2015高中数学集合与简易逻辑
集合A ＝｛x ｜x 2－ax ＋a 2－19＝0｝，B ＝｛x ｜x 2－5 x＋6＝0｝，C ＝｛x ｜x 2＋2 x－8＝0｝．
（1）若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值；（2）若∅ A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．
答案：
由已知，得B ＝｛2，3｝，C ＝｛2，－4｝.
(1) A∩B ＝A ∪B ， A ＝B
于是2，3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由韦达定理知：
⎧2+3=a 解之得a ＝5. ⎨2⎩2⨯3=a -19
(2)由A ∩
B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A ，2∉A ，－4∉A ，由3∈A ， 得32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a=－
2
当a=5时，A ＝｛x ｜x 2－5x ＋6＝0｝＝｛2，3｝，与2∉A 矛盾；
当a=－2时，A ＝｛x ｜x 2＋2x －15＝0｝＝｛3，－5｝，符合题意.
来源：09年湖北宜昌月考一
题型：解答题，难度：中档已知：集合A={x|
U=R，
求（1）A ∪B ；
（2）（uA ）∩B. 2x -3≤0}， B={x|x2－3x+2
答案： A={x|32x -3≤0}={x|－5
B={x|x2－3x+2
（1）A ∪B={x|－5
（2）（uA ）={x|x≤－5或x>3} （2uA ）∩B={x|3
来源：09年湖北襄樊月考一
题型：解答题，难度：中档
x -2
（I ）求A ，B ；
（II ）求(ðU A ) B ．
答案： （Ⅰ）由x -2
由x -2
∴ðU A =(-∞, -2]{}{}[2, +∞). ∴ðU A ()B =[2,3).
来源：09年北京海淀月考一
题型：解答题，难度：容易 设M ={a a =x -y , x , y ∈Z }，求证：
（1）2k -1∈M , (k ∈Z ) ；
（2）4k -2∈M , (k ∈Z ) ；
（3）若p ∈M , q ∈M ，则pq ∈M . 22
答案：
（1）因为k , k -1∈Z ，且2k -1=k 2-(k -1) 2，所以2k -1∈M .
（2）假设4k -2∈M (k ∈Z ) ，则存在x , y ∈Z ，使4k -2=x 2-y 2，由于x -y 和x +y 有相同的奇偶性，所以x 2-y 2=(x -y )(x +y ) 是奇数或4的倍数，不可能等于4k -2，假设不成立，所以4k -2∉M .
（3）设p =x 2-y 2, q =a 2-b 2, x , y , a , b ∈Z ，则
pq =(x 2-y 2)(a 2-b 2) =a 2a 2+y 2b 2-x 2b 2-y 2a 2
。 =(xa -yb ) 2-(xb -ya ) 2∈M （因为xa -ya ∈Z , xb -ya ∈Z ）
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
222判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，C r ={(x , y ) x +y ≤r }，
若对任何r ≥0，都有C r A ⊆C r B ，则必有A ⊆B ，证明你的结论。
答案： 不正确，取A ={(x , y ) y =x },B ={(x , y ) y =x , 且x ≠0}满足条件，但A ⊄B 。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：中档
设集合P ={1，2，3，4，5}，对任意k ∈P 和正整数m ，记f (m ，k )=⎡k +1⎤m ⎢⎥，其∑i +1⎦i =1⎣5
中[a ]表示不大于a 的最大整数。求证：对任意正整数n ，存在k ∈P 和正整数m ，使得f (m ，k )=n 。
答案：
设集合P ={1，2，3，4，5}，对任意k ∈P 和正整数m ，记
f (m ，k )=⎡k +1⎤m ⎢⎥，其中[a ]表示不大于a 的最大整数。求证：对任意正整数n ，∑i +1⎦i =1⎣5
存在k ∈P 和正整数m ，使得f (m ，k )=n 。
证明：定义集合A ={m k +1|m ∈N*，k ∈P }，其中N*为正整数集。由于对任意k 、i ∈P 且k ≠i ，k +1是无理数，则对任意的k 1、k 2∈P 和正整数m 1、m 2，m 1k 1+1=m 2k 2+1i +1
当且仅当m 1=m 2，k 1=k 2。由于A 是一个无穷集，现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中第n 项为m k +1。下面确定n 与m 、k 的关系。若m 1i +1≤m k +1，则m 1≤m k +1。由m 1是正整数可知，对i =1，2，3，4，+1
5⎡⎡k +1⎤k +1⎤m 5，满足这个条件的m 1的个数为⎢m 。从而n =⎥⎢⎥=f (m ，k ) 。因此对任∑i +1⎦i +1⎦i =1⎣⎣
意n ∈N*，存在m ∈N*，k ∈P ，使得f (m ，k )=n 。
来源：07年全国高中数学竞赛
题型：解答题，难度：较难 22已知集合A ={(x , y ) ax +y =1},B ={(x , y ) x +ay =1},C ={(x , y ) x +y =1}，
问：当a 取何值时，(A B ) C 为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？
答案：
⎧ax +y =1因为（A ∪B ）∩C=（A∩C）∪（B∩C），而A∩C，B∩C分别为方程组⎨2①②2⎩x +y =1
（Ⅰ）与⎨⎧x +ay =1
⎩x +y =122 ③④ （Ⅱ）的解集。
在（Ⅰ）中将①代入②消去y 得（1-ax ）2+x 2=1.
