再谈函数最小正周期的机器证明

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上海中学数学・２０１４年第７～８期

——————————————————————————————————————————————————————一

再谈函数最小正周期的机器证明

３２４００２

浙江省衢州市教育局教研室

浙江省衢州第一中学

李

李世杰

盛

３２４０００

在文［１］中，笔者对函数最小正周期的机器证明作了初步讨论，文中所举实例均是定义在实数集Ｒ上的连续函数．对于更一般的周期函数，特别是定义域不是Ｒ的周期函数的最小正周期，如何借助信息技术给出机器证明，值得进一步探索，一、周期函数的课本定义与常用定义

在我国现行的各种高中新老教材中，对周期函数都是这样定义的（以下简称为课本定义）：对于函数ｙ一厂（．ｚ），如果存在一个不为零的常数丁，使得当ｚ取定义域内的每一个值时，．厂（ｚ＋丁）一．厂（．，ｒ）都成立，那么就把函数３，一厂（Ｔ）叫做周期函数？不为零的常数丁叫做函数的周期．如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数厂（Ｔ）的最小正周期．

周期函数的课本定义简洁明了，中学生容易接受，作为课本定义是最好的．但由于它的“简单性”，“课本定义”下的周期函数实际上是“广义”的周期函数，限制条件厂（ｚ＋了、）＝厂（．，ｒ）仅表明其图像向左边或右边单向波动，从整体上看图像并不一定是“周而复始”的．

在大学高等数学或数学分析教材中，通常采用以下另一定义（以下简称为常用定义）：对于函数∥一．厂（．Ｔ），如果存在一个不为零的常数Ｔ，使得当丁取定义域内的每一个值时，厂（ｚ—Ｔ）一．厂（ｔ—ｒ）一厂（ｏ’＋丁）都成立，那么就把函数ｙ一．厂（．『ｒ）叫做周期函数．不为零的常数Ｔ叫做函数的周期．

常用定义下的周期函数，实际上就是把课本定义中的限制等式厂（．，ｒ＋Ｔ）一厂（ｚ）改为厂（ｚ—Ｔ）一厂（ｚ），且厂（Ｔ）一厂（Ｔ＋Ｔ），表明其图像可以向左边及右边双向波动，这样的周期函数图像一定是周而复始的，是笔者要研究的理想的周期函数．

课本定义下的周期函数，定义域至少一端无界；常用定义下的周期函数，定义域二端均无界．常用定义下的周期函数，一定是课本定义下的周期函数．反

之，则不然．如函数ｙ—ｓｉ眦，ｚ∈（ｏ，＋。。），容易证

明它是课本定义下的周期函数，最小正周期为２丌，但它不是常用定义下的周期函数，这从函数定义域可以看出．

万方数据

二、常用定义下函数最小正周期的机器证明

对于常用定义下的一般的周期函数，类似文［１］，下面给出函数最小正周期求解的机器证明方法，其主要依据如下．

定理若常用定义下的周期函数．厂（Ｔ）定义在实数集Ｄ上，有最小正周期Ｔ。，则．厂（ｚ）的任何周使丁一行Ｔ’．

证明：如果正周期Ｔ不是Ｔ’的正整数倍，由带余除法可得丁一７２丁。＋ｒ（其中ｏ＜ｒ＜丁＋），

而厂（．ｒ＋１１）一厂（ｚ），于是，（ｚ＋７ｚＴ’＋ｒ）一厂（．ｒ＋ｒ＋卵丁＋）一厂（、ｚ＋ｒ）一／（ｚ）．（＊）

即ｒ是厂（．ｒ）的正周期，但，－＜Ｔ＋，与丁＋是最小同理可以证明：如果厂（ｚ）有最小正周期Ｔ＋，注：对课本定义下的周期函数，上面结论不成反例

设厂（Ｔ）一１，、ｒ∈Ｄ，这里Ｄ一［ｏ，１］Ｕ

［３，＋。。），则在课本定义下，丁＋一３是厂（ｚ）的最小面等式不成立．

推论若常用定义下的周期函数，（ｚ）定义在Ｔ］上，函数，（ｚ）的图像不能再均分，则函数厂（ｚ）的最小正周期为丁＋一丁；如果函数厂（ｚ）的图像最多能均分为以（咒≥２）等份，则函数，（ｚ）的最小正周

