概率论与数理统计习题-工程数学

概率论与数理统计习题集

第一单元 随机变量基本概念

一、 选择题

1．设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误的是（ ）

A ．P (A |B ) =0 B．P （B|A）=0

C ．P （AB ）=0 D．P （A ∪B ）=1

2．设A ，B 为两个随机事件，且P （AB ）>0，则P （A|AB）=（ ）

A ．P （A ） B．P （AB ） C．P （A|B） D．1

3．一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3

件中恰有一件次品的概率为（ ）

1

A ．60 717B ．45 C．5 D．15

4．设A 为随机事件，则下列命题中错误的是（ ）

A ．A 与A 互为对立事件 B ．A 与A 互不相容

C ．A ⋃A =Ω D．A =A

5. 2．设A 与B 相互独立，P (A ) =0. 2，P (B ) =0. 4，则

A ．0.2 P (A B ) =（ ） B ．0.4 C．0.6 D．0.8

6．设事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B) >0，则有（ ）

A ．P(AB )=l B ．P(A)=1-P(B)

C ．P(AB)=P(A)P(B) D．P(A∪B)=1

7．设A 、B 相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（ ）

A ．P(AB)=0

C ．P(A)+P(B)=1 B ．P(A-B)=P(A)P(B ) D．P(A|B)=0

8．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ ）

A ．0.125 B ．0.25 C．0.375 D．0.50

9．某射手向一目标射击两次，Ai 表示事件“第i 次射击命中目标”，i=1，2，B

表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（ ）

A ．A1A2 B ．A 12 C．1A 2 D．12

10．某人每次射击命中目标的概率为p(0

未中第二次命中的概率为（ ）

A ．p2 B ．(1-p)2 C．1-2p D ．p(1-p)

11．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且A B ，则P(A|B)=（ ）

A ．0 B ．0.4 C．0.8 D．1

12．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一

件，则该件产品是一等品的概率为（ ）

A ．0.20 B ．0.30 C．0.38 D．0.57

3,P(A)=1, 则510

213．已知P(B|A)=A ．1 2P(AB)=( ) D.3 50 B.3 C．2 3

14．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是4，刮三级以上风的概率为2，既1515

刮风又下雨的概率为1，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） 10

A. 8

225 B.1 C.3 2 D.3 48

15．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，

第二次抽到白球的概率为（ ） A.3 B.3 C.1 D.

5423 10

16．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，则已知甲同学排在第一跑道，

乙同学排在第二跑道的概率（ ） A. 2 B.1 C.2 D. 3

5597

17．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是

奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ） A. 2 B.1 C.1 D. 3

5527

18. 福娃是2008年北京第二十九届奥运会的吉祥物，每组福娃都由“贝贝”“晶

晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两人随机地从一组五个

福娃中选取一个留作纪念。按甲先选乙再选的顺序不放回的选择，则在他俩选择

的福娃中“贝贝”和“晶晶”一只也没有被选中的概率是（ ） A. 1 B.3105 C.3 D.2510

19. 100件产品中有3件次品，从中任取4件，观察其中的次品数，则样本空间

为（ ）

A. {0,1,2,3} B. {1,2,3} C. {0,1,2,3,4} D. {1,2,3,4}

20. 100件产品中有3件次品，从中任取4件，观察其中的正品数，则样本空间

为（ ）

A. {0,1,2,3} B. {1,2,3} C. {0,1,2,3,4} D. {1,2,3,4}

21．已知P(AB)=

A ．1

23,P(A)=25103 25, 则P(B|A)=( ) C．2 3 B. D.3 4

22. 已知A,B 互斥，则P(B|A)=( )

A ． 0 B.1

2 C．2 3 D.1

二、填空题

1．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （A ⋃B ）=____________.

12．一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是

不同色的概率为____________.

2．甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为____________.

14．设A 与B 是两个随机事件，已知P （A ）=0.4，P （B ）=0.6, P （A ⋃B ）

=0.7,则P(B )=___________.

3．设事件A 与B 相互独立，且P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A ⋃B ）=_________.

4．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=________.

5．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为12．设随机事件A 与B 互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)=.

6．设事件A 与B 相互独立，且P(A∪B)=0.6，P(A)=0.2，则P(B)=

7．设P () =0. 3，P(B|A)=0.6，则P(AB)=

20．10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第

一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是

8．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为.

119. 设事件A , B 的概率分别为 与 ，且 A 与 B 互 斥，则 P (A B ) =______. 54

10. 一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只球 ，则取到的3只都是红球的事件的概率等于________。

11. 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率等于 ______。

12. 设 A1 , A2 , A3 是随机试验E 的三个相互独立的事件，已知P(A1) = 0.3 , P(A2) = 0.4，P(A3) = 0.5 ，则A1 , A2 , A3 至少有一个发生的概率是 .

