毁灭性灾难中救灾物资分配方案的数学模型研究

№．１・１５８・

陕西科技大学学报

ＪＯＵＲＮＡｌ。ＯＦＳＨＡＡＮＸＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦ．ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＩ．ＯＧＹ

Ｆｅｂ．２００９

Ｖｏｌ－２７

’文章编号：１０００－５８１１｛２００９）０１－０１５８—０６

毁灭性灾难中救灾物资分配方案的数学模型研究

谭秋月１，孙平安２，韩希超３

（１．武夷学院经济与数学系，福建武夷山３５４３００；２．武夷学院信息网络与教育技术中心，福建武夷山３５４３００；３．辽宁科技大学计算机科学与工程学院，辽宁鞍山１１４０５１）

摘要：针对自然灾害发生后灾区救灾物资数量有限的情况，利用群组聚类的思想制定出了救灾物资详细的分配方案、相应的分配原则和物资分配策略，并给出了相应的数学模型或数学描述，通过一个简单直观的数值算例进一步验ｉｚ－＇ｆ该模型的合理性和可行性．关键词：救灾物资；群组聚类；分配模型；数值算例中图分类号：０２２４

文献标识码：Ａ

０引言

当某一地区受灾后，根据灾区灾害发生程度的不同，将灾情分为毁灭性（Ｄｅｓｔｒｏｙｅｄ）和非毁灭性（Ｎｏｎｅ－Ｄｅｓｔｒｏｙｅｄ）两种．假设某一灾区共有Ｎ名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾者；物资共有Ｍ种，每种物资的数量有限；各受灾者的灾情不同，对每种物资的急需程度和需求量不同．我们要研究的问题是：（１）制定分配原则并给出合理的分配方案，（２）试给出一个符合假设情况的数值算例．１模型假设及符号说明１．１模型假设［１．２］

（１）假设灾区有Ｎ名受灾者，且每一名受灾者均需要救灾物资；（２）假设灾区的每名受灾者之间相互独立，不考虑其家庭因素等；（３）假设灾区受灾者所经历的受灾灾种相同；（４）假设所运来的救灾物资为Ｍ种，且每种救灾物资均不足；（５）假设所运来的Ｍ种救灾物资均为对受灾者可分配的救灾物资；（６）假设对救灾物资一律实行无偿发放．１．２符号说明

Ｎ：灾区受灾者总人数；Ｍ：运送到灾区的救灾物资总类数；６，：运往灾区的第歹种救灾物资（以下简称物资歹）的总数量，其中歹＝１，２，…，Ｍ；Ｂ：运往灾区的Ｍ种救灾物资的总数量矩阵，即Ｂ＝（岛）。×Ｍ；ｑ：物资Ｊ的剩余可分配数量，其中歹一１，２’．．・，Ｍ；ｑｄ：第ｉ名受灾者（以下简称受灾者ｉ）对物资ｊ的需求量；Ｑ：

