(文章)不等式比较大小例析
不等式比较大小例析
不等式大小比较的方法较多，下面就常用的方法举例说明如下.
一、实数性质比较法
例1．设x ，y ∈R ，试判定下列各题中，甲与乙的充分必要关系．
⎧x >0，⎧x +y >0，（1）甲：⎨ 乙：⎨ ⎩y >0；⎩xy >0.
⎧x >2，⎧x +y >4，（2）甲：⎨ 乙：⎨ y >2；xy >4. ⎩⎩
解：（1）当x > 0，且y > 0时，由实数性质可知x + y > 0，xy > 0．
当xy > 0时，x ，y 同号；又x + y > 0，可知x ，y 同正，即x > 0，且y > 0．
因此，甲是乙的充要条件．
（2）∵ x > 2 > 0，y > 2 > 0，
∴ x + y > 4，xy > 4，即甲⇒乙．
反之，乙甲．可举反例：x = 5，y = 1，这时x + y = 6 > 4，xy = 5 > 4，乙成立；但 x > 2，而y
因此，甲是乙的充分条件，但不是必要条件．
评述 两小题的结构相近，但逻辑关系却不同．判定两个不等式之间的充要关系一定要遵循“判定命题为真，要证明，判定命题为假，要举反例”的原则．
二、特殊值比较法
a 2+b 2a +b 2ab 例2．设a ，b 是不相等的正数，A =，G =ab ，H =，Q =，22a +b
试比较A 、G 、H 、Q 的大小．
分析 令a = 1，b = 3，则A = 2，G =3，H =3，Q =5，这时H
此可从G －H > 0，A －G > 0，Q －A > 0入手，推证结论．
解：∵ a ，b 是不相等的正数，
∴ G -H =ab -ab a +b -2ab 2ab = a +b a +b ()
=ab a -a +b )2>0，即H
学数学 用专页 第 1 页 共 3 页 版权所有 少智报·数学专页
a +b A -G =-ab =2a -b 2)
2>0，即G
a 2+2ab +b 2a +b a +b a +b >-=-=0，即A
综上可知，当a ，b 是不相等的正数时，H
评述 （1）令字母取特定数值，探求式子的大小关系，然后通过推证得出结论，这是比较式子的大小的有效途径．
（2）比较三个或三个以上的数或式的大小，不等式的传递性可简化过程．
（3）本题中，G =ab ，A =a +b 分别是正数a ，b 的几何平均数和算术平均数，22ab 1a 2+b 2=是a ，b 的平方平均数．H =是a ，b 的倒数的算术平均数的Q =2a +b
+
2
倒数，叫做a ，b 的调和平均数．H
三、函数性质比较法
例3．设a > 1，f (x )=a x +a -x ，求证：f ( x )在（0，+∞）上是增函数．
证明：任取 x 1，x 2∈ (0，+∞) ，且x 1
f (x 2) -f (x 1) =a x 2+a -x 2-a x 1+a -x 1
1⎫⎛1=a x 2-a x 1+ x -x ⎪ ⎝a 2a 1⎭
1⎫⎛=a x 2-a x 1 1-x +x ⎪ a 12⎭⎝
∵ a > 1时，y = a x 是(0, +∞)上的增函数，且y > 1．
∴ 当x 1 0，a x 1+x 2>1，1-()()()()1
a x 1+x 2>0．
由此可知 f (x 2) -f (x 1) >0，f (x 1) 1时，f
（0，+∞）上是增函数． (x )=a x +a -x 在
评述 不等式是判定和证明函数单调性的重要工具．事实上，判定和证明函数f ( x )在学数学 用专页 第 2 页 共 3 页 版权所有 少智报·数学专页
区间（a ，b ）上是增（减）函数，就是由不等式a f (x 2) ），这一过程就是依据基本函数的单调性实施一系列不等式的推出变换．
四、作差比较法
例4．船在流水中在甲、乙两地之间来回航行一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
解：设甲、乙两地之间的距离为S ，船在静水中的速度为u ，水流速度为v （u > v > 0），则船在流水中在甲、乙两地之间来回航行一次所需的时间
t =S S 2uS +=2 u +v u -v u -v 2
2S u 2-v 2
=平均速度 =． t u
u 2-v 2v 2
-u =-
∴
因此，船在流水中来回航行一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度低于船在静水中的速度．
评述 这是一个应用问题，归结为比较大小的数学问题．运用不等式的知识和方法可作出准确的判断．
学数学 用专页 第 3 页 共 3 页 版权所有 少智报·数学专页