13．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球, 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 ______。

14. 某校计科系一年级100名学生中有男生80名，来自昆明的20名学生中有男生12名，选修数学建模课的40名学生中有男生32名，求：

（1）碰到女生的情况下，是昆明学生的概率：

（2）碰到非来自昆明的学生的情况下，是一名女生的概率：

（3）碰到非来自昆明的女生的概率：

（4）碰到一名男生的情况下，为非来自昆明的学生的概率：

（5）碰到一名男生的情况下，为非选修数学建模课的学生的概率：

（6）碰到一名女生的情况下，是选修数学建模课的学生的概率：

15. 已知A,B 互斥，则P (A B )= 16. 已知A,B 互斥，则P (ABC )= 17. 已知A,B 对立，则P A =

18. 已知A,B ，C 相互独立，P (A )=0.2, P (B )=0.3, P (C )=0.4, ()

则P (ABC )= 19. 已知A,B 相互独立，P (A )=0.2, P (A +B )=0.6，则P (B )=

20. 已知A,B ，C 两两互斥，P (A )=0.2, P (B )=0.1, P (A +B +C )=0.8，则P (C ) = 21. 10件产品中有3件废品，任取两件，至多一件废品的概率为

22. 随机的抛掷两颗色字，点数之和等于7的概率为

三、 解答题

1．写出下列随机试验的样本空间

(1)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度

(2 ) 10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的样本空间

2. 设一个工人生产了四个零件，A i 表示事件“他生产的第i 个零件是正品”(i =1, 2, 3, 4) ，用A 1, A 2, A 3, A 4的运算关系表达下列事件.

(1)没有一个产品是次品；

(2)至少有一个产品是次品；

(3)只有一个产品是次品；

3. 设A , B 是两事件且P (A ) =0. 6, P (B ) =0. 7，问(1)在什么条件下P (AB ) 取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P (AB ) 取到最小值，最小值是多少？

4．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则

（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？

（2）先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？

5．某种元件用满6000小时未坏的概率是3，用满10000小时未坏的概率是1，

42

现有

一个此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率

6．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽

取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率。

117. 设A,B,C 是三事件，且P (A ) =P (B ) =P (C ) =, P (AB ) =P (BC ) =0, P (AC ) =， 46

求A,B,C 至少有一个发生的概率.

8. 在100个产品中有10个次品，任取5个，求

(1)恰有3个次品的概率； (2)至少有2个次品的概率.

9. 两射手进行独立射击，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，求两人至少一人击中的概率。

10. 5封信随机地投入5个信箱(有的信箱可能没有信) ，问每个信箱恰有一封信的概率是多少？

11. 教室里有30个人，问至少有两个人的生日在同一天的概率是多少？

12. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D

内 ( 其 中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2所 围 成 的 ) ， 设 事 件

y

2

1D 1

A 为： 质 点 落 在 直 线 y = 1 的 上 侧 ， 求 P(A) 。

13. 某种动物由出生活到15年以上的概率为0.7，活20年以上的概率为0.6，问现年15岁的这种动物活到20岁以上的概率是多少？

14. 一批零件为100个，次品率为10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才能取得正品的概率是多少？

15. 24、十个考签中3个难的，三人参加抽签，(不放回) 甲先、乙次、丙最后，记事A,B,C 分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求P (A ), P (AB ), P (A B ), P (ABC ) .

16. 设有甲、乙两袋，甲袋装有3只白球，4只红球；乙袋中装有6只白球，5只红

球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白

球的概率是多少？

17. 某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例分别为25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是5%,4%,2%

(1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？ (2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？

18. 已知P(A|B)=3,P(B)=1，求P(AB)

53

1119. 已知A,B 互斥，P (A ) =, P (B ) =，求P (A +B ), P (A -B ) 23

1120. 已知A,B 相互独立，P (A ) =, P (B ) =，求P (A +B ), P (A -B ) 23

21. 已知A,B 对立，P (A ) =0.4，求P (B )

22. 已知B ⊂A ，P (A ) =0.7, P (B ) =0.5，P (A +B ), P (A -B ), P (B -A )

1123. 已知A,B 独立，P (A ) =, P (B ) =，求P () 43

24. 已知A ⊂B ，P (A ) =0.3, P (B ) =0.7，求P (A B )

1125. 已知A,B 独立，P (A ) =, P (B ) =，求P () 35

26．已知A 1, A 2, A 3两两互斥，A 1+A 2+A 3=Ω，

P (A 2) =0.3, P (A 3) =0.5, P (B A 1) =0.2,

P (B A 2) =0.4, P (B A 3) =0.1，求P (B )

27. A,B,C三人独立地翻译一份文件，正确译出的概率分别为0.8,0.7,0.8，求至少一人翻译正确的概率。

28. 某车间有三台机床，每台机床出故障的概率均为0.2，三台机床相互独立工作，求恰好一台机床出故障的概率。

29. 将一根长为1米的绳子随机的剪成两段，求其中一段超过另一段两倍的概率。

30. 在【0,1】内随机的取一个数，求这个数到0的距离大于0.3的概率。

131. 在【0,1】内随机的取两个数，求这两个数到之和小于的概率。 3

32. 某公交站台从6:00开始每10分钟有一趟公交车，某人在6:00-6:20任意时刻到达公交站台都是等可能的，求他等车时间不超过5分钟的概率。

33. 某地区一年内刮风的概率为0.3，下雨的概率为0.2，刮风下雨的概率为0.1，求该地区在下雨时刮风的概率。

34. 某家族具有某种传染病，经调查，母亲得病的概率为0.3，母亲得病时孩子得病的概率为0.4，母亲孩子得病时父亲得病的概率为0.3，求孩子母亲得病但父亲不得病的概率。