丁

期为Ｔ’一二．

Ｈ

证明：对函数厂（ｚ）的最小正周期Ｔ’和正周期Ｔ，根据定理，有Ｔ一７ｚＴ＋（九∈Ｎ’），因此在一个周期区间［ｏ，丁］上，函数厂（．ｚ）的图像至少可以再均分为超等份．若函数，（ｚ）的图像不能再均分，则挖一１，即函数厂（．ｚ）的最小正周期为丁＋一丁；若函数厂（ｚ）的图像

Ｔ

最多只能均分为竹（咒≥２）等份，则［ｏ，÷］就是最小的

期丁一定是Ｔ＋的整数倍，即存在７２（行∈ｚ，咒≠ｏ），正周期相矛盾．所以丁一咒丁＋．

那么厂（ｚ）的任何负周期丁７一定是丁’的负整数倍．

立，问题出在等式（＊）处．

正周期，Ｔ一５是．厂（ｚ）的一个正周期，Ｔ＝７２Ｔ。＋２，取ｚ一０，（＊）处即／（０＋３＋２）一厂（ｏ＋２），这一等式左边一１，但由于ｏ＋２睡Ｄ，故等式右边无意义，上实数集Ｄ上，有正周期丁，如果在一个周期区间［ｏ，

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周期区间，即函数，（．ｚ）的最小正周期为Ｔ＋一÷．

例１求函数，（Ｔ）一Ｉ

ｔａｎｚ＋ｃｏｓｃｏｓｔａ眦Ｉ的最

小正周期．

解：由于ｙ—ｔａ眦的最小正周期为７ｒ，猜测丌也

是厂（Ｔ）的一个周期．

对函数厂（ｚ）的定义域中的任一实数Ｔ，容易验证：厂（Ｔ＋丌）一Ｉｔａｎ（ｚ＋７ｒ）＋ｃｏｓｃｏｓｔａｎ（ｚ＋丌）１一

ｔａｎｚ＋ｃｏｓｃｏｓｔａｎｚ

Ｉ一厂（ｚ），

厂（ｚ一７ｒ）一Ｉｔａｎ（ｚ一７ｒ）＋ｃｏｓｃｏｓｔａｎ（Ｔ一丌）ｌ—

ｔａｒＬｚ＋ｃｏｓｃｏｓｔａｒＬｚｌ一／‘（Ｔ）．

所以厂（．，ｒ一７ｆ）一厂（．ｒ）一厂（Ｔ＋丌），说明丌是函数厂（Ｔ）的一个周期．再利用几何画板画出函数，（ｚ）的图像（如图１）．观察函数厂（ｚ）在一个周期区间

ｆ一号，号１上的图像，没有

图ｌ

周而复始，表明图像已经不能再均分了，根据定理推

论，函数厂（．Ｔ）的最小正周期为丌．

从本例解题过程，可总结出常用定义下求函数最小正周期的这种借助计算机软件进行证明（简称机器证明）方法的步骤．

１．猜测：正数Ｔ是函数．厂（ｚ）的一个周期．２．检验：对函数．厂（ｚ）的定义域的任一实数ｚ和正数丁，检验连等式厂（、ｒ—Ｔ）一，（ｚ）一厂（ｚ＋丁）是否成立？

如果上面连等式成立，得出结论：正数Ｔ是函数厂（Ｔ）的一个周期．如果上面连等式不恒成立，则正数丁不是函数厂（ｚ）的周期．

３．作图：利用几何画板等软件画出函数厂（ｚ）的（局部）图像．

４．得出结论：观察在一个周期区间［ｚ。，ｚ。＋丁］上函数．厂（ｚ）的图像，若函数厂（ｚ）的图像不能再均分，则函数．厂（ｚ）的最小正周期为Ｔ；如果函数厂（Ｔ）的图像最多还能均分为以等份，则根据定理推论，函

Ｔ

数厂（ｚ）的最小正周期为二．

儿

这４个步骤，缺一不可．第１步，根据经验，猜测厂（－ｒ）的一个正周期为Ｔ，这是第２步检验的先决条件；但具体解题时，这一步常略去不写．第２步，经检验证明Ｔ是一个正周期后，就能化无限为有限，研究函数的周期性，只要局限在一个周期区间［ｚ。，Ｔ。＋丁］内就可以了，因为常用定义下周期函数的整体性质，无非是它在一个周期内的性质进行周期延拓的结果．第３步是机器证明的关键，利用几何

