数列求和专题含答案
数列求和
一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式:
Sn
n(a1an)n(n1)
na1d22
2、等比数列求和公式:
(q1)na1
Sna1(1qn)a1anq
(q1)
1q1q
[例1] 已知log3
x
123n
,求xxxx的前n项和.
log23
11
log3xlog32x
log232
x(1x)
=
1x
n
解:由log3
x
由等比数列求和公式得:Sn
xx2x3xn =
11(1n)=1-1
12n12
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和:Sn
13x5x27x3(2n1)xn1………………………①
n1
解:由题可知,{(2n1)x
}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{
xn1}的通项之积:设
xSn1x3x25x37x4(2n1)xn…②(设制错位)
①-②得
(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn (错位相
1xn1
(1x)Sn12x(2n1)xn
1x
。∴
减)再利用等比数列的求和公式得:
(2n1)xn1(2n1)xn(1x)
Sn2
(1x)
[例4] 求数列数列{
2n2462n
,2,3,,n,前n项的和.解:由题可知,{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比
22222
1
2n
}的通项之积
1
设Sn
2462n
23n…………………………………① 222212462nSn234n1…………② ①-②得22222
12nn21222222n
(1)Sn234nn1 2n1n1∴ Sn4n1
2222222222
三、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和:11,
111
4,27,,n13n2,… aaa111
解:设Sn(11)(4)(27)(n13n2)
aaa
111
将其每一项拆开再重新组合得Sn(12n1)(1473n2)(分
aaa
组)
当a=1
1
(3n1)n(3n1)n(3n1)n时,Snn=(分组求和)当a1时,Sn
12221a
1
=
aa1n(3n1)n
a12
四、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
111(2n)2111
(1)an (2)an1()
n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n1
(3)an
1111
[]
n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
(4)an
n212(n1)n1111
nn,则S1n
n(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n1
,
123
,,
1nn1
,的前n项和.
[例9] 求数列
12
2
解:设an
1nn112n1n,则
1nn1
Sn
112
(2)(32)(n1n)
=
n11
[例10] 在数列{an}中,an
和.
解: ∵
12n2
,又bnn1n1n1anan1
,求数列{bn}的前n项的
an
12nn211 ∴ bn8() 数列{bn}
nn1n1n1n12nn122
的前n项和:
8n11111111
Sn8[(1)()()()] =8(1) =
n122334nn1n1
[例14] 在各项均为正数的等比数列中,若a5a6
解:设Sn
9,求log3a1log3a2log3a10的值。
log3a1log3a2log3a10
由等比数列的性质
mnpqamanapaq
和对数的运算性质
logaMlogaNlogaMN 得:
Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)
=
(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)=log39log39log39=10
五、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.
1 [例15] 求1111111111之和.解:由于111
n个1
k个1
11k
9999(101) 99k个1
∴
1111111111=
n个1
11111
(101)(1021)(1031)(10n1) 9999
3
=
111(1010210310n)(1111)99n个1
=
110(10n1)n
91019
=
1
(10n1109n) 81
数列求和练习
1、(东莞市2015届高三)数列
的前n项和为
,数列
成等比数列.
是
首项为a1,公差不为零的等差数列,且(1)求(2)求数列(3)求证:
的值;
的通项公式;
4
2(惠州市2015届高三)已知递增等差数列an中的a2,a5是函数
f(x)x27x10的两个零点.数列bn满足,点(bn,Sn)在直线
yx1上,其中Sn是数列bn的前n项和.
(1)求数列an和bn的通项公式;
(2)令cnanbn,求数列cn的前n项和Tn.
3、已知等比数列an学科网的前n项和为Sn,an0,
a1
2311
,且,,成等差数列. 3a2a3a4
1求数列an的通项公式;
2设数列bn满足bnlog31Sn11,求适合方程
b1b2b2b3bnbn1
5
25
的正整数n的值. 51
4、(要用放缩法)已知数列an的前n项和为Sn,若
4Sn2n1an11(nN*),且a11.
(Ⅰ) 求证:数列an为等差数列; (Ⅱ)
设bn
6
,数列bn的前n项和为Tn,证明:Tn
3*
(nN). 2
中深教
数列求和练习答案
育
1、(东莞市2015届高三)数列
的前n项和为
,数列
成等比数列.