第二单元 参考答案

一、 选择题

1-5 AD D CD 6-10 ABCBD 11-15 CDDCD 16-22. BCDADDA

二、填空题 1. 0.5 2. 3.0.7 4. 0.3 5. 0.58 6.0.21 7.0.5 8. 0.4. 114139. 0.42 10. 1/9 11. 8/15 12. 13. 14. 15. 0.79 528524

16. [1**********]8 17. （1） （2）（3）（4）（5）（6） [**************]

14 25. 1518. 0 19. 0 20. 1 21. 0.024 22. 0.5 23. 0.7 24.

1 6

三、 解答题

1. (1) Ω={(x , y , z ) |x >0, y >0, z >0, x +y +z =1}

其中x , y , z 分别表示第一、二、三段的长度

(2) Ω={3,4,5, L ,10}

2. (1) B 1=A 1A 2A 3A 4 (2) B 2=A 1⋃A 2⋃A 3⋃A 4=A 1A 2A 3A 4 (3) B 3=A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4

3. 解: (1)A ⊂B , P (AB ) =0. 6

21 （2） 54

1

25. 解：P == 33

4

6. 解：P =0.9g 0.8=0.72 (2)A ⋃B =S , P (AB ) =0. 3 4. 解：（1）

7. 解:P (A ⋃B ⋃C ) =P (A ) +P (B ) +P (C ) -P (AB ) -P (AC ) -P (BC ) +P (ABC ) =11117++-0--0+0= 444612

54123⎡C 90⎤C 90C 10C 90C 108. 解: P (1)= P (2)=1-+⎢5⎥ 55C 100C 100⎦⎣C 100

9. 解:A =“甲中” B =“乙中”

P (A ⋃B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) =0. 9+0. 8-0. 72=0. 98

5! 55

11. 解：设所求事件A =“至少有两个人的生日在同一天”

A =“任何两个人的生日都不在同一天” 10. 解: P (A ) =

3030A 365A 365P (A ) =, P (A ) =1-P (A ) =1- 3653036530

1⨯1⨯11D 212. P (A ) === D ⨯2⨯24

13. 解：设A 为{由出生活到15岁}的事件，B 为{由出生活到20岁}的事件

则所求事件的概率为P (B |A ) =P (AB ) P (A ) Q B ⊂A ∴AB =B

P (B |A ) =P (AB ) P (B ) 0.66=== P (A ) P (A ) 0.77

14. 解：设A i 为{第i 次取到正品}，(i =1, 2, 3) 由于次品率为10%，故100个零件约有90个正品，次品10个，设A 为{第三次抽到正品}，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，则由一般乘法公式得

10990⨯⨯=0. 0083 P (A ) =P (A 1A 2A 3) =P (A 1) P (A 2|A 1) P (A 3|A 1A 2) =1009998

317332115. 解：P (A ) =, P (AB ) =，P (AB ) =⨯ ，P (ABC ) =⨯⨯ [1**********]

16. 解：设H 1表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，

H 2表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，

B 表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，

所求事件B =BH 1⋃BH 2

由全概率公式：P (B ) =P (H 1) P (B |H 1) +P (H 2) ⋅P (B |H 2) 34易知：P (H 1) =, P (H 2) = 77

76P (B |H 1) =, P (B |H 2) = 1212

374645=于是P (B ) =⨯+ 71271284

17. 解：设A =“所取出的一件产品是废品”， B 1=“产品系甲车间生产”，

B 2=“产品系乙车间生产”， B 3=“产品系丙车间生产” 已知P (B 1) =0. 25 P (B 2) =0. 35 P (B 3) =0. 4 P (A |B 1) =0. 05 P (A |B 2) =0. 04 P (A |B 3) =0. 02

(1)由全概率公式：

P (A ) =∑P (A |B i ) P (B i ) =0. 25⨯0. 05+0. 35⨯0. 04+0. 4⨯0. 02=0. 0345

i =13

(2)由贝叶斯公式：

P (B 1|A ) =P (A |B 1) P (B 1) 0. 25⨯0. 05=≈0. 3623 P (A ) 0. 0345

P (A |B 2) P (B 2) 0. 35⨯0. 04=≈0. 4058 P (A ) 0. 0345

P (A |B 3) P (B 3) 0. 02⨯0. 4=≈0. 2319 P (A ) 0. 0345P (B 2|A ) =P (B 3|A ) =

所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.

