小学数学奥数题六年级

一. 工程问题

1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时. 丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？

2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？

5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？

6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙, 丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？

9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？

二．鸡兔同笼问题

1．鸡与兔共100只, 鸡的腿数比兔的腿数少28条, 问鸡与兔各有几只?

三．数字数位问题

1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005, 这个多位数除以9余数是多少? 解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。

解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除

依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除

10~19，20~29„„90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+„„+90=450 它有能被9整除

同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除

也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；

同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少[***********]042005

从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；

[***********]042005的各位数字之和是27，也刚好整除。

最后答案为余数为0。

2．A 和B 是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B 的最小值...

解： (A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B)

前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)/(A+B) 最大。

对于 B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大， 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。

(A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1

(A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100

3．已知A.B.C 都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4, 那么它的准确值是多少?

解：因为A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，

所以8A+4B+C≈102.4，由于A 、B 、C 为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102，也有可能是103。 当是102时，102/16＝6.375

当是103时，103/16＝6.4375 答案为6.375或6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和是17. 其中十位数字比个位数字大1. 如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调, 得到一个新的三位数, 则新的三位数比原三位数大198, 求原数.

解：设原数个位为a ，则十位为a+1，百位为16-2a

根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a ）-10a-a ＝198

解得a ＝6，则a+1＝7 16-2a＝4 答：原数为476。

5．一个两位数, 在它的前面写上3, 所组成的三位数比原两位数的7倍多24, 求原来的两位数.

解：设该两位数为a ，则该三位数为300+a 7a+24＝300+a a＝24 答：该两位数为24。

6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数, 它与原数相加, 和恰好是某自然数的平方, 这个和是多少?

解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a 它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）

因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11 因此这个和就是11×11＝121 答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2, 如果把2移到首位, 原数就是新数的3倍, 求原数.

解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde （字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数）

再设abcde （五位数）为x ，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x

根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2 解得x ＝85714 所以原数就是857142 答：原数为857142

8．有一个四位数, 个位数字与百位数字的和是12, 十位数字与千位数字的和是9, 如果个位数字与百位数字互换, 千位数字与十位数字互换, 新数就比原数增加2376, 求原数.

解：设原四位数为abcd ，则新数为cdab ，且d+b＝12，a+c＝9

根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察

根据d+b＝12，可知d 、b 可能是3、9；4、8；5、7；6、6。

再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d ＝3，b ＝9；或d ＝8，b ＝4时成立。

先取d ＝3，b ＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。

根据a+c＝9，可知a 、c 可能是1、8；2、7；3、6；4、5。

再观察竖式中的十位，便可知只有当c ＝6，a ＝3时成立。 再代入竖式的千位，成立。 得到：abcd ＝3963 再取d ＝8，b ＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。 答案为3963

9．有一个两位数, 如果用它去除以个位数字, 商为9余数为6, 如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和, 则商为5余数为3, 求这个两位数.

解：设这个两位数为ab 10a+b＝9b+6 10a+b＝5（a+b）+3

化简得到一样：5a+4b＝3 由于a 、b 均为一位整数 得到a ＝3或7，b ＝3或8 原数为33或78均可以

10．如果现在是上午的10点21分, 那么在经过28799...99(一共有20个9) 分钟之后的时间将是几点几分? 解： （28799„„9（20个9）+1）/60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20 ， 答案是10：20

四．排列组合问题

1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）

A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中

解： 根据乘法原理，分两步：

第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种 综合两步，就有24×32＝768种。

2 . 若把英语单词hello 的字母写错了, 则可能出现的错误共有 ( )

A 119种 B 36种 C 59种 D 48种

解：5全排列5*4*3*2*1=120 有两个l 所以120/2=60 原来有一种正确的所以60-1=59

五．容斥原理问题

1． 有100种赤贫. 其中含钙的有68种, 含铁的有43种, 那么, 同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是

( )