万方数据

画板等软件快速绘出函数的（局部）图像．第４步，通过分析研究一个周期内函数的图像能否再均分，得出结论．

下面举例加以说明，这些例子用常规方法求解过程很复杂．

例２求函数厂（Ｔ）一ｓｉｎ８告一ｔａｎ２ｚ的最小正

周期．

解：由于厂（ｚ＋４丌）一ｓｉｎｓ（！＃堑）一ｔａｎｚ（．ｒ＋

４丌）一ｓｉｎ８要一ｔａｎ２ｚ一厂（ＬＴ），厂（ｚ一４７ｒ）一

ｓｉｎ８（堑≠）一ｔａｎ２（ｚ一４丌）一ｓｉｎ８詈一ｔａｎ２Ｔ一

厂（ｚ），所以厂（ｚ一丌）一厂（ｚ）一厂（Ｔ＋７ｒ），说明４丌是函数厂（ｚ）的一个周期．再利用几何画板画出函数，（ｚ）的图像（如图２）

２．

八

‘

’．八．．．八．．

’★＼

。仨Ｖ价ｎｎ

图Ｚ

观察函数，（ｚ）在一个周期区间（一等，萼）上

的图像，最多还可以再均分为２份，表明图像已经不能再均分了，根据定理推论，函数厂（ｚ）的最小正周

期为婴一２丌．

例３求下列函数的最小正周期：

（１）ｍ）一焉．

（２）础）一忑舞畿犏．

解：（１）对函数厂（Ｔ）的定义域中的任一实数

ｚ，容易验证：

，（ｚ＋丌）一ｒ銎嚣燃一罴一厂（Ｔ），厂（ｚ一丌）一ｒ銎岩鹅一篇一厂（ｚ）．

所以厂（ｚ一丌）一，（ｚ）一厂（ｚ＋丌），说明丌是函数，（ｚ）的一个周期．再画出函数，（ｚ）的图像（如

图３）．

观察函数厂（ｚ）在一个周期区间（ｏ，丌）或

（一｛，等１上的图像，没有周而复始，表明图像已经

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不能再均分了，根据定理推论，函数，（ｚ）的最小正周期为丌．