31118. 解：P (AB ) =P (B ) g P (A |B ) == 535

519. 解：P (A +B ) =P (A ) +P (B ) = 6

1 P (A -B ) =P (A ) = 2

220. 解：P (A +B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) = 3

1 P (A -B ) =P (A ) -P (AB ) = 3

21. 解：P (B ) =1-P (A ) =0.6

22. 解：P (A +B ) =P (A ) =0.7

P (A -B ) =P (A ) -P (B ) =0.2

P (B -A ) =P (B ) -P (AB ) =0

12123. 解：P () =P (A ) P () == 436

24. 解：P (A B ) =P (AB ) P (A ) 3== P (B ) P (B ) 7

24825. 解：P () == 3515

26. 解：P (B ) =P (A 1) g P (B A 1) +P (A 2) g P (B A 2) +P (A 3) g P (B A 3) =0.2g 0.2+0.3g 0.4+0.5g 0.1=0.21

27. 解：P (A +B +C ) =1-P () =1-0.2g 0.3g 0.2=0.988

1228. 解：P 3(1)=C 30.2⨯(0.8)=0.384 2 3

30. 0.7 131. 18

132. 2

133. 2

34. 0.084 29.

第二单元 一维随机变量及其分布

一、选择题

1. 设随机变量X ～N (1，4) ，F (x ) 为X 的分布函数，Φ(x ) 为标准正态分布函数，则

F (3)=( ) A. Φ(0.5) C. Φ(1)

2. 设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎨A. C.

1214

B. Φ(0.75) D. Φ(3)

⎧2x , 0≤x ≤1, 1

则P {0≤X ≤=( )

2⎩0, 其他,

B. D.

3

4

13

1⎧

⎪cx +, -1≤x ≤0,

3. 设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎨则常数c =( ) 2

⎪ 0, 其他, ⎩

A.-3

12

B.-1

C.- D.1

4．设随机变量X 的概率分布为P (X =k ) =b λk , k =1,2, , b >0，则（ ）. （A ）λ为任意正实数； （B ）λ=b +1；

11

（C ）λ=； （D ）λ=.

1+b b -1

5．设连续型随机变量X 的概率密度和分布函数分别为f (x ) 和F (x ) ，则下列各式正确的是（ ）.

（A ）0≤f (x ) ≤1； （B ）P (X =x ) =f (x ) ； （C ）P (X =x ) =F (x ) ； （D ）P (X =x ) ≤F (x ) . 6．下列函数可作为概率密度的是（ ）. （A ）f (x ) =e -|x |, x ∈R ；

1

, x ∈R ； （B ）f (x ) =

π(1+x 2)

⎧-x

2, x ≥0, （C

）f (x ) =

0, x

⎧1, |x |≤1,

（D ）f (x ) =⎨

⎩0, |x |>1.

7．下列函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（ ）.

2

111

F (x ) =+arctan x ； ； （B ）

2π1+x 2

⎧1-x

x >0⎪(1-e ),

（C ）F (x ) =⎨2

⎪, x ≤0; ⎩0

（A ）F (x ) =

（D ）F (x ) =⎰

x -∞

f (t ) dt ，其中⎰

+∞-∞

f (t ) dt =1.

8．设X 1, X 2是随机变量，其分布函数分别为F 1(x ), F 2(x ) ，为使

F (x ) =aF 1(x ) -bF 2(x ) 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）.

3222

（A ）a =, b =-； （B ）a =, b =；

55331313

（C ）a =-, b =； （D ）a =, b =.

2222

9．设随机变量X 的概率密度为f (x ) ，且f (-x ) =f (x ), F (x ) 是X 的分布函数，

则对任意实数a 有（ ）. （A ）F (-a ) =1-⎰

a 0

f (x ) dx ；

a 1

（B ）F (-a ) =-⎰f (x ) dx ；

02

（C ）F (-a ) =F (a ) ；

（D ）F (-a ) =2F (a ) -1.

10．设随机变量X ~N (1,22) ，其分布函数和概率密度分别为F (x ) 和f (x ) ，则对任意实数x ，下列结论中成立的是（ ）. （A ）F (x ) =1-F (-x ) ； （B ）f (x ) =f (-x ) ；

（C ）F (1-x ) =1-F (1+x ) ；

⎛1-x ⎫⎛1+x ⎫

（D ）F =1-F ⎪ ⎪.

22⎝⎭⎝⎭

11．设X ~N (μ,42), Y ~N (μ,52) ，设P (X ≤μ-4) =p 1，P (Y ≥μ+5) =p 2，则（ ）.

（A ）对任意实数μ有p 1=p 2； （B ）p 1

（C ）p 1>p 2； （D ）只对μ的个别值才有p 1=p 2. 12．设X ~N (μ, σ2) ，则随着σ的增大，概率P (|X -μ|

13．设随机变量X 的分布函数为F X (x ) ，则Y =5X -3的分布函数 F Y (y ) 为（ ）.

（A ）F X (5y -3) ； （B ）5F X (y ) -3；

1⎛y +3⎫

（C ）F X ⎪； （D ）F X (y ) +3.

5⎝5⎭

1

14．设X 的概率密度为f (x ) =，则Y =2X 的概率密度为（ ）. 2

π(1+x )

11

（A ）； （B ）；

π(1+4y 2) π(4+y ) 2

22

（C ）； （D ）. 22

π(4+y ) π(1+y )

二、填空题

1. 设A 为随机事件，P(A)=0.3，则P(A )=_________.

2. 设随机变量X 的分布律为 . 记Y=X2，则P{Y=4}=_________. 3. 设X 是连续型随机变量，则P{X=5}=_________.

