天体运动的各种物理模型

天体运动的各种物理模型(08年、5月)

一、追赶相逢类型

1-1、科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔时间t 与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R ，周期是T ，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。

//

解：设小行星绕太阳周期为T ，T >T,地球和小行星每隔时间t 相遇一次，则有

t t tT

-/=1 ， T /=

T T t -T

/

设小行星绕太阳轨道半径为R , 万有引力提供向心力有

2Mm //4πG /2=m /2R / R T

同理对于地球绕太阳运动也有

Mm 4π2

G 2=m 2R

R T

t 2/3R /3T /2/

) R 由上面两式有 3=2 R =(t -T R T

所以当地球和小行星最近时 d =R -R =(

/

t 2/3

) R -R t -T

1-2、火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同一平面内同

11

方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径r 火=1. 5⨯10m ，地球的轨道半径r 地=1. 0⨯1011m ，从如图所示的火星与地球相距最

近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球年？（保留两位有效数字） 解：设行星质量m ，太阳质量为M ，行星与太阳的距离为r ，根据万有引力定律，

行星受太阳的万有引力F =G

mM

（2分） r 2

2

行星绕太阳做近似匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有F =ma =m ωr （2分）

2πm M 4π24π232

r （1分） ω=（1分） 以上式子联立G 2=m 2r 故T =

T GM r T

地球的周期T 地=1年，（1分） (

T 火T 地

) =(

2

r 火r 地

) 火星的周期T 火=(

3

t 火t 地

) 3⋅T 地（2分）

1. 5⨯10113

=() ⨯1年=1.8年 （1分） 11

1. 0⨯10

设经时间t 两星又一次距离最近，根据θ=ωt （2分） 则两星转过的角度之差θ地-θ火=(

2π2π-) t =2π（2分） T 地T 火

t =

111-T 地T 火

=

T 火T 地T 火-T 地

=

1. 8⨯1

年=2. 3年 （2分，答“2.2年”同样给分）

1. 8-1

二、宇宙飞船类型（神舟五号类型）

2-1、随着我国“神舟五号”宇宙飞船的发射和回收成功。标志着我国的航天技术已达到世界先进水平。如图所示，质量为m 的飞船绕地球在圆轨道Ⅰ上运行时，半径为r 1，要进入半径为r 2的更高的圆轨道Ⅱ，必须先加速进入一个椭圆轨道Ⅲ，然后再进入圆轨道Ⅱ。已知飞船在圆轨道Ⅱ上运动速度大小为υ，在A 点通过发动机向后以速度大小为u （对地）喷出一定质量气体，使飞船速度增加到v ′进入椭圆轨道Ⅲ。（已知量为：m 、r 1、r 2、υ、v ′u ）求：

⑴飞船在轨道I 上的速度和加速度大小。

⑵发动机喷出气体的质量△m 。 解：（1）在轨道I 上，有G

Mm r 12

B

v 12GM

(2分) 解得：v 1= (1分) =m

r 1r 1

同理在轨道II 上v =

r GM

(1分) 由此得：v 1=v 2 (1分)

r 1r 2

在轨道I 上向心加速度为a 1, 则有 G

Mm r 1

2

=ma 1 (2分)

Mm v 2v 2

同理在轨道II 上向心加速度a=, 则有 G 2=m (2分)

r 2r r 22

由此得a 1=

r 2r 1

2

v 2 (1分)

(2)设喷出气体的质量为∆m , 由动量守恒得

v '-v

' mv 1=(m -∆m ) v -∆mu (3分) 得:∆m =

r 2

r 1

v '+u

m (2分)

2-2、2003年10月15日9时整，我国“神舟”五号载人飞船发射成功，飞船绕地球14圈后，于10月16日6时23分安全返回。若把“神舟”五号载人飞船的绕地运行看作是在

同一轨道上的匀速圆周运动，已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g 。

设“神舟”五号载人飞船绕地球运行的周期为T 、地球表面的重力加速度为g 、地球半径为R ，用T 、g 、R 能求出哪些与“神舟”五号载人飞船有关的物理量？分别写出计算这些物理量的表达式（不必代入数据计算）。