ｇｌｌ９２１

ｑ１２

‘‘‘

ｑｌＭ

ｑ２Ｍ

受灾者对各种救灾物资的需求量矩阵，即：Ｑ＝（ｑｄ）Ｎ×一ｒ＝

ｑｚｚ

…

；Ｋ：按急需程度对受灾者

ｑＭｑＮ２

…ｑＭｆ

进行分类得到的群组数目；Ｇ：毁灭性灾害模型中对受灾者分类得到的第志个群组；皖：非毁灭性灾害模

型中对物资歹分配时将受灾者分类得到的第ｋ个群组；蹰：对物资歹把受灾者分组后统计得到的第ｋ组的受

・收稿日期；２００８一ｌｏ～１６

作者简介：谭秋月（１９８０－－），女。陕西省杨陵区人．助教，在读硕士生，研究方向：图论及其应用

第１期

。！！！！！！！！！—！！！

ｆ‘Ｏｌｌ

ＣＯｌＺ

谭秋月等：毁灭性灾难中救灾物资分配方案的数学模型研究

一．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ＩＩ＝＝

・１５９・

ＩＩ！！！！！

灾者人数；叫。：受灾者ｉ对物资ｊ；的急需程度；Ｗ：各受灾者对救灾物资急需程度矩阵，即：Ｗ＝（哟）ＮｘＭ＝

…∞１＾ｆ

。‘‘

ｌ∞２１∞２２

ＷＺＭ

卜

ｉ

ＣＯＮＺ

。。‘

；＾：毁灭性灾害模型中群组Ｇ内各受灾者对物资＿ｆ分配方案的约束函数，其中ｋ

１０／诅４

ＬＯＪＮｌ

＝１，２，…，Ｋ；厶：非毁灭性灾害模型中受灾者ｉ对物资歹分配方案的约束函数，其中ｉ一１，２，…，Ｎ；粕：受灾者ｉ所分配到的第Ｊ种救灾物资的数量；Ｘ：题意所求救灾物资的分配方案，即：Ｘ＝（奶）Ｎ州＝

…Ｚ１Ｍ

‘‘’Ｘ２．Ｍ

…Ｘ．ＭＶＩ

２模型的综述

灾情发生后，根据灾情发生的灾害程度，将灾情分为毁灭性灾种和非毁灭性灾种．分别选取这两种灾情状况下能够描述受灾者灾情及对救灾物资的急需程度和需求量的某几个属性值作为已知条件，利用群组聚类的思想决定两种分配方案：

（１）毁灭性灾种，体现受灾者对救灾物资的紧迫性，将灾区受灾者按照其对救灾物资需求的某一种或者几种属性值进行聚类分组，然后对各群组受灾者实现对救灾物资的平均分配．

（２）非毁灭性灾种，对其现有灾情信息的某一种或者几种属性值经综合分析后分组，引人竞争机制，对每种救灾物资按照对每名受灾者边加权修正优先级边分配的原则进行分配，从而使得物资分配更合理，分配方法更科学．

３灾情状况及救灾模型的建立３．１毁灭性灾情状况概述Ｅ３，４］

当灾区所受灾种对受灾者来说为某一毁灭性灾种且运送来的该批救灾物资均为紧急救灾物资时，那么首先应该考虑救灾物资分配的紧迫性．对每一名受灾者均无法考虑其受灾程度、受灾损失以及个人经济等因素时，利用聚类的思想，对受灾者按照某一种或者几种属性值进行综合分析，分成几个不同的受灾群组．比如对受灾者按年龄阶段划分为儿童、青年、壮年、老人等群组，再根据分类的结果进行不同受灾群组的优先级（用急需程度表示）排序，上例群组划分中的优先级应为：儿童＞老人＞青年＞壮年．对不同群组受灾者赋予不同的物资需求量，但同一群组受灾者的需求量应相同；然后按照群组优先级从高到低的顺序完成对该物资的分配，当分配到某一群组，而该群组的物资需求总量小于剩余物资量时，应考虑将部分剩余救灾物资先平均分给该群组的每一名受灾者．当剩余的救灾物资总数小于该群组受灾者人数时，应对剩余的救灾物资按照该群组中的个人灾情程度中的某一属性值排序，然后按照由高到低的排序顺序将物资分配到该群组部分受灾者手中以完成该种救灾物资的分配，接下来进行下一种救灾物资分配，直到将所有的物资分配完毕．

３．２毁灭性救灾模型的建立睁７Ｊ

在毁灭性灾难中，各受灾者对Ｍ种救灾物资均有需求，将Ｎ名受灾者按其某一种或者几种属性值进

行综合分析，分成Ｋ个群组，记为Ｇ１，Ｇ２，…，ＧＫ，对群组内的各受灾者，同样按照其某一种或者几种属性值进行综合分析，利用综合属性值进行内部排序，用受灾者的序号表示顺序，序号越低则表示在群组内部对物资的急需程度越高，即：