4. 设随机变量X 的分布函数为F(x)，已知F(2)=0.5，F （-3）=0.1， 则P{-3

5．设离散型随机变量X 的分布律为P (X =k ) =

A =__________, P (X

A

(k =0,1, 2,3) ，则2+k

2．设X ~B (2,p ), Y ~B (3,p ) ，若P (X ≥1) =5/9，则P (Y ≥1) =________.

() =P (X =，2则P (X ≥1=) __________，6．设X ~P λ，且P (X =1)

P (0

7．设连续型随机变量X 的分布函数为

⎧⎪0, x

π⎪

F (x ) =⎨A s i n x , ≤0x ,

2⎪

π⎪

1, x >, ⎪⎩2

π⎫⎛

则A =__________，P |X |

6⎭⎝

8．设随机变量X 的概率密度为

⎧Ax 2e -2x , x >0

f (x ) =⎨

x ≤0, ⎩0,

则A =__________

9．设随机变量X 的概率密度为

0

f (x ) =⎨

其他. ⎩0,

现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(X ≤1/2) 出现的次数，则P (Y =2) =__________.

10．设随机变量X 服从[-a , a ]上均匀分布，其中a >0. （1）若P (X >1) =1/3，则a =__________； （2）若P (X 1) ，则a =__________.

11．设X ~N (μ, σ2) ，且关于y 的方程y 2+y +X =0有实根的概率为1/2，则μ=__________.

12．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 13．设随机变量X 的概率密度为

⎧1

若x ∈[0, 1]⎪3,

⎪⎪2若x ∈[3, 6] f (x ) =⎨, ⎪9⎪⎪0, 其他. ⎩ 若k 使得P (X ≥k ) =2/3，则k

14．设随机变量X 服从(0,2) 函数为f Y (y ) =__________.

三、简答题

1. 确定随机变量X ： ⎧cx 4

⑴f (x ) =⎨

⎩0

⎧c , x ∈[0, 1]⎪

； ⑵f (x ) =⎨1+x 2

, 其它⎪⎩0

, x ∈[0, 1],

其它

。

⎧a +be -x

2. 如果连续型随机变量X 的分布函数为：①F (x ) =⎨

⎩0②F (x ) =a +b arctan x ,(-∞

分别求：（1）a , b ；（2）P {-1

, x >0, x

，

⎧ax b 3. 设随机变量X 的密度函数为：f (x ) =⎨

⎩0

, 0

，（a , b >0) 如果已知

, 其它

P (X ≤

=P (X >，求：a 和b ，写出分布函数。 4. 已知随机变量X 的密度函数为：f (x ) =服从什么分布？（2）若已知⎰f (x ) dx =⎰

-∞c

1π

+∞c

e

-

x 2-4x +4

6

（1）X , -∞

（3）求：f (x ) dx ，求常数c ；

P (0

5. 设ξ服从参数λ=1的指数分布，求方程4x 2+4ξx +ξ+2=0无实根的概率。 6. 某房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房间里飞来飞去，试图飞出房间。

1）假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律；

2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试次数不多于一次。以Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数。如户主所说是确实，试求Y 的分布律。

3）写出Y 的分布函数。

7. 已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个值，相应的概率依次为：1/2c、3/4c、5/8c、7/16c，试(1)确定常数c ，写出X 的分布函数，求：P （X

⎧0

⎪0.2⎪

8. 假设离散型随机变量X 的分布函数为：F (x ) =⎨

⎪0.7⎪⎩1

, x

, -1≤x

。

, 1≤x

求：（1）X 的概率分布；（2）P {1.7

9. 某加油站替公共汽车公司代理出租汽车服务，每出租一辆车，可以得到3元的报酬。因代理业务，加油站每天要多支付给职工服务费60元。假设每天租出的汽车数X 是一个随机变量，它的概率分布如下：

X P

10

20

30

40

0.150.250.450.15

，求

代理业务得到的收入大于的额外支出费用的概率。

10. 设在时间t 内（单位：分钟），通过某交叉路口的其服从参数与t 成正比的泊松分布，已知在一分钟内没有汽车通过的概率0.2，求在2分钟内最多一辆汽车通过的概率。

11. 某人去火车站乘车，有两条路可以走。第一条路路程较短，但是交通比较拥挤，所需要的时间X 1～N （40，102）；第二条路比较长，但是以外阻塞较少，所需时间X 2～N （50，16）；。试计算：

（1）若动身离开火车开的时间只有60分钟，应走哪条路线？ （2）若动身离开火车开的时间只有45分钟，应走哪条路线？

12. 某仪器装有3只独立工作的同型号的电子元件，其寿命X ～E(λ) ，λ=1/600。试求在仪器使用的最初200小时内，（1）至少有一个元件损坏的概率；（2）只有一个元件没坏的概率。

13. 假设随机变量X 服从（0，1）上的均匀分布，求证：随机变量Y =-服从参数为2的指数分布。

14. 假设X ～N （0，1），求：Y=2X2+1的概率密度。

15.100件产品中，90个一等品，10个二等品，，随机取2个安装在某台设备上，若一台设备中有i 个（i=0、1、2）二等品，则此设备的使用寿命服从参数为i+1的指数分布。求：（1）设备寿命超过1的概率；（2）已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率。