A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11

解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11 最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题. 已知:(1)某校25名学生参加竞赛, 每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中, 解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中, 有一半没有解出第一题, 那么只解出第二题的学生人数是( )

A ，5 B，6 C，7 D，8

解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。

分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123

由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25„①

由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2„„②

由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1„„③

由（4）知：a1＝a2+a3„„④

再由②得a23＝a2－a3×2„„⑤

再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥

然后将④⑤⑥代入①中，整理得到

a2×4+a3＝26

由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：

当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22

又根据a23＝a2－a3×2„„⑤可知：a2>a3

因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。

然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。

故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？

答案：及格率至少为71％。 假设一共有100人考试

100-95＝5 100-80＝20 100-79＝21 100-74＝26 100-85＝15

5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）

87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）

100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的） 及格率至少为71％

六．抽屉原理、奇偶性问题

1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？

解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。

把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）

答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样？ 解： 每人取1件时有4种不同的取法, 每人取2件时, 有6种不同的取法.

当有11人时, 能保证至少有2人取得完全一样:

当有21人时, 才能保证到少有3人取得完全一样. 答案为21

3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？

解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。

当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是： 6*4+10+1=35(个)

如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是： 6*5+3+1＝34（个）

如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是： 6*5+2+1＝33

如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是： 6*5+1+1＝32

4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同? （如果能请说明具体操作，不能则要说明理由） 答：不可能。 因为总数为1+9+15+31＝56 56/4＝14 14是一个偶数

而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。

七．路程问题

1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？

解：根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x 米，则狗每步长为4x 米。

根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x 米，则狗跑5*4x＝20米。

可以得出马与狗的速度比是21x ：20x ＝21：20

根据“现在狗已跑出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20＝1，现在求马的 21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？

分析：由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。 答案720千米

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差 600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和

（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数

（150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数

600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间 600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间

答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。

4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？

分析：算式是（140+125)÷(22-17)=53秒

可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。 答案为53秒

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？

分析：300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间，5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程

2500÷300＝8圈„„100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方100米处相遇。

6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的), 声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）

算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米/秒

关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。 答案为22米/秒

7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。 解： 由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a 米，则兔子每步5/9米。由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a 米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a ：5/3a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完，答案是至少跑60米才能追上

8． AB两地, 甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB 两地相对行使,40分钟后两人相遇, 相遇后各自继续前行, 这样，乙到达A 地比甲到达B 地要晚多少分钟?

解：设全程为1, 甲的速度为x 乙的速度为y

列式40x+40y=1 x:y=5:4 得x=1/72 y=1/90

走完全程甲需72分钟, 乙需90分钟 故得解答案为18分钟

9．甲乙两车同时从AB 两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B 地的距离是AB 全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB 两地相距多少千米？ 解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB 的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了3个AB 的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。 因此360÷（1+1/5）＝300千米 从A 地到B 地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB 两地同时出发相向而行，相遇时距AB 两地中点2千米。如果二人分别至B 地，A 地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时; 逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？

解：（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率 2÷1/48＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。

解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3，时间比为3：4

所以快车行全程的时间为8/4*3＝6小时 ，6*33＝198千米

12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车; 从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车, 结果慢了半小时. 已知, 骑车每小时12千米, 乘车每小时30千米, 问:甲乙两地相距多少千米?

解： 把路程看成1，得到时间系数，去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30，返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30 两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相当于1/2小时

去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75

路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米）

八．比例问题

1．甲乙两人在河边钓鱼, 甲钓了三条, 乙钓了两条, 正准备吃, 有一个人请求跟他们一起吃, 于是三人将五条鱼平分了, 为了表示感谢, 过路人留下10元, 甲、乙怎么分？

解：“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值6元。

又因“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相当于乙吃之前已经出资2*6＝12元。 而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以甲还可以收回18-10＝8元 乙还可以收回12-10＝2元

刚好就是客人出的钱。

2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？

分析最好画线段图思考：把去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高1/10，就是22份，利润下降了2/5，今年的利润只有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。

所以，今年的成本占售价的22/25。

3．甲乙两车分别从A.B 两地出发, 相向而行, 出发时, 甲. 乙的速度比是5:4,相遇后, 甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样, 当甲到达B 地时, 乙离A 地还有10千米, 那么A.B 两地相距多少千米?