图３

（２）对函数ｇ（ｚ）的定义域中的任一实数ｚ，容易验证：

如托护丽群黟舞羞‰册

ｓｉｎ（５ｚ＋７）

一赢恧再丽面丽再面一ｇ（‘ｒ），

加１护面若桨舞搿‰

一鬲而习虿丽磁ｉ雨了一ｇ（ｚ）‘

ｓｉｎ（５．ｚ＋７）

所以ｇ（ｚ一２丌）一ｇ（Ｔ）一ｇ（ｚ＋２７ｒ），说明２丌是函数ｇ（ｚ）的一个周期．利用几何画板画出函数ｇ（丁）的图像（如图４）．

４

２

图４

观察函数ｇ（ｚ）在一个周期区间［ｏ，２７ｒ］上的图像，最多还可以再均分为２份，根据定理推论，函数

ｆ）一

ｇ（ｚ）的最小正周期为等一丌．

厶

例４

求函数厂（ｚ）一ｓｉｎｓｉｎ（５ｚ＋１）・ｔａｎ（３ｚ

＋５）的最小正周期．

解：对函数，（ｚ）的定义域中的任一实数ｚ，容易验证：

厂（ｚ＋２７ｒ）＝ｓｉｎｓｉｎ［５（ｚ＋２丌）＋１］ｔａｎ［３（ｚ＋２７ｒ）＋５］一ｓｉｎｓｉｎ（５ｚ＋１）ｔａｎ（３ｚ＋５）一厂（ｚ），

厂（ｚ一２丌）一ｓｉｎｓｉｎ［５（．ｒ一２７ｒ）＋１］ｔａｎ［３（ｚ一２７ｆ）＋５］一ｓｉｎｓｉｎ（５ｚ＋１）ｔａｎ（３ｚ＋５）一厂（Ｔ）．

所以厂（ｚ一２７ｆ）一厂（ｚ）一，（ｚ＋２７ｒ），说明２７ｒ是函数，（ｚ）的一个周期．

再画出函数厂（ｚ）的图像（如图５）．

万方数据

图５

观察函数，（ｚ）在一个周期区间［ｏ，２７ｒ］上的图像，没有周而复始，表明图像已经不能再均分了，根

据定理推论，函数厂（ｚ）的最小正周期为２丌．

例５求函数厂（ｚ）一Ｉｓｉｎ（５ｚ＋３）Ｐ。Ｈ¨的最小正周期．

解：对函数厂（ｚ）的定义域中的任一实数ｚ，容易验证：

厂（ｚ＋２丌）＝ｌｓｉｎ［５（ｚ＋２７ｒ）＋３］Ｉｃｏｓ［‰＋２神＋１］一ｓｉｎ（５ｚ＋３）ｌ”“ｋ＋１’一厂（ｚ），

，（ｚ一２丌）一Ｉｓｉｎ［５（ｚ一２７ｒ）＋３］ｌ。。５［３‘一２神＋１］一｜ｓｉｎ（５ｚ＋３）ｌ。“孙＋１’一厂（ｚ）．

所以厂（ｚ一２７ｒ）＝，（ｚ）一，（ｚ＋２丌），说明２７ｒ是函数厂（ｚ）的一个周期．再利用几何画板画出函数，（ｚ）的图像（如图６）．

观察函数厂（ｚ）在一个周期区间［ｏ，２丌］上的图像，没有周而复始，表明图像已经不能再均分了，根

据定理推论，函数厂（ｚ）的最小正周期为２丌．

例６

求函数，（ｚ）一Ｉｓｉｎ（５ｚ＋１）Ｊ＋

ｔａｎｃ寻ｚ＋，，ｆ＋Ｉｔａｎｃ号ｚ＋，，Ｊ的最小正周期．

解：对函数厂（ｚ）的定义域中的任一实数ｚ，容易验证：

厂（ｚ＋６７ｒ）一Ｊｓｉｎ［５（ｚ＋６７ｒ）＋１］Ｉ＋

ｔａｎ［詈ｃｚ＋６丌，＋，］Ｉ＋Ｉｔａｎ［导ｃｚ＋６丌，＋，］｜一旧ｎｃ５ｚ＋，，Ｉ＋Ｉｔａｎｃ詈ｚ＋，，Ｉ＋ｌｔａｎｃ号ｚ＋・，ｌ一

，（ｚ），

厂（ｚ一６丌）一ｌｓｉｎ［５（ｚ一６７ｒ）＋１］Ｉ＋

ｔａｎ［号ｃｚ一６丌，＋，］Ｉ＋ｌｔａｎ［导ｃｚ一６丌，＋，］Ｉ一旧ｎｃｓｚ＋，，ｌ＋ｌｔａｎｃ詈ｚ＋，，Ｉ＋Ｉｔａｎｃ号ｚ＋，，Ｉ一

厂（ｚ）．

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所以，（ｚ一６７ｒ）一厂（．ｒ）一厂（Ｔ＋６丌），说明６７ｒ是函数厂（ｚ）的一个周期．再利用几何画板画出函数厂（．ｒ）的图像（如图７）．

图７

观察函数厂（ｚ）在一个周期区间［ｏ，６丌］上的图像，没有周而复始，表明图像已经不能再均分了，根据定理推论，函数．厂（ｚ）的最小正周期为６７ｒ．

例７

求函数ｇ（ｚ）一ｌ。＆器的最小正周期．

分析：可类似前面数例直接求出函数ｇ（ｚ）的最小正周期，也可转化为求较简单函数的最小正周期．

解：记厂（ｚ）一恶，则对函数厂（丁）的定义

域中的任一实数ｚ，容易验证：

，（ｚ＋２）＝厂（Ｔ一２）２娄詈蠹端一恶一，（ｚ）

鬲五五乏而一面五品磊

ｓｉｎｓｉｎ玎（ｚ＋２）一ｓｉｎｓｉｎ７ｃＴ一，（Ｔ），

。

ｃＯｓｃＯｓ７ｒＬ、ｚ—Ｚ，

。

ｃＯｓｃＯｓ兀ｒ

所以，（ｚ一２）一，（ｚ）一厂（Ｔ＋２），说明２是函数，（ｚ）的一个周期．再利用几何画板画出函数厂（Ｔ）的图像（如图８）

‘＿）门

吨ＵＵｎ．ｎ．几厂

Ｕ２ＵＵ２兀

图８

观察函数．厂（ｚ）在一个周期区间［ｏ，２］上的图

像，没有周而复始，表明图像已经不能再均分了，根据定理推论，函数．厂（ｚ）的最小正周期为２．

由于ｇ（ｚ＋丁）一ｇ（ｚ）甘厂（ｚ＋Ｔ）一厂（ｚ）＞ｏ，说明函数ｙ—ｇ（，ｚ）和ｙ一厂（ｚ）＞Ｏ的周期性相同．而ｙ一，（ｚ）＞０的图像，是ｙ一，（ｚ）的图像在ｚ轴上方部分（如图９），故函数ｙ—ｇ（ｚ）和ｙ一厂（ｚ）＞ｏ的最小正周期均为２．