即（a 2+1）x 2-2ax=0，
所以x =0或x =2a 。 a 2+1
2a 1-a 2
. 当x =0时y =1，当x =2时，y =a +11+a 2
⎧⎛2a 1-a 2
所以（Ⅰ）的解集为⎨(0, 1), a 2+1, 1+a 2⎝⎩⎫⎫⎪⎪⎬. ⎭⎭
⎫⎫⎪⎪⎬, ⎭⎭⎧⎛1-a 22a 在（Ⅱ）中将③代入④解（Ⅱ）得⎨(1, 0), 1+a 2, 1+a 2⎝⎩
（1）若（A ∪B ）∩C含有2个元素，因为（0，1），（1，0）∈（A ∪B ）∩C，
所以（A ∪B ）∩C中只含有这两个元素，从而
⎧2a ⎧2a =0=122⎪⎪⎪a +1⎪a +1或。 ⎨⎨22⎪1-a =1⎪1-a =0⎪⎪⎩1+a 2⎩1+a 2
解得a =0或a =1。
故当a =0或a =1时，（A ∪B ）∩C恰有2个元素。
2a 1-a 2
=（2）若（A ∪B ）∩C含有3个元素，由（1）知只有， 1+a 21+a 2
即a 2+2a -1=0.
所以a =-2±=-1±2. 2
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难 已知A ={(x , y ) y =a x },B ={(x , y ) y =x +a },C =A B ，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围。
答案：
ⅰ）若a =0，则由⎨⎧y =0得C =A B ={(0, 0)}； ⎩y =x
⎧y =a x ⅱ）若a ≠0，由⎨得(a -1) x =a , (x >0) 或-(a +1) x =a (x
所以当且仅当-1≤a ≤1时，C 为单元素集。
所以a 的取值范围是-1≤a ≤1。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：中档
对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n ) ，使得对于任何正整数m ，集合
{m , m +1, , m +n -1}的任一个f (n ) 元子集中，均有至少3个两两互质的元素。
答案：
首先，在2，3，4，…，n +1中能被2或3或除的有 ⎢⎛⎡n +1⎤⎡n +1⎤n +1⎫个，记+⎢-⎪⎪⎥⎥6⎭⎝⎣2⎦⎣3⎦
为g(n)，其中任意3个中必有2个不互质，所以f(n)>g(n)。
引理：当m 为奇数时，从{m, m+1, m+2, m+3, m+4}中任意取出4个元素，必有3个两两互质。
只需分m=6k+1, 6k+3, 6k+5三类讨论即可。
下面证明，当f(n)=g(n)+1时，题设条件成立。
用反证法，若不然，对于给定的S ，因为m, m+1中必有1个奇数，从这个奇数开始，连续6个整数为一组，设n=6k+r, 1≤r ≤6.
（1）若r=1,2,3,则由引理可知，每组至多取出4个数，一共至多取出4k+r
（2）若r=4,5，从m, m+1中的奇数开始分组，最后余下至少3个数，且以奇数开头。以奇数开头的连续3个正整数两两互质，从而必有1个没被取出。由引理可知一共至多取出4k+r-1
（3）若r=6，从m, m +1中的奇数开始连续6个整数为一组，最后余下以奇数开头的至少5个整数，连同第一个数（如果第一个数为偶数）作为一组，共分k+1组。由引理可知，每组至多取出4个数，一共至多取出4(k+1)
综上所述，假设不成立。所以当f(n)=g(n)+1=⎢⎡n +1⎤⎡n +1⎤⎡n +1⎤+⎢-⎢+1时，对于⎥⎥⎥⎣2⎦⎣3⎦⎣6⎦
任意m ∈N +，从S 中任取f(n)个元素，总有3个两两互质。
故f (n )=⎢⎡n +1⎤⎡n +1⎤⎡n +1⎤+⎢-⎢+1 ⎥⎥⎥236⎣⎦⎣⎦⎣⎦
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
，2， ，m}，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划设集合A ={1
A 1, A 2, , A 14，一定存在某个集合A i (1≤i ≤14) ，在A i 中有两个元素a 和b 满足b
答案：
构造数表表1、表2如下。
表1 表2
A 1
A 2
A 3
123 152943 163044 173145 A 1A 2A 3 123 [***********]
A 1212264054
A 1313274155
A 1414284256 A 1212264054A 1313274155
A 14142842
如表2，第i 行的数即为子集A i 中的元素，这时|Ai |=4(i=1,2,…,13) ，|A14|=3。显然，14个子集中每一个都不存在两个元素满足题中不等式。所以m ≥56.