解： 原来甲. 乙的速度比是5:4 ， 现在的甲：5×（1-20％）＝4 ， 现在的乙：4×（1+20％）4.8 甲到B 后，乙离A 还有：5-4.8＝0.2 ， 总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米

4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？

解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的3/4，那么半径也是原来的3/4，则面积是原来的9/16。 根据“体积增加1/3”，可知体积是原来的4/3。 体积÷底面积＝高

现在的高是4/3÷9/16＝64/27，即现在的高是原来的高的64/27或者现在的高：原来的高＝64/27：1＝64：27

5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共45吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨？

第二题：答案为65吨

橘子+苹果＝30吨 香蕉+橘子+梨＝45吨 所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨

橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝2/13

说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份 橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份

过桥问题（1）

1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？

分析：这道题求的是通过时间。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。 答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。

2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？

分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通过时间这两个条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车速可以很方便求出。

答：这列火车每秒行30米。

3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山洞长多少米？

分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总路程和车长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。 答：这个山洞长60米。

和倍问题

1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？

2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它们的速度各是多少？

3. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？

4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？

列方程组解应用题（一）

1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？

奇数与偶数（一）

其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。

凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于零的奇数又叫单数。 因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因为任何奇数除以2其余数都是1，所以通常用式子 来表示奇数（这里 是整数）。

奇数和偶数有许多性质，常用的有：

性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。 例如：8+4=12，8-4=4等。

两个奇数的和或差也是偶数。 例如：9+3=12，9-3=6等。

奇数与偶数的和或差是奇数。 例如：9+4=13，9-4=5等。

单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。

性质2 奇数与奇数的积是奇数。 偶数与整数的积是偶数。

性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。

1. 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？ 同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要想使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。

5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。

所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。

2. 甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？

不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子。

如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。

奥赛专题 -- 称球问题

例1. 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。

解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。

例2. 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。

解 ：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。

第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。

第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。

例3. 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。

解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A 、B 、C 、D 表示。把A 、B 两组分别放在天平的两个盘上去称，则

（1）若A=B，则A 、B 中都是正品，再称B 、C 。如B=C，显然D 中的那个球是次品；如B ＞C ，则次品在C 中且次品比正品轻，再在C 中取出2个球来称，便可得出结论。如B ＜C ，仿照B ＞C 的情况也可得出结论。

（2）若A ＞B ，则C 、D 中都是正品，再称B 、C ，则有B=C，或B ＜C （B ＞C 不可能，为什么？）如B=C，则次品在A 中且次品比正品重，再在A 中取出2个球来称，便可得出结论；如B ＜C ，仿前也可得出结论。

（3）若A ＜B ，类似于A ＞B 的情况，可分析得出结论。

奥赛专题 -- 抽屉原理

【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？

【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。

【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？

【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。

【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？

【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。

按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。

思考：1. 能用抽屉原理2，直接得到结果吗？

2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？

3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？

【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？

【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。

最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。

接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。 故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。

思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？

当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。

奥赛专题 -- 还原问题

【例1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？

【分析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是 1250+100=1350（元） 余下的钱（余下一半钱的2倍）是： 1350×2=2700（元）

用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是： [（1250+100）×2+50]×2=5500（元） 还原问题的一般特点是：已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算前或增减变化前）的数量。解还原问题，通常应当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相应的逆运算。

【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？

【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。

提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。

对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验算。

奥赛专题 -- 鸡兔同笼问题

例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

[分析] ：如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚. 如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚. 那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了. 所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。 解：①鸡有多少只？ （4×6-128）÷（4-2）=（184-128）÷2=56÷2=28（只）

