

x v =1

v

=αAx

x v =1

v

=αA v

（3）

A +B

x v =1x v =1

v

v

=(A +B ) x =Ax +Bx

⎤≤⎡Ax +Bx v v ⎦x v =1⎣≤Ax v +Bx

x v =1

x v =1

v

v

=A v +B

。

v

根据矩阵范数的定义，v 是一个矩

阵范数。

性质1 设A 是由向量范数x 诱导的矩阵范数，则

（1）≤A x ；

≤B （2）；

（3）A =I 时，I =1。 证明 （1）由

A =max

x ≠0

Ax x

⇒当x ≠0时，⇒

Ax x

≤A

≤x 。

进一步，当x =0时，≤x 显然成立。

（

2

）

AB =max

x ≠0

(AB ) x x

=max

x ≠0

A (Bx ) x

≤max

x ≠0

A Bx x

=A max

x ≠0

Bx x

=A B

。


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