另一方面，若m=56，则对A 的任意分划A 1，A 2，…，A 14，数42，43，…，56中必有两个数属于同一个A ，取此二数为a 和b ，则42≤a
综上所述，所求m 的最小正整数为56。 44·42≤a . 33
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
1∉S ; 2）已知S 是由实数构成的集合，且满足1）若a ∈S ，则
S 中至少含有多少个元素？说明理由。 1∈S 。如果S ≠∅，1-a
答案： 首先a ≠112∈S 得（否则a -a +1=0，但∆=1-4
11-1
1-a =1-1111∈S ，且1-≠a （理由同上）, 1-互不相同，所以S 至。所以a , a 1-a a a
1
2少含有3个元素。另一方面，S ={2, -1, 满足条件，故S 至少含有3个元素。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：中档
集合A 和B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）C ⊆A B 且C 中含有3个元素；2）C A ≠∅。
答案： 22若C A =1，则有12⨯C 8若C A =2，则有C 12⨯8=12⨯11⨯4=12⨯4⨯7种；种；若C A =3，则有C 12=11⨯10⨯2种，故满足条件的C 共有1084个。 3
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
S 是Q 的子集且满足：若r ∈Q ，则r ∈S , -r ∈S , r =0恰有一个成立，并且若
a ∈S , b ∈S ，则ab ∈S , a +b ∈S ，试确定集合S 。
答案：
若-1∈S ，则(-1)2=1∈S 与已知矛盾，所以-1∉S ，1∈S 。
所以1+1=2∈S ，1+2=3∈S ，…，依次类推， 11∉S ，所以∈S 。 m m
n 所以若r ∈Q, 则设r =, m,n ∈N +. m
1因为n ∈S ，∈S ，所以r ∈S ，所以Q +⊆S 。 m
由已知若r ∈S ，因为r ≠0，若r
所以r ∈Q +, 所以S ⊆Q +，所以S=Q+.
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
求集合B 和C ，使得B C ={1, 2, , 10}，并且C 的元素乘积等于B 的元素和。
答案：
因为1+2+…+10=55
（1）C 由一个元素构成，因为C 的元素乘积不超过10，B 的元素和至少为55-10=45。故此情况不成立。
（2）C 由两个元素x , y 构成，设x
（3）C 由三个元素x
当x =1时，解得y =4,z =10,因此C={1，4，10}，B={2，3，5，6，7，8，9}； 当x =2时，有2yz +y +z =53,即(2y +1)(2z +1)=107为质数，无解；
若x ≥3，显然有xyz ≥3×4×5=60>55-x -y -z ，无解。
（4）C 由四个元素x 55.这时
yzt =54-y -z -t,2≤y
综上可知，B ，C 有3组解。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？
答案：
假设有9个五元子集，重复计数共5×9=45个元素。
因为45=4×10+5，由抽屉原理，必有一个元素出现在至少5个五元子集中，不妨设0出现在五元子集A 1，A 2，A 3，A 4，A 5中，这5个子集中除0外，重复计数还含有共4×5=20个元素，因为20=2×9+2。
所以由抽屉原理可知必有1个元素出现在三个五元子集中，不妨设1出现在A 1，A 2，A 3中，则0，1同时出现在3个子集中，不满足题意，故五元子集数≤8。
如下8个五元子集满足题意：A 1 0 2 4 6 8
A 2 0 2 5 7 9
A 3 0 3 4 7 9
A 4 0 3 5 6 8
A 5 1 2 4 6 9
A 6 1 2 5 7 8
A 7 1 3 4 7 8
A 8 1 3 5 6 9
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
S 1, S 2, S 3是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列i , j , k ，如果x ∈S i ，y ∈S j ，则x -y ∈S i 。求证：S 1, S 2, S 3中必有两个相等。
答案：
证明：由已知，若x ∈S ，y ∈S j ，则y-x ∈S k , (y-x )-y=-x∈S i ,
所以每个集合中均有非负元素。
当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。
否则，设S 1，S 2，S 3中的最小正元素为a ，不妨设a ∈S 1，设b 为S 2，S 3中最小的非负元素，不妨设b ∈S 2，则b-a ∈S 3.