②免有多少只？ 46-28=18（只） 答：鸡有28只，免有18只。

例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

[分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差. 这又如何解答呢？ 假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只. 因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡. 每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只. 那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）. 有鸡（100-20）=80（只）。

解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。 100-20=80（只）。 答：鸡与兔分别有80只和20只。

例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？

[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了. 由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。

结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人. 三班人数要比实际人数多7-5=2（人）. 那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？

解法1： 一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3=44（人） 二班：44+5=49（人） 三班：49-7=42（人） 答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。

[分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要比实际人数多7人. 这时的总人数又该是多少？

解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人） 49-5=44（人），49-7=42（人）

答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。

例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船. 每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？

[分析] 我们分步来考虑：

①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。

②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。 ③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。

解：[6×10-(41+1）÷（6-4） = 18÷2=9（条） 10-9=1（条） 答：有9条小船，1条大船。

例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条

腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？

[分析] 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题. 观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿. 因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数. 我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的. 所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛. 这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数. 再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）. 解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？ 6×18=108（条）

②有蜘蛛多少只？ （118-108）÷（8-6）=5（只）

③蜻蜒、蝉共有多少只？ 18-5=13（只）

④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）

⑤蜻蜒多少只？ （20-13）÷ 2-1）= 7（只） 答：蜻蜒有7只.

牛吃草问题

1． 一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完。问没有卖掉4头牛之前，这一群牛一共有多少头？

17×30=510（头） 19×24=456（头）（510-456）÷（30-24）=9（头）30×17-30×9=240（头）（6+2）×9=72（头）240+72+2×4=320（头）320÷（6+2）=40（头）

2． 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就把水池中的水放光；如果打开8个水龙头，1小时半就把池中的水放光，现打开13个水龙头，问要多少时间才能把水池中的水放光（每个水龙头每小时放走的水量相同）？

3． 甲、乙、丙3个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用皮带输送机一台和12个工人，需要5小时才能把甲仓库搬空；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，需要3小时才能把乙仓库搬空；丙仓库有两台皮带输送机，如果要求2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少工人（皮带输送机的功效相同，每个工人每小时的搬运量相同，皮带输送机与工人同时往处搬运化肥）？

1×5=5（台） 12×5=60（人）28×3=84（人）1×3=3（台）84-60=24（人）24÷（5-3）=12（人）1×5×12=60（人） 60+12×5=120（人）2×2×12=48（人）（120-48）÷2=36（人）

4． 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车的小偷，这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟，追上小偷，现在知道快车的速度是每小时24千米，中车的速度是每小时20千米，问慢车的速度是多少？。

奥赛专题 -- 列车过桥问题

1、一列长300米的火车以每分1080米的速度通过一座大桥。从车头开上桥到车尾离开桥一共需3分。这座大桥长

2、某人步行的速度为每秒2米. 一列火车从后面开来, 超过他用了10秒. 已知火车长90米. 求火车的速度。

3、. 在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次, 问两人各跑一圈需要几分钟？

4、一列长300米的火车，以每分1080米的速度通过一座长为940米的在桥，从车头开上桥到车尾离开桥需要多少分钟？

5、一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟。求这列火车的速度是多少米/秒，全长是多少米？

6、铁路沿线的电杆间隔是40米，某旅客在运行的火车中，从看到第一根电线杆到看到第51根电线杆正好是2分钟，火车每小时行多少千米。

7、一个人站在铁道旁, 听见行近来的火车汽笛声后, 再过57秒钟火车经过他面前. 已知火车汽笛时离他1360米;(轨道是笔直的) 声速是每秒钟340米, 求火车的速度?(得数保留整数)

一列450米长的货车，以每秒12米的速度通过一座570米长的铁桥，需要几秒钟？

8、现有两列火车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车。快车每秒行18米，慢车每秒行10米。如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车，求两列火车的车身长。