・１６０・

！！！！！！！！！！！！！！！Ｉ＝＝

陕两科技大学学报

Ｉ

Ｉ

Ｉ＝。＝

Ｉ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

第２７卷

如果受灾者ｉ∈Ｇ，行∈Ｇ，并且，ｌ≤ｉ＜以≤Ｎ，则在群组Ｇ内部，受灾者ｉ对物资歹的急需程度要比受灾者ｎ对物资．『的急需程度高．

救灾人员根据灾区实际情况合理赋予不同群组受灾者以不同的物资需求量，但同一群组受灾者的需求量应相同．设受灾者ｉ对物资Ｊ的需求量为ｑｏ，则灾区内的Ｎ名受灾者对现有救灾物资的需求量为已知．

统计这Ｋ个群组中受灾者的人数，分别为：ｓ。，ｓｚ，…，蹰，应满足：

Ｋ

∑ｓ产Ｎ

＾＝１

（１）

由上述条件，建立以群组内部最公平为约束的数学模型，则灾情状况（１）中可构造出对每个群组Ｇ分配物资Ｊ的救灾物资分配方法模型为：

ｍｉｎ：＾一ｍａｘ｛ｍａ。，ｘ｛ｑｌｉ—ｑ），ｑｏ一劫一１）一ｍｉｎ｛碑！ｐ（｛劬一ｚｄ｝，ｑｏ一奶一１）

～

∑ｘ口≤岛

ｉ＝ｌ

ｚ＃≤ｑ＃

，２７ｄ≥０且为整数

口ｉ∈ＧＫ七一１，２，…，Ｋｉ一１，２，…，ＮＺ一１，２，…，Ｎ

（２）

歹＝１，２，…，Ｍ

将所有受灾者分组以后，下一阶段就需要进行排序操作，以确定对各群组的紧急程度及进行分配的优先次序．在受灾者的群组分类分析中，已经对原始指标数据进行了无量纲化处理，可以将各指标作为群组排序中模糊评估的评估准则，而将原始数据无量纲化所得的数据作为各评估准则的权值，并以各指标权值的高低作为评估群组优先级的依据．根据综合权值的高低对各受灾者予以排序，即可得到各群组的优先

在模型中，进行救灾物资分配时，采取对救灾物资进行轮流分配的方式对某一种救灾物资进行集中分配，即分配完第１种救灾物资之后再进行第２种救灾物资的分配，依次循环下去，直到把所有可分配的救灾物资分配完毕为止．

，

．对物资Ｊ进行分配时，按照群组急需程度从高到底的排序顺序依次分配，当对群组Ｇ进行物资分配时，比群组Ｇ的优先级高的各个群组均已经按照赋予的需求量完成分配并且该救灾物资仍有剩余，同样记救灾物资Ｊ的剩余可分配量为ｃｆ．

灾情状况１模型中对群组Ｇ发放物资ｊ的分配方法步骤如下：首先检验群组Ｇ的物资需求总量是否小于等于剩余物资量ｆｊ，即：

如果式（３）条件成立，则按照群组Ｇ中各受灾者对物资歹的需求量进行分配，调整分配方案中的相关

、

数值铂和救灾物资歹的剩余可分配量ｃ，的值，然后对具有下一优先级的群组Ｇ抖，进行该物资分配．

如果式（３）条件不成立，为了保证使得每个群组内部分配后满足约束条件，即：＾一ｍａｘ｛ｍａｘ｛ｑｌｊ一

嘞｝，ｑｏ一嘞一１）一ｒａｉｎ｛ｍｉｎ｛ｑｏ一嘞），劬～哪一１）最小，计算可得：

㈦碧。靠

㈤

第１期潭秋月等：毁灭性灾难中救灾物资分配方案的数学模型研究

・１６１・

然后对群组Ｇ中的各受灾者分别分配，．。个该物资，对于仍然剩余的ｒｚ个该物资，一定满足ｒｚ＜＆，再对群组Ｇ内部的各受灾者按照序号顺序将剩余的，．：个该物资分配给急需程度最高的前ｒ２个受灾者，这样在分配完物资歹时也确保了所得的厂茸的值为最小值，从而完成了救灾物资歹的分配；然后对第歹＋１种救灾物资进行如上分配，直到所有的Ｍ种救灾物资全部完成分配为止．