若b>0, 则0≤b-a
任取x ∈S 1，由于0∈S 2，故x -0=x ∈S 3，所以S 1⊆S 2，同理S 3⊆S 1，故S 1⊆S 3。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集A i (i =1, 2, , 117) ，使得（1）每个A i 恰有17个元素；（2）每个A i 中各元素之和相同。
答案：
将集合{1，2，…，1989}中的数从小到大顺次分成17段，每段含117个数，从第4段数开始，将偶数段的数从小到大依次放入A 1，A 2，…，A 117中，并将奇数段的数从大到小依次放入这117个子集中，易见，所有集合中的14个数之和都相等，于是问题归结为如何将前三段数{1，2，…，351}的每3个一组分别放入每个集中，且使每组3个数之和都相等。 把这些数中3的倍数抽出来从大到小排好：{351，348，345，…，6，3}，共117个数，依次将入A 1，A 2，…，A 117中，其余的234个数从小到大排列并分成两段，每段117个数，即{1，2，4，5，7，…，173，175}和{176，178，179，…，349，350}，将这两段数分别顺次放入A 1，A 2，…，A 117之中便满足要求。事实上，若将这两段数中的数顺次相加，则其和为{177，180，183，186，…，522，525}。由此可见，放入每个A i 的3个数之和都是528。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
某人写了n 封信，同时写了n 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？
答案：
本题使用错位排列，因此每封信都装错的情况有n ! 1-
种。 ⎛⎝1111⎫+-+ +(-1) n ⎪1！2！3！n ！⎭
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：中档
设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数k ，使S 的任意一个s 元子集中都存在两个不同的数a 和b ，满足(a +b ) ab 。
答案：
设有a,b ∈S 满足(a+b)|ab，记c=(a, b)，于是a=ca1, b=cb1，其中a 1, b1∈N +且有（a 1,b 1）=1, a 1≠b 1，不妨设a 1>b1。由于a+b=c(a 1+b1), ab =c 2a 1b 1，因此（a 1+b1）|ca 1b 1。又由于（a 1+b1, a 1）=1, （a 1+b1, b 1）=1, 因此a 1+b1|c 。而a+b≤99，即c （a 1+b1）≤99，所以3≤a 1+b1≤9。由此可知，S 中满足(a+b)|ab 的不同数对（a, b）共有23对：当a 1+b1=3时，有（6，3），（12，
6），（18，9），（24，12），（30，15），（36，18），（42，21），（48，24）；当a 1+b1=4时，有（12，4），（24，8），（36，12），（48，16），当a 1+b1=5时，有（20，5），（40，10），（15，
10），（30，20），（45，30）；当a 1+b1=6时，有（30，6）；当a 1+b1=7时，有（42，7），（35，
14），（28，21）；当a 1+b1=8时，有（40，24）；当a 1+b1=9时，有（45，36）。
令M={6，12，15，18，20，21，24，35，40，42，45，48}，则上述23个数对中的每一个数都至少包含M 中的1个元素。令T=S-M。则T 中任何两数都不能成为满足要求的数对（a,b ）。因为|T|=38，所以所求最小自然数k ≥39.
另一方面，下列12个满足题中要求的数对互不相交：（6，3），（12，4），（20，5），（42，
7），（24，8），（18，9），（40，10），（35，14），（30，15），（48，16），（28，21），（45，36），对于S 中任一39元子集R ，它只比S 少11个元素，而这11个元素至多属于上述12个数对中的11个，因此必有12对中的1对属于R 。故所求的最小自然数k=39.
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
设a 1, a 2, , a 20是20个两两不同的整数，且整合{a i +a j ≤i ≤j ≤20}中有201个不同的元素，求集合{a i -a j ≤i
答案：
所给集合的元素个数的最小值为100。
首先，令a i =1011+10i , a10+i=1011-10i (i=1,2, …，10) ，则{a i +aj |≤i ≤j ≤20}中共有（20+19+…+1）-10+1=201个不同的元素，而{a i -a j ||1≤i ≤j ≤20}={2×10i }i =1，2，…，10}∪{|10i ±10j ||1
2≤i
下面用反证法证明：所给集合的不同元素的个数不小于100。
若存在一个使所给集合的元素个数小于100的集合S={a 1, a2, … ,a 10}，我们计算S 的“好子集”{x,y,z,w }的个数，这里x
对S 中满足b>c的数对（b,c ）（共190对），考虑它们的差b-c ，由于至多有99个不同的差（这里用反证法假设），故必须至少91个数对（b, c），使得存在b ’, c’ ∈S ，满足b ’
另一方面，S 的“好子集”{x, y, z,w}的个数等于1∑2s i (s i -1) ，这里的s i 为S 中满足b+c=I, b≤c 的数对（b, c）的个数，其中i 为正整数。
注意到，对于每个i, S中的每个元素s 至多出现在上面的一个数对（b, c）中（事实上，当s ≤i-s 时，s 出现在数对（s, i-s）中，其余情况出现在（i-s, s）中），于是s i ≤10. 从而在s i ≠0时1 ≤s i ≤10，故1s i (s i -1) ≤5s i -5，由于集合{a i +aj |1≤i ≤j ≤20}中有201个不同的元2
2素，故使得s i ≥1的正数i 有201个。设T 为这样的i 组成的集合，易知s 中有C 20对（b,c ）
满足b
i ∈T i 2=C 20+20=210，于是
1。这与s 的“好子集”至少有46个矛盾，所s i (s i -1) ≤∑(5s i -5) =5×（210-201）∑i ∈T 2i ∈T
以，所给集合中至少有100个不同的元素。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
集合{1，2，…，3n}可以划分成n 个互不相交的三元集合{x , y , z }，其中x +y =3z ，求满足条件的最小正整数
答案：
设其中第i 个三元集为{x i , y , z i },i =1, 2, , n , 则1+2+…+3n =∑4z
i =1n i , n 3n (3n +1) 所以=4∑z i 。当n 为偶数时，有83n ，所以n ≥8，当n 为奇数时，有2i =1
83n +1，所以n ≥5，当n =5时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n 的最小值为5。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
设S 是由2n 个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。
答案：
证明：用反证法：设S 为一个由2n 个人组成的集合，S 中每两个人的公共朋友数为奇数，S 中的任意一个人A ，记M ={F 1，…，F n }为A 的朋友集。可以证明：每个A ，k 都为偶数。
事实上，对每个F i ∈M ，考虑它在M 中的朋友数，所有这k 个F i 的这些朋友数之和为偶数（因为朋友是相互的），而对A ，F i 而言，其公共朋友数为奇数，故每个F i 的这样的朋友数为奇数，故k 为偶数。