图９

三、课本定义下函数最小正周期的机器证明

对于课本定义下定义域不是Ｒ的周期函数的

万方数据

最小正周期，可用如下方法求解．

１．利用常用定义下求函数最小正周期的方法由于常用定义下的周期函数，一定是课本定义下的周期函数．所以对于定义域不是两端无界的部分函数，要判断函数是否为课本定义下的周期函数，可先把函数拓展为两端无界，再利用常用定义下函数最小正周期的证明方法来求解．

例８

求函数ｇ（Ｔ）一ｓｉｎｓｉｎｓｉｎｓｉｎｚ＋ｔａｎｃｏｓ丁

（ｚ＞ｏ）的最小正周期．

解：先判断函数．厂（ｚ）一ｓｉｎｓｉｎｓｉｎｓｉｎｚ＋ｔａｎｃｏｓｚ的周期性．由于

，（ｚ＋２７ｒ）一ｓｉｎｓｉｎｓｉｎｓｉｎ（Ｔ＋２丌）＋ｔａｎｃｏｓ（ｚ＋

２７ｆ）一ｓｉｎｓｉｎｓｉｎｓｉｎｚ＋ｔａｎｃｏｓＴ一，（Ｔ），

，（ｚ～２７ｒ）一ｓｉｎｓｉｎｓｉｎｓｉｎ（ｚ一２丌）＋ｔａｎｃｏｓ（ｚ一２７ｒ）一ｓｉｎｓｉｎｓｉｎｓｉｎｚ＋ｔａｎｃｏｓｚ＝厂（ｚ）．

所以厂（ｚ一２丌）一．厂（ｚ）一厂（ｚ＋２７ｒ），说明２丌是函数厂（ｚ）的一个周期．

再画出函数厂（ｚ）的图像（如图１０）．

图１０

观察函数．厂（ｚ）在一个周期区间［Ｏ，２丌］上的图像，没有周而复始，表明图像已经不能再均分了，根据定理推论，函数，（ｚ）的最小正周期为２巧。所以在课本定义下，函数ｇ（ｚ）的最小正周期为２７ｒ．