解： 对飞船, 万有引力作为圆周运动的向心力

G

G =

Mm 2π

=mr () 22

T ②（2分） r

在地球表面

Mm

=mg R 2 ③ （2分）

可得“神舟”五号轨道半径

r =

R 2gT 2

4π2（或轨道周长l =

f =

2πR 2gT 2

④

此外还可求得“神舟”五号载人飞船的运行频率 “神舟”五号载人飞船的运行角速度

ω=

1

T ⑤

2π

T ⑥

2πR 2g v =

T ⑦ “神舟”五号载人飞船的运行线速度

2π

a =

“神舟”五号载人飞船的运行向心加速度（加速度、轨道处重力加速度）T

R 2gT 2

-R 4π2 ⑨

3

2πR 2g

T ⑧

“神舟”五号载人飞船的离地面高度

h =

2-3、2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射。标志着我国的航天事业发展到了很高的水平。飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h 的圆形轨道。已知地球半径为R ，地面处的重力加速度为g. 求： （1）飞船在上述圆轨道上运行的速度v ； （2）飞船在上述圆轨道上运行的周期T. 解：（1）设地球质量为M ，飞船质量为m ，圆轨道的半径为r

Mm υ2 由万有引力定律和牛顿第二定律G 2=m （3分）

r r

在地面附近有G

Mm

=mg （3分） 由已知条件r =R +h （2分） 2R

求出υ=

gR 2

（2分） R +h

(R +h ) 3

（2）由T = （3分） 求出T =2π （3分）

υgR 2

2πr

2-4、国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船

于2003年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射

升空．飞船由长征-2F 运载火箭先送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道，在B 点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示．已知飞船在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，近地点A 距地面高度为h 1，地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，求： （1）飞船在近地点A 的加速度a A 为多大？ （2）远地点B 距地面的高度h 2为多少？

解答：（1）设地球质量为M ，飞船的质量为m ，在A 点受到的地球引力为

F =G

Mm

(R +h 1)

2

2分

g =G

地球表面的重力加速度

M

R 2 2分

由牛顿第二定律得

F GM gR 2

a A ===22

m (R +h 1)(R +h 1)

T =

t

n 2分

2

4分

（2）飞船在预定圆轨道飞行的周期

G

由牛顿运动定律得

Mm

(R +h 2)

2

⎛2π⎫=m ⎪

⎝T ⎭

(R +h 2)

2分

h 2=R 解得

4分

三、同步卫星

3-1、射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h 1的圆形近地轨道上，

在卫星经过A 点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A ，远地点为B 。在卫星沿椭圆轨道（远地点B 在同步轨道上），如图14所示。两次点火过程都使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为T ，地球的半径为R ，地球表面重力加速度为g ，求：

（1）卫星在近地圆形轨道运行接近A 点时的加速度大小；

（2）卫星同步轨道距地面的高度。

解：（1）设地球质量为M ，卫星质量为m ，万有引力常量为G 、卫星在近地圆轨道运动接近A 点时的加速度为a x ，根据牛顿第二定律G

Mm

=ma A 4分

2

(R +h 1)

物体在地球表面上受到的万有引力等于重力G

Mm

=mg 4分 R 2

R 2

解得a A =g 2分 2

(R +h 1)

Mm 4π2

（2）设同步轨道距地面高度h 2，根据牛顿第二定律有G =m 2(R +h 2) 6分

(R +h 1) 2T

由上式解得：h 2=gR 2T 2

-R 2分 2

4π

3-2、右图为某报纸的一篇科技报道，你能发现其中的科学性问题吗？请通过必要的计算加以说明。下面的数据在你需要时可选用。

－1122

引力常量G ＝6.7×10N·m/kg；地球表面重

26

力加速度g ＝10m/s；地球半径R ＝6.4×10m ；地球

4

自转周期T ＝8.6×10s ；地球公转周期T ＇＝3.2×7210s 。（π＝10；70～80的立方根约取4.2）

解：本报道中，地球同步卫星高度735公里的数据出错，以下的计算可以说明。 在地球同步轨道上，卫星受地球的万有引力提供卫星绕地球运转所需的向心力。设卫星的质量为m ，离地面高度为h ，有：G

Mm 2π2

=m () (R +h )

(R +h ) 2T

Mm 0

=mg R 2

G 在地球表面上，质量为m 0的物体，受地球的万有引力等于物体的重力，有：

得 GM =R g 由（1）（2）式可得 R =7

4

2

R 2gT 2

-h 2

4π

代入数据得R =3. 6⨯10m =3.6⨯10km （能说明差2个数量级即可）

四、科技前沿信息型

4-1、1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Plank学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”，“黑洞”是某些天体的最后演变结果。