9、李明和张忆在300米的环形跑道上练习跑步，李明每秒跑5米，张忆每秒跑3米，两人同时从起跑点出发同向而行，问出发后李明第一次追上张忆时，张忆跑了多少米？

10、速度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时24千米，中速车每小时20千米，那么慢车每小时行多少千米？（选做题）

11、周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A 、B 两点，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时相背而跑，两人相遇后，乙立刻转身与甲同向而跑，当甲跑到A 时，乙恰好跑到B. 如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑了多少米（从出发时算起）？

奥赛专题 -- 平均数问题

1 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分. 政治、数学两科的平均分是91.5分. 语文、英语两科的平均分是84分. 政治、英语两科的平均分是86 分，而且英语比语文多10分. 问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？

2 果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖. 已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元. 问：什锦糖每千克多少元？

3甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤. 甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？

4已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。新华小学订了若干张《中国少年报》，如果三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。新华小学订了多少张《中国年呢？ 商店里三天共卖出1026米布。第二天卖出的是第一天的2倍；第三天卖出的是第二天的3倍。求三天各卖出多少米布？ 分数的四则混和运算：求1/3+1/15 +1/35+ 1/63 +1/99 +1/143

1/3=1×(1/3)=1/2(1-1/3)

1/15 =(1/3)×(1/5)=1/2(1/3-1/5)

1/35=（1/5)×(1/7)=1/2(1/5-1/7)

1/63 =(1/7)×(1/9)=1/2(1/7-1/9)

1/99 =(1/9)×(1/11)=1/2(1/9-1/11)

1/143=(1/11)×(1/13)=1/2(1/11-1/13)

1/3+1/15+1/35+1/63+1/99+1/143=1/2(1-1/3)+1/2(1/3-1/5)+1/2(1/5-1/7)+1/2(1/7-1/9)+1/2(1/9-1/11)+1/2(1/11-1/13) 提公因式1/2得1/2(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11+1/11-1/13)

式子中间部分都抵消，最后只剩下1/2(1-1/13)=6/13 也就是1/3+1/15 +1/35+ 1/63 +1/99 +1/143=6/13. 概念题型

2. 八分之a 、十分之b 、十五分之c 是三个最简分数，已知三个分数的积是二分之一，求这三个分数各是多少？ a/8×b/10×c/15=abc/1200

因为它们的积是1/2 所以abc=600

把600分解质因数600=2×2×5×3×2×5

又因为它们的分母分别是8、10、15 而且是最简分数，它们的分子里依次不能有2、2和5、3和5

因此，只能是5×5=25，3，2×2×2=8、

所以这三个分数分别是：25/8、3/10、8/15

分类讨论题型：

3. 两根同样长的绳子, 第一根剪下五分之三米, 第二根剪下五分之三, 哪根剩下的多?

当绳子大于一米时，第一根剩下的多， 当绳子等于一米时，两根剩下的一样多，

当绳子小于一米时，第二根剩下的多.

公约公倍和同余

1.今天是星期六，再过1000天是星期几？

2.已知两个自然数a 和b （a ＞b ），已知a 和b 除以13的余数分别是5和9，求a+b，a-b ，a ×b ，a2-b2各自除以13的余数。

3.2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。

4.被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是35，余数是2，求被除数。

5.用一个整数去除345和543所得的余数相同，且商相差9，求这个数。

6.有一个整数，用它去除312，231，123得到的三个余数之和是41，求这个数。

第七届华杯赛试题

1．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多

出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？

2．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块多少块．

3．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

4．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

5．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。

6．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的九位数，求所有这些九 位数的最大公约数．

7．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商的和是16，请写出这两个整数。

1．答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3、答：此数为28。方法同例题。

4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90。方法同例题。

6、答：因为1+2+„+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差9的数，如413798256和413798265。

7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．

最大公约数和最小公倍数

1. 甲、乙两地相距465千米，一辆汽车从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段后，每小时加速15千米，共用了7小时到达乙地。每小时60千米的速度行驶了几小时？