例９

求函数ｇ（ｚ）一ｃｏｓＳｉｎ２ｚ＋志（ｚ＞

ｌＯＯ）的最小正周期．

解：先判断函数．厂（ｚ）一ｃｏｓｓｉｎ２ｚ＋・—！三ｆ的

。

ＳｌｎＣｏＳ６二ｒ

周期性．由于，（ｚ＋２，ｒ）一ｃ。ｓｓｉｎ２（ｚ＋２７ｒ）＋

五磊东耳丽一ｃｏｓｓｉｎ２ｚ＋磊蒜２厂（ｚ），

一ｃｏｓｓｉｎ２ｚ＋＿—备一厂（Ｔ）．

，（ｚ一２巧）一ｃｏｓｓｉｎ２（・ｒ一２巧）＋磊ｉ五孬乏ｉ丽ｓｌｎＣＯＳ５ｚ

。

所以厂（，ｚ一２，ｒ）一厂（ｚ）一／（ｚ＋２，ｒ），说明２，ｒ是函数．厂（Ｔ）的一个周期．

再画出函数厂（ｚ）的图像（如图１１）．

ＵＵ∥ＵＵＵＵＵＵ

图１ｌ

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利用几何画板迭代

推导扇形面积公式

２０００２０

上海市向明初级中学

李孙昊

上海教育出版社六年级第一学期数学教材中，第四章“圆和扇形”的教学难点在于渗透化曲为直、数，所以不妨让Ａ组有ｒ０乱７ｚｄｆ詈＼个小扇形，Ｂ组

＼厶／

无限逼近等数学思想方法，能有效地发展学生的空间观念和想象能力．因此，除了让学生熟练掌握运有￡，一“竹ｃｆ鲁１个小扇形，其中ｒｏ“７ｚ矗可等效一个上

＼厶，

算，理解有关公式推导过程也是必要的．但是在上一取整函数，￡ｒ姗ｃ可等效一个下取整函数．

节“圆的面积”的实际教学中，教师将圆等分成若干首先在几何画板上作圆ｏ，作为扇形所在的圆，份，进而拼合成一个近似矩形来推导圆的面积公式，并在圆上任意取两点Ａ，Ｂ，联结ＯＡ和ＯＢ，构造弧学生对这一近似矩形的长和宽并没有直观的认识．ＡＢ，不妨假设么ＡＯＢ是一个锐角，ＡＢ是一段劣弧，因此，为了让学生从视觉上感受到近似矩形是由各扇形ＡＯＢ由半径ＯＡ，０Ｂ，ＡＢ围成．点击“数据”一小扇形头尾拼合而成，除了仿照教材上的插图设计“新建参数”，新建一个参数咒，表示扇形ＡｏＢ被平动态课件外，还可以在细节上打磨，例如对等分扇形均分成行等分，初始时不妨设定行一７．度量角

采用双色设计，来区分上排和下排的扇形．通过教学／＾ｎＤ

发现，此课件能更好地引导学生思考这个近似矩形的

么ＡｏＢ的度数，点击“数据”一“计算”，求垒三型，

，￡

１

长和宽，从而推导出扇形的第二面积公式Ｓ一÷阢

得到竹等分小扇形所对应的圆心角．为了使扇形厶

ＡＯＢ所对应的圆心角ＡＯＢ能在深度迭代后依旧保所谓双色设计，即将等分的小扇形分为两组，例如Ａ持不变，构造弧ＡＢ上的点Ｃ，使点Ｃ成为一个“伪

组和Ｂ组，用红色标识Ａ组，用黄色标识Ｂ组．因为等分成的小扇形个数可能是奇数，也可能是偶

装”的点Ａ．将点Ｃ绕圆心Ｏ按逆时针旋转刍竺

／ｄ，、Ｄ

观察函数厂（ｚ）在一个周期区间［ｏ，２万］上的图像，没有周而复始，表明图像已经不能再均分了，根观察函数厂（ｚ）在一个周期区间ｆ鲁，等１上的

＼厶

厶，

据定理推论，函数．厂（ｚ）的最小正周期为２丌．

图像，最多还可以再均分为２份，根据定理推论，函

所以在课本定义下，函数ｇ（．ｒ）的最小正周期为２兀２．利用定义域的对称性

数．厂（ｚ）的最小正周期为等一丌．

‘）一

厶

文［３］证明了如下结论：如果函数厂（ｚ）的定义从上可见，利用几何画板等数学软件，可以大大域关于某点对称，则课本定义与常用定义等价．

提高求较复杂周期函数最小正周期的工作效率，充因此，如果能判断函数．厂（ｚ）的定义域关于某点对分体现信息技术的优越性．但值得指出的一点是，本称，则仍可用文［１］中的方法证明函数的最小正周期．

文中所用证明方法正确的前提是作出的函数图像必例１０

求函数厂（ｚ）一ｔａｎ２ｚ＋ｃｏｓ４ｚ的最小正

须正确．如果函数的解析式过于复杂，用几何画板等周期．

数学软件作的电脑图并不一定能显示函数的完整图形，此时要避免以偏概全，防止出错．解：函数厂（ｚ）定义域为ｚ≠是丌＋号，志∈ｚ，对

称于原点，由于厂（ｚ＋２丌）一ｔａｎ２（ｚ＋２丌）＋ｃｏｓ４（ｚ参考文献

＋２７ｒ）一ｔａｎ２ｚ＋ｃ。ｓ４ｚ一，（ｚ）．

［１］李世杰，李盛．函数最小正周期的机器证明［Ｊ］．上海中

说明２丌是函数，（ｚ）的一个周期．再利用几何学数学，２０１２，４．

画板画出函数厂（ｚ）的图像（如图１２）．

［２］李世杰．对周期函数课本定义的商榷与建议［Ｊ］．中学数

学教学，１９８８，３．

［３］李世杰，吴卫国，张方盛．对函数周期性中容易混淆的若

干问题探讨［Ｊ］．上海中学数学，２００１，２．

［４］张方盛，李世杰等．函数中容易混淆的典型个例剖析

［Ｍ］．上海大学出版社，１９９９。

［５］李世杰，李盛．区域图案的周期性［Ｊ］．中学教研（数学），

２０１４，１．

［６］李世杰，李盛．平面区域的对称性［Ｊ］．中学教研（数学），

图１２

２０１３。１．

万方数据