12

（1）根据长期观测发现，距离某“黑洞”6.0×10m 的另一个星体（设其质量为m 2）以

6

2×10m/s的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量m 1。（结果要求两位有效数字）

（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为v =

－11

2

－2

2Gm 1

，其中引力R

常量G=6.67×10N ·m ·kg ，M 为天体质量，R 为天体半径，且已知逃逸的速度大于真空中光速的天体叫“黑洞”。请估算（1）中“黑洞”的可能最大半径。（结果只要求一位有效数字）

Gm 1m 2v 2v 2r 35

m ==3. 6⨯10kg (4分) =m 解：（1） (3分) ∴122

G r r

（2）∵

2Gm 12Gm 1

>C (3分) ∴R

∴R m =

2Gm 1

=5⨯108m (4分) 2

C

4-2、设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功

W =mgR (1-

R

) ，返回舱与人的总质量为m ，火星表面的重力加速r

度为g ，火星的半径为R ，轨道舱到火星中心的距离为r ，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？

解：返回舱与人在火星表面附近有：G

Mm

=mg （2分） R 2

Mm 0v 2

设轨道舱的质量为m 0，速度大小为v ，则：G 2=m 0 （2分）

r r

12mgR 2

解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时，具有的动能为E k =mv = （2分）

22r

因为返回舱返回过程克服引力做功W =mgR (1-

R

) r

R

) （4分） 2r

所以返回舱返回时至少需要能量E =E k +W =mgR (1-

4-3、2004年，我国现代版的“嫦娥奔月”正式开演，力争2006年12月正式发射。媒体曾报道从卫星图片和美、苏（原苏联）两国勘测结果证明，在月球的永暗面存在着大量常年以固态形式蕴藏的水冰。

但根据天文观测，月球半径为R =1738km，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达127℃，此时水蒸气分子的平均速度达到

2

v 0=2000m/s。试分析月球表面没有水的原因。（取地球表面的重力加速度g =9.8m/s）（要求至少两种方法）

解法1：假定月球表面有水，则这些水在127℃时达到的平均速度v 0=2000m/s必须小于月球表面的第一宇宙速度，否则这些水将不会降落回月球表面，导致月球表面无水。取质量

222

为m 的某水分子，因为GMm /R =mv 1/R ，mg 月=GMm /R 2，g 月=g /6，所以代入数据解得v 1=1700m/s，v 1＜v 0，即这些水分子会象卫星一样绕月球转动而不落到月球表面，使月球表面无水。

解法2：设v 0=2000m/s为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径R 1，如果R 1＞R ，则月球表面无水。取质量为m 的某水分子，因为GMm /R 12=mv 02/R 12，mg 月=GMm /R 12，g 月

26

=g /6，所以R 1=v 0/g 月=2.449×10m ，R 1＞R ，即以2000m/s的速度运行的水分子不在月球表面，也即月球表面无水。

解法3：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg 月＞GMm /R 2，当v =v 0=2000m/s时，g 月＞v 02/R =2.30m/s2，

2

而现在月球表面的重力加速度仅为g /6=1.63m/s，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供2000m/s所对应的向心力，也即月球表面无水。

解法4：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面

2

所受到的向心力，即应满足：mg 月＞GMm /R 2，，即应有g 月R ＞v 而实际上：g 月R =2.84×106m 2/s2，v 02=4×106m 2/s2，所以v 02＞g 月R 即以2000m/s的速度运行的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面无水。

4-4、物体沿质量为M 、半径为R 星球的表面做匀速圆周运动所需的速度v 1叫做该星球第一宇宙速度；只要物体在该星球表面具有足够大的速度v 2，就可以脱离该星球的万有引力而飞离星球（即到达到距星球无穷远处），这个速度叫做该星球第二宇宙速度。理论上可以 证明v 2=

2v 1。一旦该星球第二宇宙速度的大小超过了光速C=3.0×108m ，则该星球上的

任何物体（包括光子）都无法摆脱该星球的引力，于是它就将与外界断绝了一切物质和信息的交流。从宇宙的其他部分看来，它就像是消失了一样，这就是所谓的“黑洞”。

31

试分析一颗质量为M =2.0×10kg 的恒星，当它的半径坍塌为多大时就会成为一个“黑

-1122

洞”？（计算时取引力常量G =6.7×10N m /kg，答案保留一位有效数字．）

GMm v 12

=m 又知 v 2=2v 1 令 v2=C 解：

R 2R

2GM 2⨯6. 7⨯10-11⨯2. 0⨯1031

由以上三式得R ===3⨯104m 282

C (3. 0⨯10)