设k =2m ，现在考虑每个F i ∈M ，他的所有朋友集不包括A ，但不局限于M 中他的这样的朋友数为奇数（因为F i 的朋友数为偶数，而A 不算在内）。因此，所有2m 个这样的朋友集的元素个数之和为偶数。从而在2n -1个人（A 除外）中，必有一个人在偶数个这样的朋友集中出现，但与A 的公共朋友数为偶数。
这个矛盾表明有两个S 中的人，他们的公共朋友数为偶数。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
集合X ={1, 2, , 6k },k ∈N +，试作出X 的三元子集族&，满足：
（1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；
（2）&=6k (&表示&的元素个数）。 2
答案：
先证明下面的引理。
引理：对于n ∈N +，集合X 1={1，2，…，2n }的全部二元子集可分成2n -1组，且每组是X 1的一个分划。
引理的证明：如图所示，将1，2，…，2n -1个数按顺时针方向
放到一个正2n -1边形的顶点上，数2n 放在外接圆圆心上。
连接2n 与1，作n -1条以2n -1边形顶点为端点且垂直于1与
2n 连线的线段，便得到X 1的n 个二元子集构成X 1的n 个二元子集。
2这样，X 1的全部C 2n =n (2n -1) 个二元子集被分成2n -1组，且每
组n 个集合构成X 1的一个分划。
下面来做满足题设的子集族。
令A={1，2，…，2k }，B={2k +1,2k +2,…,4k }，C={4k +1,4k +2,…,6k }。由引理可知，A 的全部二元子集可分为2k -1组，每组是A 的一个分划。将其中一组重复一次，得到A 的2k 个分划，让其中每个分划与B 的一个元素搭配作出k 个X 的三元子集。
类似地，作出B 的2k 个二元子集构成的分划，包含B 的全部二元子集，让其中每个分划与C 的一个元素搭配作出k 个X 的三元子集；作出C 的2k 个二元子集构成的分划，包含C 的全部二元子集，让其中每个分划与A 的一个元素搭配作出k 个X 的三元子集。
上面得到的k ×2k ×3=6k 2个X 的三元子集组成的族&满足题设要求。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
A B M =A B 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足A M =B M =A B ，
求集合M （用A ，B 表示）。
答案：
先证(A B ) ⊆M ，若x ∈(A B ) ，因为A M =A B ，所以x ∈A M , x ∈M ，所以(A B ) ⊆M ；
再证M ⊆(A B ) ，若x ∈M ，则x ∈A B M =A B . 1）若x ∈A ，则
x ∈A M =A B ；2）若x ∈B ，则x ∈B M =A B 。所以M ⊆(A B ).
综上，
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
2设集合A={(x , y ) y -x -1=0}, 2B={(x , y ) 4x +2x -2y +5=0}C={(x , y ) y =kx +b }，
问：是否存在k , b ∈N ，使得(A B ) C =∅，并证明你的结论。
答案：
⎧y =kx +b 假设存在这样的k , b ∈N ，则(A B ) C =∅，所以⎨2 ①与⎩y -x -1=0
⎧4x 2-2x -2y +5=0 ②均无解，由①得k 2x 2+(2kb -1) x +b 2-1=0 ③。 ⎨⎩y =kx +b
ⅰ）若k =0，则③有实根，所以k ≠0。ⅱ）若k ≠0，则③无解，所以
∆=1-4b +4k 2
4x 2+2(1-k ) x +5-2b =0无解，所以∆' =4(1-k ) 2-16(5-2b )
（1）若b =0，则④不成立；（2）若b =1，则④仍(1-k ) 2+8b
2不成立；（3）若b =2，由⑤式得(1-k )
所以k =1，反之k =1, b =2时，④，⑤均成立，从而①，②无解，所以存在k =1, b =2满足条件。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
集合A ，B ，C 是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若A B =I ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数。
答案：
（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A\B，B\A，A B , I 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。
（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有210=1024个，非空真子集有1022个。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合A i ，i =1, 2, , 20, A i A j ≤2, 1≤i
答案：
n min =16.
设B 中每个数在所有A i 中最多重复出现k 次，则必有k ≤4。若不然，数m 出现k 次（k >4），则3k >12. 在m 出现的所有A i 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，其中a i ∈A , 1≤i ≤6，a 1, a 2, m , b 1}{1, a 3, a 4, m , b 2},{1, a 5, a 6, m , b 3}，
为满足题意的集合。a i 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以k ≤4. 20个A i 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以n ≥16。当n =16时，
如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
给定集合I ={1, 2, 3, , n }的k 个子集：A 1, A 2, , A k ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值。
答案：
将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得2n -1对，每一对不能同在这k 个子集中，因此，k ≤2n -1；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设A A 1=∅，则A 1⊆C 1A ，从而可以在k 个子集中再添加C 1A ，与已知矛盾，所以k ≥2n -1。综上，k =2n -1。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
求所有自然数n (n ≥2) ，使得存在实数a 1, a 2, , a n 满足：
{a i -a j ≤i
答案：
当n =2时，a 1=0, a 2=1；当n =3时，a 1=0, a 2=1, a 3=3；当n =4时， a 1=0, a 2=2, a 3=5, a 4=1。下证当n ≥5时，不存在a 1, a 2, , a n 满足条件。
令0=a 1
所以必存在某两个下标i
（ⅰ）若a n =n (n -1) n (n -1) , a n -1=a n -1或a n =，a 2=1。 22n (n -1) , a n -1=a n -1，考虑a n -2，有a n -2=a n -2或2
a n -2=a n -a 2，即a 2=2，设a n -2=a n -2，则a n -1-a n -2=a n -a n -1，导致矛盾，故只有a 2=2.