是
首项为a1,公差不为零的等差数列,且(1)求(2)求数列(3)求证:
解:(1)∵Sn2an2,
的值;
的通项公式;
∴当n1时,a12a12,解得a12;当n2时,S2a1a22a22,解得a24; 当n3时,S3a1a2a32a32,解得a38. …………3分
(2)当n2时,anSnSn1(2an2)(2an12)2an2an1, ……5分 得an2an1又a1S12a12,a12, ∴数列{an}是以2为首项,公比为2的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an2n. ………………7分
成等比数列,得(22, ) b1a12,设公差为d,则由b1,b3,b11d2)2(2d10解得d0(舍去)或d3, 所以数列{bn}的通项公式为bn3n1. (3)令Tn
b1b2b3
a1a2a3
258bn
123an222
3n1
, 2n
3n1
, ………………11分 2n13333n1
两式式相减得Tn212n1,
2222n2Tn2
58
2122
7
中深教育
31(1n1)3n53n13n5∴Tn2n5n, 又n0,故Tn5.
122212
2(惠州市2015届高三)已知递增等差数列an中的a2,a5是函数
f(x)x27x10的两个零点.数列bn满足,点(bn,Sn)在直线
yx1上,其中Sn是数列bn的前n项和.
(1)求数列an和bn的通项公式;
(2)令cnanbn,求数列cn的前n项和Tn.
【解析】(1)因为a2,a5是函数f(x)x27x10的两个零点,则
a2a57a22a25
,解得:或.………………………………………………..2分
a2a510a55a52
又等差数列{an}递增,则
a22
,所以ann,nN* …………………………….4分
a55
因为点在直线yx1上,则Snbn1。 (bn,Sn)
1
.………………………………………………….5分 2
1
当n2时, bnSnSn1(bn1)(bn11),即bnbn1.………………..…6分
2
111n*
所以数列{bn}为首项为,公比为的等比数列,即bn(),nN.…………….…7分
222
1n*
(2)由(1)知:ann,nN*且bn(),nN, …………………………………...…8分
2
1n*
则cnanbnn(),nN ……………………………………………………...9分
2
112131n
所以Tn12()3()n()①
2222
11111
1()22()3(n1)()nn()n1② . ……………………10分 Tn
22222
1112131n1n11n1
①-②得:Tn()()()n()1(n2)() .………12分
2222222
当n1时,b1S1b11,即b1
8
12
n*
所以Tn2(n2)(),nN. 或写 Tn2
n2*
,nN. ……………………14分 n2
3、已知等比数列an学科网的前n项和为Sn,an0,
a1
2311
,且,,成等差数列. 3a2a3a4
1求数列an的通项公式;
2设数列bn满足bnlog31Sn11,求适合方程
b1b2b2b3bnbn1
25
的正整数n的值. 51
1、解:(1)设数列{an}的公比为q,由an0,得q0. 由
311
,,成等差数列, a2a3a4
故
231231
, ,所以23
a3a2a4a1qa1qa1q
得3
12
,故3q22q10.…………………...………..2分 2qq
1
,或q1(舍).………………………….….………4分 3
211
所以ana1qn1()n12()n;……………………………6分
333
21(1n1)n1
a(1q)11n1, (2)由(1)得Sn11
1q313
1
故log3(1Sn1)log3n1n1,………………………………8分
3
解得q所以bn
11
.…………………..………………9分
log3(1Sn1)n1
bnbn1
111
.…………..……………11分
(n1)(n2)n1n2
9
b1b2b2b3
由题意得
bnbn1
11112334
1111
n1n22n2
1125
..………………………..…………. ……13分
2n251
解得n100,
满足题意得n100.…………………………..…………. ……14分
4、(要用放缩法)
(Ⅰ) 由题设4Sn2n1an11,则a24S113,3a34S2115,a35. 当n2时,4Sn12n3an1, 两式相减得
2n1an2n1an1, ……………………………………2分
方法一:由2n1an2n1an1,得则数列6分
所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列 …………7分 方法二:由2n1an2n1an1,得2n3an12n1an2, 两式相减得anan22an1,且a1a32a2 ………6 所以数列an等差数列. …………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得an2n1,Sn当n1时,T11
an1aaa
n,且21.
312n12n1
ana1an
1,是常数列,即也即an2n1 ……………………………
2n12112n1
12n1nn2,b
2
n
1
,…………9分
n2n13
成立;…………………………………………………10分 2111111
…………12分 当n2时,bn
12nn12n1nn2n1
2nn
2
所以Tn1
1111
12223111311
111
2n22n1n
综上所述,命题得证.…………………………………………14分
10