4-5、在美英联军发动的对伊拉克的战争中，美国使用了先进的侦察卫星. 据报道，美国

有多颗最先进的KH －1、KH －2“锁眼”系列照相侦察卫星可以通过西亚地区上空，“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球沿椭圆轨道运动，近地点为265 km（指卫星与地面的最近距离），

33

远地点为650 km（指卫星与地面的最远距离），质量为13.6×10kg ～18.2×10kg 。这些照相侦察卫星上装有先进的CCD 数字照相机，能够分辨出地面上0.l m 大小的目标，并自动地将照片传给地面接收站及指挥中心。

由开普勒定律知道：如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径与椭圆轨道的半长轴相等，那么卫星沿圆轨道的周期就与其沿椭圆轨道运动的周期相等。请你由上述数据估算这些“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球运动的周期和卫星在远地点处的运动速率。地球的半径 R =6 400 km，g 取10 m/s2。（保留两位有效数字）

解：设远地点距地面h l ，近地点距地面h 2，根据题意可知，卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r =

(h 1+h 2+2R )

=6857. 5km ① （6分）

2

设卫星绕地球运动的周期为T ，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有

2πMm 2

=mr ωω= ② （2分）又 ③ （2分） r 2T

Mm

物体在地球表面的重力等于万有引力，则G 2=mg ④ （2分）

R G

由②③④式可得T =

2π⋅r R r 3

（2分）代入数据可得T =5. 6⨯10s （2分） g

GMm v 2

远在点到地面h 1，设卫星在远在点的速率为v 则＝m ⑤ 2

R +h 1(R +h 1)

④、⑤联立得 v =R

g

代入数据得 v ＝ 7.6 km/s

R +h 1

4-6、一个Internet 网站报道，最近南亚某国发射了一颗人造环月卫星，卫星的质量为1000kg ，环绕月球周期为60min. 张明同学对该新闻的真实性感到怀疑. 他认为该国的航天技术不可能近期发射出环月卫星；该网站公布的数据似乎也有问题. 他准备对该数据进行验证. 但他记不清万有引力恒量的数值，且手边又没有资料可查找，只记得月球半径约为地球半径

6

的1/4，地球半径约为6.4×10m ，月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的1/6，

2

地球表面重力加速度取10m/s.

假定将环月卫星的运动视为匀速圆周运动，请根据上述数据判断该报道的真伪，并写出推导判断的过程（≈2. 5, π≈3）

解：设卫星绕月球表面运行周期为T 1，卫星绕地球表面运行周期为T 2，月球和地球表面重力加速度分别为g 1和g 2，月球和地球半径分别为r 1和r 2 mg 1=m (2π/T 1) 2r 1 ① mg 2=m (2π/T 2) 2r 2 ② ①/②得 g 1/g 2=(T 2/T 1) 2(r 1/r 2) ③

由②得 T =2πr 2=4. 8⨯103(S ) 代入③得 T 1=6000s >3600s

2

g 2

可见不可能发射周期小于6000s 的环月卫星。 4-7、目前人们广泛采用GPS 全球定位系统导航，这个系统空间星座部分共需要24颗卫星绕地球运转，工作卫星分布在6个圆形轨道面内，每时每刻任何一个地区的地平线上空至少保持4颗卫星传递信息。其对时钟要求精度很高，科学家们采用了原子钟作为计时参照（如：铯原子钟定义的1秒是铯—133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期所持续的时间，其计时十分精确，10万年内误差不大于1秒），这样导航定位误差可控制在1～2米之内，甚是高明！这种卫星绕地球运行的周期T 为12小时，地球半径用R 表示，地球表面的重力加速度用g 表示，电磁波传播速度用C 表示。 （1）这种卫星与地球同步卫星相比较，其轨道高度是高还是低？ （2）这种卫星将电磁信号传于其某时刻地面上的正对点时，所用时间t=?(说明：卫星、地面上该点、地心三点共线，结果用题中所给字母表示) 解：1）这种卫星比地球同步卫星的轨道高度低。4分