考虑a n -3，有a n -3=a n -2或a n -3=a n -a 3，即a 3=3，设a n -3=a n -2，则
设a 3=3，则a n -a n -1=1=a 3-a 2，又推出矛盾， a n -1-a n -2=2=a 2-a 0，推出矛盾，
所以a n -2=a 2, n =4故当n ≥5时，不存在满足条件的实数。 （ⅱ）若a n =n (n -1) , a 2=1，考虑a n -2，有a n -2=a n -1或a n -2=a n -a 3，2
即a 3=2，这时a 3-a 2=a 2-a 1，推出矛盾，故a n -1=a n -2。考虑a n -3，有
a n -3=a n -2或a n -3=a n -a 3，即a 3=3，于是a 3-a 2=a n -a n -1，矛盾。因此
所以a n -1-a n -2=1=a 2-a 1，这又矛盾，所以只有a n -2=a 2，所以n =4。a n -2=a n -3，
故当n ≥5时，不存在满足条件的实数。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
答案： 记I ={1, 2, 3, , 100},A ={x ≤x ≤100, 且x 能被2整除（记为2x ）}， B ={x ≤x ≤100, 3x },C ={x ≤x ≤100, 5x }，由容斥原理，
A B C =A +B +C -A B -B C -C A +A B C
⎡100⎤⎡100⎤⎡100⎤⎡100⎤⎡100⎤⎡100⎤⎡100⎤所以不能被2，3，=⎢+⎢+⎢-⎢-⎢-⎢+⎢=74，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥2356101530⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
5整除的数有I -A B C =26个。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？
答案：
将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当S ={r r =11k +t , t =1, 2, 4, 7, 10, r ≤2004, k ∈N }时，恰有S =912，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
A ={x x 2-3x +2=0}, B ={x x 2-ax +a -1=0}, C ={x x 2-mx +2=0}，若A B =A , A C =C ，求a , m .
答案：
2依题设，A ={1, 2}，再由x -ax +a -1=0解得x =a -1或x =1，
因为A B =A ，所以B ⊆A ，所以a -1∈A ，所以a -1=1或2，所以a =2或3。
2因为A C =C ，所以C ⊆A ，若C =∅，则∆=m -8
若C ≠∅，则1∈C 或2∈C ，解得m =3.
综上所述，a =2或a =3；m =3或-22
来源：08年数学竞赛专题一
题型：解答题，难度：较难
已知关于x 的不等式组⎨⎧x -a
⎩2x -a >2
（１）集合B =(1, 3)，若A ⊆B ，求a 的取值范围；
答案：
a +1⎧x -a 2⎪2⎩
满足A ⊆B ； a +1≤3⎧a +2⎪a ⎛a +2⎫当a +1>，即a >0时A = ，解得, a +1⎪，A ⊆B ，所以⎨+2≥122⎝⎭⎪⎩2
0≤a ≤2，所以0
a +1≤3⎧⎪20且⎨，解得1≤
1
来源：09年江苏盐城月考二
题型：解答题，难度：中档
已知集合A ={x |(x -2)[x -(3a +1)]
（1）当a =2时，求A B ；
（2）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围； x -2a
答案：
（1）当a=2时，A =(2, 7), B =(4, 5) ∴A B =(4, 5)
（2） B =(2a , a 2+1) 当a
⎧2a ≥3a +1要使B ⊆A , 必须⎨2，此时a=－1； ⎩a +1≤2
1时, A =Φ, 使B ⊆A 的a 不存在； 3
1当a >时, A =(2, 3a +1) 3当a =
⎧2a ≥2要使B ⊆A , 必须⎨2此时1≤a ≤3 ⎩a +1≤3a +1
综上可知，使B ⊆A , 的实数a 的取值范围为[1，3] {-1}
来源：09年湖南月考三
题型：解答题，难度：较难
222已知集合A =x x -2x -8≤0，B =x x -(2m -3) x +m -3m ≤0, m ∈R {}{}
（1）若A ⋂B =[2, 4]，求实数m 的值；
（2）设全集为R ，若A ⊆C R B ，求实数m 的取值范围。
答案：
(Ⅰ) ∵A =[-2, 4]， B =[m -3, m ] A ⋂B =[2, 4],
⎧m -3=2∴ ⎨ ∴m =5 m ≥4⎩
(Ⅱ) C R B ={x x m }
∵A ⊆[R B ∴m 4， ∴m >7或m
来源：09年江苏南通月考一
题型：解答题，难度：较难
已知集合A ={a 1，a 2，，a k }(k ≥2) ，其中a i ∈Z (i =1，2，，k ) ，由A 中的元素构成两个相应的集合：
S ={(a ，b ) a ∈A ，b ∈A ，a +b ∈A }，T ={(a ，b ) a ∈A ，b ∈A ，a -b ∈A }. 其中(a ，b ) 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n .