４

毁灭性灾难救灾模型数值算例的求解对于毁灭性灾难，我们建立如下算例：

算例ｌ：某一灾区有ｌｏ名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾者．物资共有５种，每种物资

数量有限，详细数据见表１所示．

值进行分类，在此我们按照年龄段将他们分成３个群组，其中百蘸丽可—了——ｒ—１——了１

１磊焉趸＿百广—ｉ广—磊——西、

１～１８岁分为一组，记为Ｇ，，６０岁以上分为一组，记为Ｇ２，１８～６０岁分为一组，记为Ｇ３．

按照对救灾物资的急需程度，可知Ｇ，组的受灾者对物资的急需程度最高，将其急需程度记为Ａ；Ｇ２组对物资的急需程度次之，将其急需程度记为Ｂ；最后把Ｇ３组急需程度记为Ｃ．救灾人员按照已经分好的群组对每种救灾物资赋予每个群组内的受灾者以相同的需求量，不同群组间需求量不一定相同，总的趋势是，物资急需程度越高的群组所赋予的需求量越少．算例中的相关数据详见表２所示．

按照上述数据，可得到：Ｎ＿－－１０，Ｍ一５，Ｂ一（３１

１９

３３

１３

对于该灾区的１０名受灾者，按照其某一种或者几种属性

表１各种救灾物资总量

表２各受灾者对每种物资的需求量

及所属群组的急需程度表

受灾者物资１物资２物资３物资４物资５急需程度

１８），Ｇｌ一｛Ⅱ２，口ｇ｝，Ｇｚ一｛口３，口６，

ａｌｏ），Ｇ３＝｛口１，ｎ４，口５，ａ７，ａ８），￥１ｊ＝２，ｓ≈－－－－３，ｓ３ｊ＝５，

５２４５５

４１３４４３４４１３

６３４３３４３３３４

３２３６６３６６２３

６４４３３４３３４４

Ｑ一（ｑｏ）１０Ｘ５一

４５５２４

下面开始对物资ｌ进行分配：由于ｆ１＝ｂｌ一３１＞０，而∑ｑ＾２ｓｋ一２×２＋４×３＋５×５＝４１＞３１，

＾；１

则首先转到对急需程度最高的群组Ｇ１内的各受灾者进行分配．

检验ｑ，㈣一２×２—４＜ｆｌ，则对群组Ｇ１内的受灾者按照其需求量进行分配，即：ｚｚ・＝ｑ２１＝２，Ｘ９ｌ＝ｑ。，一２，同时调整ｃ。一３１—２×２＝２７＞０后，转到对下一个优先群组Ｇ２内的受灾者进行剩余物资分配．

检验ｑ：。Ｓ。一４×３—１２＜ｆ１，同样对群组Ｇ２内的受灾者按照其需求量进行分配，即：ｚ。。＝ｑ６。＝ｚ１。１—４，调整ｃｌ＝２７—４×３—１５＞０，转到对下一群组Ｇ３内的受灾者进行剩余物资分配．

再次检验ｑ。。ｓｓ一５×５—２５＞Ｃ・，此时剩余物资总量已经不能满足对群组Ｇ３中所有受灾者按其需求

・１６２・

陕两科技大学学报第２７卷

量分配，由式（４）得到：．｜ｒ】２［詈］２［訾］。３

量分配，由式（４）得到：＜‘

Ｌｓｓ－Ｊ

Ｌ５Ｊ

，于是得到对群组Ｇａ中各受灾者每人分配３个物，于是得到对群组中各受灾者每人分配３个物

【ｒ２＝ｃｌ—ｒｌｓ３＝１５～３×５＝０

资２即可，即：ｚｌｌ＝ｚ４１一ｚ５ｌ＝ｚ７ｌ＝ｚ８ｌ＝３，此时ｂ１＝０，厂ｌｌ＝ｏ，厂２ｌ＝ｏ，＾１＝０．

同理，接下来进行物资２的分配，按照上述步骤，可得到物资２对群组Ｇ，和Ｇ２的受灾者分配结果为：ｚ２２一ｚ。２—１，ｚ。。＝ｚ。。一ｚ。。２＝３，此时ｆ２—８＞ｏ，再转到对下一群组Ｇ３进行剩余物资分配．