2

Mm 4π2GMT

=m r 所以r =3（2）万有引力提供向心力G 22

r T 4π2

4分

又因为地面附近mg =

GMm

2分 卫星距地面高度h =r -R ④2分 2

R

h 1=(所以时间t=c c

3

gR 2T 2

4π2

-R ) ⑤ 4分

4-8、2004年1月4日美国“勇气”号火星车在火星表面成功登陆，登陆时间选择在6 万年来火星距地球最近的一次，火星与地球之间的距离仅有5580万千米，火星车在登陆前绕火星做圆周运动，距火星表面高度为H ，火星半径为R ，绕行N 圈的时间为t 。求：

（1）若地球、火星绕太阳公转为匀速圆周运动，其周期分别为T 地、T 火，试比较它的大小；

（2）求火星的平均密度（用R 、H 、N 、t 、万有引力常星G 表示）；

（3）火星车登陆后不断地向地球发送所拍摄的照片，地球上接收到的第一张照片大约是火星车多少秒前拍摄的。

解：1）设环绕天体质量为m ，中心天体质量为M 。即4分

2分 故 T火＞T 曲 2分

（2）设火星车质量为m 设火星质量为

M

4分

2分

2分

（3）宇宙间用电磁波传输信息:C=3×10m/s

78

t≈s/v=(5580×10)/(3×10)=186s 4分，是在186秒前拍摄的。

2

4-9、地球可近视为一个R=6400km的球体，在地面附近的重力加速度g=9.8m/s，试估算地球的平均密度ρ。

在古时候，人们通常认为地球是扁平的。想象地球真的不是一个球体，而是一个厚度为H 的无限大的盘子，如果想体验与真正地球表面一样的重力加速度，那么H 的值是多大？ 提示：①假定两种模型地球的密度一样大；

②如果是电荷均匀分布的无限大的这种圆盘（单位面积上的电荷量为ξ），圆盘外的电场强度为E=2πk ξH （k 为静电力恒量）；

③由电场和重力场类比，它们的对应物理量是：E →g ，G →k ，m →q ；ρ→ξ；

8

④G=6.67×10解：1）g =

－11

N ·m /kg

22

4π3g GR ρρ==5. 5⨯103kg /m 3 34πGR

4πr ρ2

=g 球=2πG ρH ，H =R =4267km （2）g 球=G 33

五、双星类型

5-1、现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。万有引力常量为G 。求： （1）试计算该双星系统的运动周期T 。

（2）若实验上观测到运动周期为T’，且T ' ：T =1：N (N >1) ，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质——暗物质，作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

GM 2L 4π2

=M ··2 ①（4分） 解：（1）由万有引力提供向心力有：2

2L T

∴T =πL

2L

（4分） GM

3

4⎛L ⎫L 3

（2）设暗物的密度为ρ，质量为m ，则m =ρ·π ⎪=πρ·（2分）

⎝⎭326

GM 2GMm L 4π2

由万有引力提供向心力有：+=M ··2 22

2L T ' ⎛L ⎫

⎪⎝2⎭①M 1⎛T ' ⎫ 由得：= ⎪=（2分）

②M +4m ⎝T ⎭N

L 33

又m =πρ·代入上式解得：ρ=3(N -1) M /2πL （2分）

6

2

②（2分）

5-2、如图为宇宙中有一个恒星系的示意图。A 为星系的一颗行星，它绕中央恒星O 运行的轨近似为圆。天文学家观测得到A 行星运动的轨道半径为R 0、周期为T 0。 经长期观测发现，A 行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离。天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一

颗未知的行星B （假设其运行轨道与A 在同一水平面内，且与A 的绕行方向相同），它对A 行星的万有引力引起A 轨道的偏离。根据上述现象及假设，你能对未知行星B 的运动得到哪些定量的预测？

解： A行星发生最大偏离时，A 、B 行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧。设行星B 的运行周期为T 、半径为R ，则有

t T 2π2π

t 0-t 0=2π，所以T =00 由开普T 0T t 0-T 0

23

t 0R 0R 3

勒第三定律得，2=2，所以R =R 0

(t 0-T 0) 2T 0T

六、与光学综合型

6-1、计划发射一颗距离地面高度为地球半径R 0的圆形轨道地球卫星, 卫星轨道平面与

赤道平面重合，已知地球表面重力加速度为g. （1）求出卫星绕地心运动周期T （2）设地球自转周期T 0, 该卫星绕地旋转方向与地球自转方向相同，则在赤道上一点的人能连续看到该卫星的时间是多少？ 解：（1）