若对于任意的a ∈A ，总有-a ∉A ，则称集合A 具有性质P .
(1)检验集合{01，，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；
(2)对任何具有性质P 的集合A ，证明：n ≤k (k -1) ； 2
(3)判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.
答案：
(1)解：集合{01，，2，3}不具有性质P .
集合{-1，2，3}具有性质P ，其相应的集合S 和T 是S ={(-13) ，，，(3-1) }，
T ={(2，-1) ，，(23)}.
(2)证明：首先，由A 中元素构成的有序数对(a i ，a j ) 共有k 个.
因为0∉A ，所以(a i ，a i ) ∉T (i =1，2，，k ) ；
又因为当a ∈A 时，-a ∉A 时，-a ∉A ，所以当(a i ，a j ) ∈T 时，2
(a j ，a i ) ∉T (i ，j =1，2，，k ) .
从而，集合T 中元素的个数最多为12k (k -1) (k -k ) =， 22
k (k -1) . 2
（III ）解：m =n ，证明如下： 即n ≤
（1）对于(a ，b ) ∈S ，根据定义，a ∈A ，b ∈A ，且a +b ∈A ，从而(a +b ，b ) ∈T . 如果(a ，b ) 与(c ，d ) 是S 的不同元素，那么a =c 与b =d 中至少有一个不成立，从而a +b =c +d 与b =d 中也至少有一个不成立.
故(a +b ，b ) 与(c +d ，d ) 也是T 的不同元素.
可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m ≤n ，
（2）对于(a ，b ) ∈T ，根据定义，a ∈A ，b ∈A ，且a -b ∈A ，从而(a -b ，b ) ∈S . 如果(a ，b ) 与(c ，d ) 是T 的不同元素，那么a =c 与b =d 中至少有一个不成立，从而a -b =c -d 与b =d 中也不至少有一个不成立，
故(a -b ，b ) 与(c -d ，d ) 也是S 的不同元素.
可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n ≤m ，
由（1）（2）可知，m =n .
来源：07年高考北京卷
题型：解答题，难度：较难
已知集合A ={x |3≤x 求：（1）A B ；（2）(C R A ) B ；（3）若A C ≠Φ，求a 的取值范围。
答案：
（1）A B ={x |2
（2）(C R A ) B ={x |2
（3）a >3
来源：09年江苏高邮月考一
题型：解答题，难度：中档
(文）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________
答案：
设所求人数为x ，则只喜爱乒乓球运动的人数为10-(15-x ) =x -5，
故15+x -5=30-8⇒x =12. 注：最好作出韦恩图！
来源：09年高考湖南卷
题型：填空题，难度：容易
(文）设集合A=(x ∣log 2x
答案：
{x |0
【解析】易得A={x |0
来源：09年高考湖北卷
题型：填空题，难度：中档
某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不
喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___
答案：
12
【解析】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15-x ) 人，只喜爱乒乓球的有(10-x ) 人，由此可得(15-x ) +(10-x ) +x +8=30，解得x =3，所以15-x =12，即所求人数为12人。.
来源：09年高考湖南卷
题型：填空题，难度：中档
(文）若U ={n n 是小于9的正整数}，A ={n ∈U n 是奇数}，B ={n ∈U n 是3的倍数}，则ðU (A B ) =.
答案：
{2,4,8} .
解法1U ={1,2,3,4,5,6,7,8}，则A ={1,3,5,7},B ={3,6,9},所以
A B ={1,3,5,7,9}，所以ðU (A B ) ={2,4,8}
解析2U ={1,2,3,4,5,6,7,8}，而痧U (A B ) ={n ∈U |n U (A B ) ={2,4,8}
来源：09年高考重庆卷
题型：填空题，难度：容易 x 若A =x ∈R x 1，则A {}{}B =
答案：
（0，3）
【解析】因为A ={x |-30}, 所以A I B =(0,3)
来源：09年高考重庆卷
题型：填空题，难度：容易
(文) 设全集U =A ⋃B =x ∈N |lg x
A ⋂C U B ={m |m =2n +1, n =0, 1, 2, 3, 4}，则集合B=__________.
答案：
{2，4，6，8}
【解析】U =A ⋃B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A ⋂C U B ={1, 3, 5, 7, 9}B ={2, 4, 6, 8}
来源：09年高考天津卷
题型：填空题，难度：中档
(文）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。
答案：
8.
解析:由条件知, 每名同学至多参加两个小组, 故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A , B , C , 则card (A ⋂B ⋂C ) =0. .card (A ⋂B ) =6, card (B ⋂C ) =4,
由公式card (A ⋃B ⋃C ) =card (A ) +card (B ) +card (C ) -card (A ⋂B ) -card (A ⋂C ) -card (B ⋂C )
易知36=26+15+13-6-4- card (A ⋂C ) 故card (A ⋂C ) =8 即同时参加数学和化学小组的有8人.