2. 笼中装有鸡和兔若干只，共100只脚，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共92只脚。笼中原有兔、鸡各多少只？

3. 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀。蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀，每种小虫各几只？

4. 学雷锋活动中，同学们共做好事240件，大同学每人做好事8件，小同学每人做好事3件，他们平均每人做好事6件。参加这次活动的小同学有多少人？

5. 某班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生多种56棵，男、女生各有多少人？

答案：

1. 解：设每小时60千米的速度行驶了x 小时。 60x+(60+15)(7-x)=465 60x+525-75x=465

525-15x=465 15x=60 x=4 答：每小时60千米的速度行驶了4小时。

2. 解：兔换成鸡，每只就减少了2只脚。 (100-92)/2=4只， 兔子有4只。 (100-4*4)/2=42只

答：兔子有4只，鸡有42只。

3. 解：设蜘蛛18只，蜻蜓y 只，蝉z 只。 三种小虫共18只，得： x+y+z=18„„a 式

有118条腿，得： 8x+6y+6z=118„„b 式 有20对翅膀，得： 2y+z=20„„c 式

将b 式-6*a式，得： 8x+6y+6z-6(x+y+z)=118-6*18 2x=10 x=5 蜘蛛有5只，

则蜻蜓和蝉共有18-5=13只。 再将z 化为(13-y)只。 再代入c 式，得： 2y+13-y=20 y=7

蜻蜓有7只。 蝉有18-5-7=6只。 答：蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只。

4. 解：同学们共做好事240件, 他们平均每人做好事6件, 说明他们共有240/6=40人

设大同学有x 人，小同学有(40-x)人。 8x+3(40-x)=240 8x+120-3x=240 5x+120=240

5x=120 x=24 40-x=16 答：大同学有24人，小同学有16人。

5. 解：设男生x 人，女生(42-x)人。

3x-2(42-x)=56 3x+2x-84=56 5x=140 x=28 42-x=14 答：男生28人，女生14人

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3．答：此数为28。方法同例题。

4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90。方法同例题。

6．答：因为1+2+„+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差9的数，如413798256和413798265。

最大公约数和最小公倍数

一、填空

1、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有 朵花？

2、7月6日，宝珠从避暑山庄打电话向拴柱问好，贾六来看望拴柱，喜子在打扫房间。如果喜子每隔3天打扫一次，宝珠每隔6天打一次电话，贾六每隔5天看望一次，至少经过

天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生。

3、一筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分多4个，则筐里至少有 个梨。

二、解答题

1、 为了搞试验，将一块长为75米，宽为60米的长方形土地分为面积相等的小正方形土地，那么小正方形土地的面积最大是多少平方米？

2、 两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数相差54，求这两个数各是多少？

3、有一种新型的电子钟，每到正点和半点都响一次铃，每过9分钟亮一次灯，如果中午12点时，它既响了铃，

又亮了灯，那么下一次既响铃又亮灯要到什么时间？

回答者： 知道100℃ - 千总 四级 1-14 18:49

周期问题

1. 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13绿花的顺序排列着，最后一朵是什么颜色的花？

根据题意可知，者写按5红，9黄，13绿的顺序轮流排列着，即5+9+13=27（朵) 花为一个周期，不断循环。因为249除以27等于9余6，也就是经过9个周期还余下6朵花，是黄花。

2.1除以7等于0.[1**********]7..... 小数点后的第一百位是多少？

142857，有6个数在循环，就用100除以6等于16余4，是8

一、解答题

1. 有两列火车, 一列长102米, 每秒行20米; 一列长120米, 每秒行17米. 两车同向而行, 从第一列车追及第二列车到两车离开需要几秒?

2. 某人步行的速度为每秒2米. 一列火车从后面开来, 超过他用了10秒. 已知火车长90米. 求火车的速度.

3. 现有两列火车同时同方向齐头行进, 行12秒后快车超过慢车. 快车每秒行18米, 慢车每秒行10米. 如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进, 则9秒后快车超过慢车, 求两列火车的车身长.