16. 从学校到火车站的路上有3个交通岗，假设各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率均为2/5，假设X 为路上遇到的红灯数。求：（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数；（3）最多遇到1个红灯的概率？

17. 某人上班所需要的时间X ~N (30,100)，（单位：分），已知上班时间是8：30，他每天7：50出门，求：（1）他某天上班迟到的概率？（2）一周（5天）最多迟到一次的概率？

ln(1-X )

2

第二单元 参考答案

一、选择题

1. A 2. B 3.A 4.C 5.D 6.B 7.B 8.A 9.B 10.C 11.A 12.C 13.C 14.C

二、填空题

6065191

-2-2

1. 0.7 2. 0.5 3.0 4.0.4 5.77, 77 6.27 7.1-e , 2e 8.1, 2

951

9.4 10. 11.3,,2 12. 13.e -5 14.[1,3

] 15.f Y (y ) =6444三、简单题

1．（1）解：⎰

+∞-∞

f (x ) dx =1⇒⎰cx 4dx =1⇒c =5

1

F (x ) =⎰

x

-∞

⎧0

⎪

f (x ) dx =⎨x 5

⎪1⎩

, ,

x

, 0≤x

11131

P (

223232+∞1c 4

（2）解：⎰f (x ) dx =1⇒⎰ dx =1⇒c =

-∞01+x 2π

x

F (x ) =⎰

-∞

0, x

⎪4⎪

f (x ) dx =⎨arctan x , 0≤x ≤1

⎪π

1, x >1⎪⎩

1141

P (

22π2

2①解：（1）

F (+∞) =1

⎫⎧a =1⎧a =1

⇒⇒ ⎬⎨⎨

F (x ) 在x =0连续⎭⎩a +b =0⎩b =-1

（2）P (-1

⎧e -x

（3）f (x ) =F '(x ) =⎨

⎩0

, x >0, 其它

，X 服从指数为λ=1的指数分布；

1⎧⎧π

a =a +b =1⎪F (+∞) =1⎫⎪11⎪⎪22⇒⇒⇒F (x ) =+arctan x ②解：（1）⎬⎨⎨

1F (-∞) =0⎭⎪π2π

a -b =0⎪b =⎪⎪π⎩2⎩

（2）P (-1

1

2

1

,(-∞

π(1+x 2)

⎧a ⎧1ax b dx =1⎧+∞f (x ) dx =1=1⎪⎰⎰⎪0⎪⎧a =2⎪-∞⎪⎪b +1

3、

解：⎨ b +1⇒⇒⇒⎨⎨⎨11⎩b =1⎪f (x ) dx =f (x ) dx ⎪b dx =b dx ⎪=1

⎪0⎪0⎪⎩⎩2⎩⎧2x ,0

f (x ) =⎨

⎩0, 其他

F （x ) =⎰

x -∞

⎧0

⎪

f (x ) dx =⎨x 2

⎪1⎩

-

, x ≤0 , 0

x 2-4x +46

4、解：（1

）f (x ) = X ~N (2,3) （2）C =μ=2

=-∞

（3

）P (0

0.7498 P (X ≤10) =Φ=1

f (x ) 的最大值在x =μ处取得

，f (2)=

5、解：4x 2+4ξx +ξ+2=0无实根

∆=b 2-4ac =16(ξ-2)(ξ+1)

⎧e -x

所以f (x ) =⎨

⎩0

2-1

, x >0, x ≤0

2

P (-1

21

6、解：1）P (X =k ) =() k -1⋅,(k =12,3, )

331

2）P (Y =k ) =,(k =1, 2,3)

3

y

⎪1/3, 1≤y

3）F Y (y ) =⎨。

⎪2/3, 2≤y

7、解：（1）+++=1⇒c =

2c 4c 8c 16c 16

2022

P (X

3737

8/3712/3710/377/37⎫⎛P

⎪X -1012⎪ （2）

2X -1-3-113⎪ ⎪2

X 1014⎝⎭

-113⎫⎛2X -1-3

⎪

8/3712/3710/377/37⎭⎝P

⎛X 2014⎫

⎪。

⎝P 12/3718/377/37⎭

⎛X

8、解：（1）

⎝P

3⎫⎪

0.20.50.3⎭-1

1

（2）P {1.7

9、解：每天租出的汽车数为X ，则得到的收入为3X ，支付给职工的费用60元。 P (3X >60) =P (X >20) =P (X =30) +P (X =40) =0.45+0.15=0.6。 10、解：通过路口的车辆数X ~P (λ) ，λ=kt ，由一分钟内没有汽车通过的概率0.2得到:P (X =0) =

λ00!

e -λ=0.2⇒λ=ln 5⇒k ⨯1=ln 5⇒k =ln 5

2分钟内通过的车辆数X ~P (λ), λ=2ln 5 2分钟内最多一辆汽车通过的概率

P (X ≤1) =P (X =0) +P (X =1) =

λ00!

e

-λ

+

λ11!