来源：09年高考陕西卷
题型：填空题，难度：中档
已知集合A ={x |x ≤1}，B ={x |x ≥a }，且A ⋃B =R ，则实数a 的取值范围是______________________
答案：
a ≤1
【解析】因为A ∪B=R，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。
来源：09年高考上海卷
题型：填空题，难度：容易
(文）设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k -1∉A 且k +1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8,}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
答案：
6
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力, 考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素. 故所求的集合可分为如下两类：
因此，符合题意的集合是：{1,2,3}, {2,3,4}, {3,4,5}, {4,5,6}, {5,6,7}, {6,7,8}共6个.
来源：09年高考北京卷
题型：填空题，难度：中档
(文） 已知集体A={x |x ≤1},B={x |≥a },且A ∪B=R，则实数a 的取值范围是
__________________.
答案：
a ≤1
【解析】因为A ∪B=R，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。
来源：09年高考上海卷
题型：填空题，难度：中档
22集合M ={m , m +1, -3},N ={m -3, 2m -1, m +1}，若M N ={-3}，则
m =_______。
答案：
因为M N ={-3}，所以m -3=-3或2m -1=-3，即m =0或m =-1。但当m =0时，M N ={1, -3}≠{-3}，所以m =-1。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：填空题，难度：中档
}，集合A 满足：A ⊆M ，且当x ∈A 时，15x ∉A ，则设集合M ={1, 2, 3, , 1995
A 中元素最多有___________个。
答案：
用n (A)表示集合A 所含元素的个数。
由题设，k 与15k (k =9,10,…,133)这两个数中至少有一个不属于A ，所以至少有125个数不属于A ，即n (A )≤1995-125=1870.
另一方面，可取A=（1，2，…，8）∪{134，135，…，1995}，A 满足题设条件，此时n (A)=1870.所以n （A ）的最大值就是1870。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：填空题，难度：较难
设集合A={5,log2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .
答案：
{1,2,5}
来源：04年上海
题型：填空题，难度：中档
集合A={(x，y) ｜y=a│x│}，集合B={(x，y) ｜y=x+a}，若集合A∩B中有2个元素，那么a 的取值范围是________________．
答案：
a ＞1或a ＜-1
来源：
题型：填空题，难度：中档 2集合P ={x x +x -6=0},M ={x mx -1=0}，且M ⊆P ，则满足条件的m 值构
成的集合为___________。
答案：
P ={2, -3}，若m =0，则M =∅⊄P , 若m ≠0，则x =
求集合为⎨0, -, ⎬。 1=2或x =-3，所以所m ⎧
⎩11⎫32⎭
来源：08年数学竞赛专题一
题型：填空题，难度：中档
集合M 由正整数的平方组成，即M ={1, 4, 9, 16, 25 }，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的。那么M 对于____________运算（填写你熟悉的运算法）是封闭的。
答案：
乘法
来源：1
题型：填空题，难度：较难 2已知集合M ={x x -3x +2=0},N ={x ax +1=0}，若N ⊆M ，则由满足条件的
实数a 组成的集合P=___________。
答案：
首先M ={1, 2}，若a =0，则N =∅⊆M ，若a ≠0，则x =-
或-11∈M ，所以-=1a a 111=2，所以a =-1或a =-，所以P ={0, -1, -。 a 22
来源：08年数学竞赛专题一
题型：填空题，难度：较难
已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5，6}，则A∩B=_________．
答案：
{3，5
来源：
题型：填空题，难度：容易
⎧⎫1⎪⎪若实数a 为常数，且a ∈A =⎨x =1⎬, 则a =___________。 2⎪⎩ax -x +1⎪⎭
答案：
3因为a ∈A ，所以a -a +1=1，所以a (a 2-1) =0，所以a =0或±1。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：填空题，难度：中档
集合A ={x ∈R |x -x -6
答案：
{x |0
来源：05年重庆
题型：填空题，难度：中档
设a , b 是整数，集合A ={(x , y )|(x -a ) 2+3b ≤6y }，点（2，1）∈A ，但点（1，0）∉A ，（3，
2）∉A 则a , b 的值是_________.
答案：
⎧(2-a ) 2+3b ≤6⎪2a =b =-1。由题意得 ⎨(3-a ) +3b >12. ①②③
⎪(1-a ) 2+3b >0⎩
⎧3b ≤6-(2-a ) 2=2+4a -a 2
⎪2即 ⎨3b >3+6a -a 。 ④⑤⑥
⎪3b >-(1-a ) 2=-a 2-1+2a ⎩
由④，⑤得3+6a -a 2
述，-13; 由④，⑥得-a 2-1+2a -. 综上所2231
44, 所以--4，即b >-
a =b =-1.
来源：08年数学竞赛专题二
题型：填空题，难度：较难
集合A ={x -y , x +y , xy },B ={x +y , x -y , 0}，且A=B，则2222
x +y =___________。
答案：
因为A=B且x 2-y 2≠0，所以xy =0。又y ≠0，所以x =0，所以y 2=±y 。所以y =±1, x +y =±1。
来源：08年数学竞赛专题一
题型：填空题，难度：中档
集合B ={1, 2, 3}的非空真子集有___________个。
答案：
B 的非空真子集有2-2=6个，一般地，由乘法原理可知n 元集合的了集有2个。 3n
来源：08年数学竞赛专题一
题型：填空题，难度：中档