19.4.4线段的垂直平分线教案

19.4逆命题与逆定理

19.4.4线段垂直平分线

教材分析：本课的主要内容是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线证明线段或角相等。 学生分析：对于线段垂直平分线同学们并不陌生。但是怎么样证明一条直线是线段的垂直平

分线。通过本节课的学习，将助同学们解决这一问题。

教学目标：1、知识与技能：能熟练地应用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明，提高逻辑推理能力。

2、过程与方法：通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性；

3、情感态度与价值观：体会数学源于实践，又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点：重点：掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

难点：理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的关系。

教具准备：教法：“学、探、测” 学法：合作探究法 课时安排：1课时 教学过程：

一、预习案

1.你如何理解线段垂直平分线的性质定理？

2.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理吗？

3.线段垂直平分线的性质定理的逆命题正确吗？

4.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？

5.如何判断一个点是否在线段的垂直平分线上？

二、基础知识探究

探究点一：线段垂直平分线的性质定理（重点）

问题1：线段的垂直平分线是直线，还是线段？有几条？

答案：直线；有1条。

问题2：如图所示，直线MN是线段AB的垂直平分线，O为垂足，点P是直线MN上任意一点，连结PA，PB，则图中相等的线段有哪些？ 答案：线段OA与OB相等，线段PA与PB相等。

问题3：你能逻辑推理的方法证明问题2中的结论PA=PB吗？

答案：已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，P是MN上任意一点，求证：PA=PB.

证明：因为MN⊥AB（已知），所以∠POA=∠POB（S.A.S），所以PA=PB（全等三角形的对应边相等）.

问题4：通过问题3，你能得到什么结论？

答案：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

归纳总结：（1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离都相等；（2）线段垂直平分线的的性质定理可以用来证明线段相等。

探究点二：线段垂直平分线的性质定理的逆定理（重点）

问题1：你能写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？

答案：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 问题2：这个逆命题是真命题还是假命题？若是真命题，能用逻辑推理的方法证明吗？

答案：真命题；已知：如图1，AC=BC，求

证：点C在线段AB的垂直平分线上，证明：如

图2，作CD⊥AB交AB于点D，所以∠CDA=∠

CDB=90°，在Rt△CDA和Rt△CDB中，AC=BC，

CD=CD，所以Rt△CDA≌△Rt△CDB（H.L.），

所以AD=BD。又因为∠CDA=∠CDB=90°，所以

点C在线段AB的垂直平分线上。

图1 图2

问题3：你能得到什么结论？

答案：线段垂直平分线的性质定理的逆定理可以证明一个点在线段的垂直平分线上。

三、知识综合应用

例1.如图所示，在△ABC中，BC=10，

边BC的垂直平分线交AB于E， BE=7，则△BCE的周长为______.

思考：由“边BC的垂直平分线交AB于点E”可以得到BE与CE有

什么关系？

拓展提升：如图所示，A、B、C三点表示三个居民区，为了方便居民

就近购物，计划新建一个综合商场，要使商场到三个居民区的距离相

等，请你在图中用尺规作图确定商场的位置。（不写作法，只保留作图

痕迹）

思考1：如何找一点到线段的两个端点的距离相等？

思考2：若点P到线段AB的两个端点的距离相等，同时，到线段

BC的两个端点的距离也相等，那么点P到线段AC的两个端点的距离

相等吗？

例2.已知：如图在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，

E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，BE交AC于点F.

求证：点E在AF的垂直平分线上。

思考1：欲证点E在AF的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，只需要证明哪两条线段相等即可？

思考2：证明线段相等的常用方法有哪些？

思考3：根据已知条件，如何推得EA=EF？

四、课堂练习

1.如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使PA=PB.

2.如图，已知AE=CE，BD⊥AC.求证：AB+CD=AD+BC.

3.如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD+AD=BC.

求证：点D在AC的垂直平分线上。

第1题图 第2题图 第3题图

五、小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？

六、作业

1.下列命题中正确的命题有（ ）

①线段垂直平分线上任一点到线段的两个端点的距离相等；②线段上任一点到其垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的垂直平分线 A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

2.已知：如图所示，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=_______.

2题 3题 4题

3.如图所示，在△ABC中，AB=AC，ED垂直平分AB.（1）若BD=10，则AD=_______.

（2）若∠A=50°，则∠ABE=__，∠EBC=__.（3）若AB=14，△BCE的周长为24，则BC=_______.

4.如图所示，在△PAB中，AB边的垂直平分线交PA于点M，垂足为N，试比较PA，PB的大小，并说明理由.

七、板书设计

板分为左、中、右三部分，中间和右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书以下内容。

线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等