e -λ=

1

(1+2ln 5) 25

11、解：（1）若动身离开火车开的时间只有60分钟

60-40

) =Φ(2)=0.9772（小） P (X 1

) =Φ(2.5)=0.9789（大） P (X 2

选择第2条线路较好。

（2）若动身离开火车开的时间只有45分钟

45-40

P (X 1

1045-50

P (X 2

4

选择第1条线路较好。

12、解：一只元件寿命大于200小时的概率p =⎰600e

200+∞

-x 600

dx =-e

-

x

600+∞

200

=e

-

13

三只元件工作了200小时后没有损坏的元件数Y ～B （3，p ） (1)P (Y ≤2) =1-P (Y =3) =1-(e ) =1-e -1 (2)P (Y =1) =C p (1-p ) =3e (1-e ) 。

⎧1, 0

13、证明：X ~U (0,1),f (x ) =⎨

其它⎩0,

1

3

1

2

-13

-132

-

133

Y =-

ln (1-x )ln(1-X )

⇒y =-⇒x =1-e -2y 22

ln(1-x )

∈(0,+∞) 2

x ∈(0,1)⇒y =-

-2y -2y

⎧⎪f X (1-e ) ⋅(1-e ) '

f Y (y ) =⎨

0⎪⎩

,

⎧2e -2y

=⎨

, y ≤0⎩0y >0

, y >0

, y ≤0

即：Y 服从参数λ=2指数分布。

-x 2

14

、解：f X (x ) =,(-∞

1

F Y (y ) =P （

Y ≤y ) =P (2X +1≤y ) =P (≤X ≤

2

2

=f (x ) dx

f Y (y ) =[F Y (Y )]'=[

f (x ) dx ]'=f X '-f X ('y -1

-4,(y ≥0) =

y -1-4f Y (

y )=0⎩

, ,

y ≥0y

。

15、解：假设A i 表示装在某设备上有i 个2等品（i=0,1,2）

B 表示设备寿命超过1

2112C 90C 90C 10C 1089201

P (A 0) =2=, P (A 1) ==, P (A ) ==222

C 100110C 100110C 100110

89+∞-x 20+∞-2x 1+∞-3x

（1）P (B ) =∑P (A i ) p (B A i ) =e dx +2e dx +3e dx ⎰⎰⎰[1**********]0i =0

2

=

89-120-21-3

e +e +e =0.3227 110110110

89-1

P (A 0) P (B A 0) e

（2）P (A 0B ) ===0.9223。

P (B ) 0.3227

16、解：

X

（1）X ~B (n , p ), n =3, p =2/5

P

0123

2754368 [1**********]5

⎧0⎪27/125⎪⎪

（2）F (x ) =⎨81/125

⎪117/125⎪⎪⎩1

, x

, 0≤x

, 1≤x

x ≥3

81。 125

（3）P (X ≤1) =P (X =0) +P (X =1) =17、解：

X ~N (30,100)

（1）

40-30

P (X >40) =1-P (X ≤40) =1-Φ() ≈1-0.8413=0.1587

10

（1）一周中迟到的天数Y ~B (5,0.1587)

1

P (Y ≤1) =P (Y =0) +P (Y =1) =0.84135+C 5⋅0.1587⋅0.84134≈0.819

第三单元 随机变量的数字特征

一、选择题

1. 已知随机变量X 服从二项分布，且EX =2. 4, DX =1. 44，则二项分布的参数n , p 的值为（ ） （A ）n =4, p =0. 6；

（B ）n =6, p =0. 4；

（C ）n =8, p =0. 3； （D ）n =24, p =0. 1。

2. 已知离散型随机变量X 的可能值为：x 1=-1, x 2=0, x 3=1，且

EX =0. 1, DX =0. 89，则对应于x 1, x 2, x 3的概率p 1, p 2, p 3为（ ）

（A ）p 1=0. 4, p 2=0. 1, p 3=0. 5； （C ）p 1=0. 5, p 2=0. 1, p 3=0. 4；

（B ）p 1=0. 1, p 2=0. 4, p 3=0. 5； （D ）p 1=0. 4, p 2=0. 5, p 3=0. 1

⎛a b ⎫

3. 设随机变量X ~ ，又EX =1. 4, DX =0. 24，则a , b 的值为 0. 6p ⎪⎪（a

⎝⎭

（ ）

（A ）a =1, b =2；（B ）a =-1, b =2；（C ）a =1, b =-2；（D ）a =0, b =1。 4. 对两个仪器进行独立试验，设这两个仪器发生故障的概率分别为p 1, p 2，则发生故障的仪器械数的数学期望为（ ） （A ）p 1p 2；

（B ）p 1+p 2；

（C ）

p 1+(1-p 2)

；（D ）

p 1(1-p 2) +p 2(1-p 1) 。

5. 人的体重X ~N (100, 100) ，记Y 为10个人的平均体重，则（ ） （A ）EY =100, DY =100； （C ）EY =10, DY =100；

（B ）EY =100, DY =10； （D ）EY =10, DY =10。

6. 设X 与Y 为两个随机变量，则下列式子正确的是（ ） （A ）E (X +Y ) =EX +EY ； （C ）E (XY ) =EXEY ；

（B ）D (X +Y ) =DX +DY ； （D ）D (XY ) =DX ⋅DY

7. 现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人得奖的金额的数学期望（ ） （A ）6；

（B ）12；

（C ）7. 8；

（D ）9

8、设X 与Y 为两个独立的随机变量, 其方差分别为6和3, 则

D (2X -Y ) =( )