GMm 4π2

=m 2(2R 0) (2R 0) 2T

T =22

A 2

（2）设人在B 1位置刚好看见卫星出现在A 1位置，最后 在B 2位置看到卫星从A 2位置消失，OA 1=2OB1

有∠A 1OB 1=∠A 2OB 2=π/3 从B 1到B 2时间为t

2πt t +2π=2π3T 0T

则有

TT 0t ==3(T 0-T )

6-2、天文学上，太阳的半径、体积、质量和密度都是常用的物理量，利用小孔成像原理和万有引力定律，可以简捷地估算出太阳的密度。

在地面上某处，取一个长l ＝80cm 的圆筒，在其一端封上厚纸，中间扎直径为1mm 的圆孔，另一端封上一张画有同心圆的薄白纸，最小圆的半径为2.0mm ，相邻同心圆的半径相差0.5mm ，当作测量尺度，再用目镜（放大镜）进行观察。把小孔正对着太阳，调整圆筒的方向，使在另一端的薄白纸上可以看到一个圆形光斑，这就是太阳的实像，为了使观察效果明显，可在圆筒的观测端蒙上遮光布，形成暗室。若测得光斑的半径为

r 0=3. 7mm ，试根据

-11227G =6. 67⨯10N ⋅m /kg 以上数据估算太阳的密度（，一年约为T =3. 2⨯10s ）。

解：设太阳质量为M ，半径为R ，体积为V ，平均密度为ρ，地球质量为m ，日地距离GMm 2π2

=m () r 2

T r 为r ，由万有引力定律和牛顿运动定律可知 ①（4分）

4

M =πR 3ρ

3 ②（2分）

r l

=

由图中的几何关系可近似得到R r 0 ③（2分）

3πl ρ=2() 3

33

r ρ≈1. 4⨯10kg /m T G 0①②③联立解得④（3分）代入数据得：⑤（1分）

6-3、某颗同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，用天文望远镜观察到被太阳光照射的该同步卫星。试问秋分这一天（太阳光直射赤道）从日落时起经过多长时间，观察者恰好看不见该卫星。已知地球半径为R ，地球表面处重力加速度为g ，地球自转周期为T 。不考虑大气对光的折射

解：M 表示球的质量，m 表示同步卫星的质量，r 表示同表卫星距地心的距离。

2

Mm 4π2GMT

对同步卫星：G 2=m 2r r = 4分

r T 4π2

对地表面上一物体：G

Mm

=mg GM=gR2 3分 2R

由图得：R =4cos θ 3分 又由图：

t

θ

=

T

3分 2π

T 4π2R t ==ar cos 3分

2πgT 2

6-4、晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内。一个可看

成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动。春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地

6

R =6. 4⨯10m ，地变暗而看不到了。已知地球的半径

2

地面上的重力加速度为10m /s ，估算：（答案要求精确

到两位有效数字）

（1）卫星轨道离地面的高度。 （2）卫星的速度大小。

解：从北极沿地轴往下看的地球俯视图如图所示，设卫星离地高h ，Q 点日落后8小时时能看到它反射的阳光。日落8小时Q 点转过的角度设为θ

8

⨯360︒=120︒24 （1） R

h =地-R 地

θ1cos =6. 4⨯106⨯-1）=6. 4⨯106m

2cos 60︒ 轨道高

r =r +h =2R 地

（2）因为卫星轨道半径

θ=

根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比

1

g r =g 地=2. 5m /s 2

4 卫星轨道处的重力加速度

v 2

mg r =m

r

633

v =g ' r =2. 5⨯2⨯6. 4⨯10=5. 7⨯10m /s （5. 6⨯10m /s 同样给分）

七、综合应用

7-1、一宇航员抵达一半径为R 的星球表面后，为了测定该星球的质量M ，做如下的实验，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为m 的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握细线直管抡动砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管。砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动。

如图5所示，此时观察测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计的读数差为ΔF 。

已知引力常量为G ，试根据题中所提供的条件和测量结果，求:

（1）该星球表面重力加速度；

（2）该星球的质量M 。

2

v 12v 2'

T 2-mg =m T 1+m g =m

r （2分） r 解：(1)设最高点 （2分） 最低点

'

112

mv 12+2mgr =mv 2

2 机械能守恒2 （3分）

'

∆F =T 2-T 1=6mg （1分）

g ' =

∆F

6m （1分）

2

∆FR Mm ∆F M =G 2=mg ' =

6mg （3分） 6m （3分） ∴R (2)

7-2、宇宙员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m 的小球（可视为质点）如图所示，当施加给小球一瞬间水平冲量I

时，刚好能使小球在竖直面内做完

整圆周运动. 已知圆弧轨道半径为r ，月球的半径为R ，万有引力常量为G.