检验ｑ３２ｓ。一４×５＝２０＞ｆ。，此时剩余物资总量已经不能满足对群组Ｇ３中所有受灾者按其需求量分

配，同样由式（４）得到：ｊ，．・２［詈］一［詈］一１

【ｒ２＝ｃｚ—ｒ１ｓ３—８—１×５＝３

，于是得到对群组Ｇ３中各受灾者每人分配１个物

资２后，将会出现５名受灾者分配剩余３个物资２的情形，此时考虑群组Ｇ３中的所有５名受灾者的灾情程度，按某一种或者几种属性值综合灾情急需程度排序，将剩余的这３个物资２分配给排序最高的前３名受灾者即可．（注意：在同一群组内的受灾者，设受灾者ｉ序号越小，其在同群组中的综合灾情急需程度越高．）即：在程序中，将剩余的３个物资２分配给受灾者１、４和５，结果为：ｚ・ｚ一础ｚ—Ｘ５２—２，ｚ，２＝Ｘ８２＝１，得到ｂ２＝０，ｆ１２—０，＾２—０，＾２—１．

如此下去，分别得到对物资３、物资４及物资５的分配结果及各自分配后的效用值如下：

ｚ２３

２ｚ９３２３，ｚ３３２Ｘ６３２

Ｘ１０３

２４，Ｘ１３２

Ｘ４３

２

２３

Ｘ５３。Ｘ７３２．，Ｔ８３

得到ｆｌ。＝０，厂２３＝０，＾ｓ＝０，则

ｚｚ４

２勘４＝２，ｚ３４２ｚ６４。Ｘ１０４２３，ｚ１４２Ｘ４４２

Ｘ５４

２

Ｘ７４

２．Ｔ８４。０

得到＾。＝０，厂２。＝０，则

，Ｔ２５

２

Ｘ９５

２４，ｚ３５２４，－Ｔ６５２．．Ｔ１０５２３，．Ｚ＇１５２，３。４５２

３７５５

２

Ｘ７５

２ｚｓｓ。０

得到＾５—０；＾５一１．

综上所述，可得到该算例最终的分配方案为：

３２４３３

２１３２２３１１１３

３３４３３４３３３４

Ｏ２３ＯＯ３Ｏ０２３

Ｏ４４０Ｏ３Ｏ０４３

Ｘ＝（劫）１０Ｘ５＝

４３３２４

从上述算例可以看出，此分配方案既保证了对救灾物资急需程度较高的受灾者优先得到物资，又可以在群组内部达到最大公平性，即分配结束后各群组内的各受灾者对物资的需求量和其所分配到的该物资数量之差的最大值与最小值的差额最小．

对于物资ｌ，能够满足群组Ｇ，和Ｇ２的需求，但对于继续程度较低的群组Ｇ３则不能满足所有受灾者的需求，但剩余可分配救灾物资恰好能平均分配给该组的受灾者，使得＾。＝ｏ；对于物资２，同样可以满足群组Ｇ。和Ｇ２的需求，但对于继续程度较低的群组Ｇ３也不能满足需求并且不能对该群组受灾者将剩余救灾物资平均分配，在约束条件的限制下，由题意得＾。＝１，最大程度地保证了群组内受灾者的公平；物资３的分配情况和物资１类似，最终＾。＝０；相比之下，物资４和物资５的可分配量较少，均达不到所需救灾物资

第１期谭秋月等：毁灭性灾难巾救灾物资分配方案的数学模型研究

！！！！！！！！！！！！！！１１＝：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ｍ＝＝Ｉｍ！

・１６３・

的一半，按照群组优先的原则分配，只能分配给前两个继续程度相对较高的群组的受灾者，并且物资４恰好能将剩余可分配量满足群组Ｇ２的所有受灾者需求，得到＾。一ｏ；而物资５只能满足群组Ｇ２的部分受灾者，最终得到．厂２５＝１．