（A ）9； （B ）15； （C ）21； （D ）27

x

⎪

9、设随机变量X 的分布函数为F (x ) =⎨x 3, 0≤x ≤1，则E (x ) =（ ）

⎪1, x >1⎩

（A ）⎰x 4dx

+∞

（B ）⎰3x 3dx

1

（C ）⎰x 4dx +⎰xdx ； （D ）⎰3x 3dx

1

1+∞+∞

10、若随机变量X 在区间I 上服从均匀分布，EX =3, DX =（ ） （A ）[0, 6]；

（B ）[1, 5]；

（C ）[2, 4]；

4

，则区间I 为3

（D ）[-3, 3]

二、填空题

1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望

E (X +e -2X ) =____________。

2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为σ2的正态分布，且P (2

P (X

3. 已知离散随机变量X 服从参数为2的泊松分布，即

2k -2

P (X =k ) =e , k =1, 2, ，则Z =3X -2的数学期望E (Z ) =___________。

k !

4. 已知连续型随机变量X 的概率密度为f (x ) = EX =_____________,DX =_____________。

1

e -x

2

+2x -1

，则

5. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P (X =1) =P (X =2) ，则

EX =_____________,DX =_____________。

6. 设离散随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数，如果在这些试验中事件发生的概率相同，并且已知EX =0. 9, 则DX =________。 7. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0. 4，则X 2的数学期望EX 2=_____________。

8. 设随机变量X 与Y 相互独立，DX =2, DY =4，则

D (2X -Y ) =______________。

1⎫⎛0

9. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立，且服从相同的两点分布 0. 80. 2⎪⎪，则

⎝⎭

EX =_______________,DX =______________。X =∑X i 服从_________分布，

i =1

3

⎧2x , 0≤x ≤1

10. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为：ϕ(x ) =⎨

0, 其他⎩

三、简单题

1. 某种按新配方试制的中成药在500名病人中进行临床试验, 有一半人服用, 另一半人未服. 一周后, 有280人痊愈, 其中240人服了新药. 试用概率统计方法说明新药的疗效.

2. 已知离散型随机变量X 的可能取值为-1, 0, 1，EX =0. 1, EX 2=0. 9，求X 的分布律。

⎧0, x

⎪0. 4, -2≤x

3. 已知离散型随机变量X 的分布函数F (x ) =⎨0. 6, 0≤x

⎪0. 9, 1≤x

4. 设随机变量X 的密度函数

⎧ax , 0

⎪

f (x ) =⎨bx +c , 2≤x ≤4，已知

⎪0, 其他⎩

EX =2, P (1

3

。求（1）a , b , c ；（2）随机变量Y =e X 的数学期望和方差。 4

5. 一批产品中有一、二、三等品及废品4种，相应的概率分别为0. 8, 0. 15, 0. 04, 0. 01。若其产值分别为20元、18元、15元和0元，求产品的平均产值。 6. 某车间完成生产线改造的天数X 是一随机变量，其分布律

⎛2627282930⎫X ~ 0. 10. 20. 40. 20. 1⎪⎪，所得利润（单位：万元）为Y =5(29-X ) ，求：

⎝⎭EX , EY 。

7. （有奖销售）某商场举办购物有奖活动，每购1000份物品中有一等奖1名，奖金500元，二等奖3名，奖金100元，三等奖16名，奖金50元，四等奖100名，可得价值5元的奖品一份。商场把每份价值为7。5元的物品以10元出售，求每个顾客买一份商品平均付多少钱？

8. 设二维随机变量（X , Y ）的联合分布律如下：

⎛Y \X -1 2⎝

2⎫⎪

（1）EX , EY , DX , DY ；（2）E (X -Y ), D (X -Y ) 0. 050. 150. 25⎪，求：

0. 20. 30. 05⎪⎭-1

第三单元 参考答案

一、选择题

1．B ；2.A ； 3.A； 4.B；5.B ； 6.A；7.C ； 8.D；9.B ；10.B 。

二、填空题

1.

41；2. 0. 2；3. E (3X -2) =4；4. EX =1, DX =；5. EX =2, DX =2；32

6. DX =0. 495；7. 18. 4；8. D (2X -Y ) =12；9. X ~B (n , p ) ，EX =0. 6, DX =0. 48； 10. E (XY ) =4。

三、简单题

1. 设随机变量X 表示服过新药的病人的痊愈情况，Y 表示未服过新药的病人的痊愈情况，比较得：EX >EY ，说明新药疗效显著。

⎛X 2. P

⎝

1⎫⎪ ⎪0. 40. 10. 5⎭-1

3. 先求分布律，再求数学期望EX =-0. 2, E (1-2X ) =1. 4。

1111

4. a =, b =-, c =1, EX =(e 2-1), DX =e 2(e 2-1) 2.

4444

5. 19.3元. 6. 28天，5万元.

7. 7. 9元. 8

EX =0. 35, EY =0. 65, DX =1. 3275, DY =2. 2275

；

E (X -Y ) =-0. 3, D (X -Y ) =5. 31.