若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？轨道半径为2R 的环月卫星周期为多大？

解：设月球表面重力加速度为g ，月球质量为M. 在圆孤最低点对小球有：I=mv 0„„①（2分）

v 2

∵球刚好完成圆周运动，∴小球在最高点有mg =m „„„„②（2分）

r

从最低点至最高低点有：mg (2r ) =

112

mv 0-mv 2„„③（2分） 22

I 2

由①②③可得g =（2分） 2

5m r

∵在月球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度 ∴v min =

GM I

=gR =5Rr （2分） R 5mr

GMm 2π2

=m () ⋅2R „„④（2分） 2

T (2R )

当环月卫星轨道半径为2R 时，有

(2R ) 32

„„⑤（2分）将黄金代换式GM=gR代入⑤式（2分） ∴T =2π

GM

(2R ) 34πm

得T =2π=Rr （2分） 2

I gR

7-3、宇航员在某一星球上以速度v 0竖直向上抛出一小球，经过时间小球又落回到原抛出点，然后他用一根长为l 的细绳把一个质量为m 的t ，

小球悬挂在o 点，使小球处于静止状态。如图所示，现在最低点给小球一

个水平向右的冲量I ，使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动的过程中始终对细绳有力的作用，则冲量I 满足什么条件？

解：设星球表面附近的重力加速度为g ，由竖直上抛运动公式：t =

2v 02v

得g =0。

t g

①当小球摆到与悬点等高处时，细绳刚好松弛，小球对细绳无力作用，则小球在最低点

的最小速度为v min , 由机械能守恒定律得：mgl =

由动量定理得：I min =mv min 。

12

mv min 。 2

v ' 2

②当小球做完整的圆周运动时，设最高点的速度为v ' ，由mg =m 有 v ' =gl ，

若

l

经过最高点细绳刚好松弛，小球对细绳无力作用，则小球在最低点的最大速度为v max 。则由机械能守恒定律和动量定理有：

121

mv max =2mgl +mv ' 2，I max =mv max 。 22

I >m

v 0l v 0l

和I

7-4、2004年1月4日和1月25日，美国“勇气”号和“机遇”号火星车分别登陆火星，同时欧洲的“火星快车”探测器也在环火星轨道上开展了大量科学探测活动。科学家们根据探测器返回的数据进行分析，推测火星表面存在大气，且大气压约为地球表面大气压的

33

1/200，火星直径约为地球的一半，地球的平均密度ρ地=5.5×10kg/m，火星的平均密度ρ

33

请根据以上数据估算火星大气质量是地球大气质量的多少倍？（地球和火火=4.0×10kg/m。

星表面大气层的厚度均远远小于球体的半径，结果保留两位有效数字）

解：在星球表面物体受到的重力等于万有引力：mg =G 在星球表面：g =G

Mm

2R

M

4分 2R

4π3

R 地

4=G ρπR 地 ① 2分 2

R 地地34π3

R 火

4=G ρπR 火② 2分 火2

3R 火

g 地=G

M 地

2

R 地

=G

ρ地

g 火=G

M 火R

2火

=G

ρ火

由①②得：

g 地ρ地R 地11

==③ 2分 g 火ρ火R 火4

星球表面大气层的厚度均远远小于星球半径，即大气压强可以表示为：

mg P 4πR 2

P =，得m =④ 4分

4πR 2g

m 火m 地

2

P 火R 火g 地-3

4分 ==3. 4⨯102

P 地R 地g 火

7-5、利用航天飞机，可将物资运送到空间站，也可以维修空间站出现的故障。为完成某种空间探测任务，在空间站上发射的探测器通过向后喷气而获得反冲力使其启动。已知探测器的质量为M ，每秒钟喷出的气体质量为m ，为了简化问题，设喷射时探测器对气体做功的功率为P ，在不长的时间t 内探测器的质量变化较小，可以忽略不计。求喷气t 秒后探测器获得的动能是多少？

解:由Pt =

1

mtv 2 ③ 得v =22P

又M v '=mtv ④ m

mt 2P 得v '=

M m

1mPt 22

E k =M v '=

2M