以上模型及数值算例的验证结果表明该模型可以在上述灾情状况下实现将运送到某一灾区的救灾物资向灾区受灾者及时合理的分配，此模型是合理、可行的．

５

模型的评价及改进

本文根据灾情状况建立了相应的数学模型，其通用性较强，所建立的数学模型能够简洁直观地刻画出

所要研究的问题，并用所能够描述的救灾者灾情、对救灾物资的急需程度和需求量的某几个属性值作为已知条件，在模型中体现救灾物资分配的详细原则．

对于毁灭性灾难救灾模型的改进，可以将该模型中的各受灾者针对不同的救灾物资所对应的灾情属性因素考虑得更全面一些，对不同的属性值在灾情中的影响给予一个合适的权值，然后将某几个属性综合加权之后将受灾者分成几个更合理的群组，而不是如算例１中所描述的那样只针对受灾者的年龄阶段将受灾者分成３个群组，这样会使救灾物资的分配方案模型更加合理化．

参考文献

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ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬＭｏＤＥＬ

ＯＦＤＩＳＴＲＩＢＵＴＩｏＮ

ＭＥＴＨｏＤｏＦＲＥＬＩＥＦＭＡＴＥＲＩＡＬ

ＴＡＮＱｉｕ－ｙｕｅｌ，ＳＵＮＰｉｎｇ－ａｎｚ，ＨＡＮＸｉ—ｅｈａ０３

（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．ＷｕｙｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｙｉｓｈａｎ

ｃａｔｉｏｎ

３５４３００。Ｃｈｉｎａ；２．ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＮｅｔｗｏｒｋ＆Ｅｄｕ—

ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｅｎｔｅｒ，ＷｕｙｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｙｉｓｈａｎ

３５４３００，Ｃｈｉｎａ；３．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ

１１４０５１。Ｃｈｉｎａ）

ａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ。ＬｉａｏｎｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ｛５ＬＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ａｎｓｈａｎ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｆｔｅｒｔｈｅｎａｔｕｒａｌｄｉｓａｓｔｅｒｈａｐｐｅｎｅｄ，ｂｅｃａｕｓｅｔｈｅａｍｏｕｎｔｏｆｒｅｌｉｅｆｍａｔｅｒｉａｌｔｈａｔｉＳｔｒａｎｓｐｏｒｔｉｎｇ

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ｉｓｌｉｍｉｔｅｄ，ｔｈｅｐａｐｅｒｒｅｓｅａｒｃｈｅｓｆｏｒｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｄｉｓｔｒｉ－

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毁灭性灾难中救灾物资分配方案的数学模型研究

作者：作者单位：

谭秋月， 孙平安， 韩希超， TAN Qiu-yue， SUN Ping-an， HAN Xi-chao

谭秋月,TAN Qiu-yue(武夷学院经济与数学系,福建,武夷山,354300)， 孙平安,SUN Ping-an(武夷学院信息网络与教育技术中心,福建,武夷山,354300)， 韩希超,HAN Xi-chao(辽宁科技大学计算机科学与工程学院,辽宁,鞍山,114051)

陕西科技大学学报（自然科学版）

JOURNAL OF SHAANXI UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE EDITION)2009,27(1)

刊名：英文刊名：年，卷(期)：

参考文献(7条)

1. 朱德通 最优化模型与实验 20032. 刁在筠;刘桂真;宿洁 运筹学 20073. 赵静;但琦 数学建模与数学实验 2003

4. 李阳;李聚轩;滕立新 大规模灾害救灾物流系统研究[期刊论文]-科技导报 2005(07)5. 王楠;刘勇;曾敏刚 自然灾害应急物流的物资分配策略研究 2006(11)6. 国家自然灾害救助应急预案 2006

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本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xbqgyxyxb200901036.aspx