4. 一列火车通过440米的桥需要40秒, 以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒. 这列火车的速度和车身长各是多少?

5. 小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长, 他们拿了两块跑表. 小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒; 小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒. 已知两电线杆之间的距离是100米. 你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?

6. 一列火车通过530米的桥需要40秒, 以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒. 求这列火车的速度与车身长各是多少米.

7. 两人沿着铁路线边的小道, 从两地出发, 以相同的速度相对而行. 一列火车开来, 全列车从甲身边开过用了10秒.3分后, 乙遇到火车, 全列火车从乙身边开过只用了9秒. 火车离开乙多少时间后两人相遇?

8. 两列火车, 一列长120米, 每秒行20米; 另一列长160米, 每秒行15米, 两车相向而行, 从车头相遇到车尾离开需要几秒钟?

9. 某人步行的速度为每秒钟2米. 一列火车从后面开来, 越过他用了10秒钟. 已知火车的长为90米, 求列车的速度.

10. 甲、乙二人沿铁路相向而行, 速度相同, 一列火车从甲身边开过用了8秒钟, 离甲后5分钟又遇乙, 从乙身边开过, 只用了7秒钟, 问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇?

二、解答题

11. 快车长182米, 每秒行20米, 慢车长1034米, 每秒行18米. 两车同向并行, 当快车车尾接慢车车尾时, 求快车穿过慢车的时间?

12. 快车长182米, 每秒行20米, 慢车长1034米, 每秒行18米. 两车同向并行, 当两车车头齐时, 快车几秒可越过慢车?

13. 一人以每分钟120米的速度沿铁路边跑步. 一列长288米的火车从对面开来, 从他身边通过用了8秒钟, 求列车

的速度.

14. 一列火车长600米, 它以每秒10米的速度穿过长200米的隧道, 从车头进入隧道到车尾离开隧道共需多少时间? ———————————————答 案——————————————————————

1. 这题是“两列车”的追及问题. 在这里, “追及”就是第一列车的车头追及第二列车的车尾, “离开”就是第一列车的车尾离开第二列车的车头. 设从第一列车追及第二列车到两列车离开需要x 秒, 列方程得:

102+120+17 x =20 x x =74.

2. 设列车的速度是每秒x 米, 列方程得 10 x =90+2×10 x =11.

3. (1) 则快车长:18×12-10×12=96(米)

(2)车尾相齐, 同时同方向行进, 快车

则慢车长:18×9-10×9=72(米)

4. (1)火车的速度是:(440-310)÷(40-30)=13(米/秒)

(2)车身长是:13×30-310=80(米)

5. (1)火车的时速是:100÷(20-15)×60×60=72000(米/小时)

(2)车身长是:20×15=300(米)

6. 设火车车身长x 米, 车身长y 米. 根据题意, 得 ①② 解得

7. 设火车车身长x 米, 甲、乙两人每秒各走y 米, 火车每秒行z 米. 根据题意, 列方程组, 得

①② ①-②, 得: 火车离开乙后两人相遇时间为: (秒) (分).

8. 解:从车头相遇到车尾离开, 两车所行距离之和恰为两列车长之和, 故用相遇问题得所求时间为:(120+60)?(15+20)=8(秒).

9. 这样想:列车越过人时, 它们的路程差就是列车长. 将路程差(90米) 除以越过所用时间(10秒) 就得到列车与人的速度差. 这速度差加上人的步行速度就是列车的速度.

90÷10+2=9+2=11(米) 答:列车的速度是每秒种11米.

10. 要求过几分钟甲、乙二人相遇, 就必须求出甲、乙二人这时的距离与他们速度的关系, 而与此相关联的是火车的运动, 只有通过火车的运动才能求出甲、乙二人的距离. 火车的运行时间是已知的, 因此必须求出其速度, 至少应求出它和甲、乙二人的速度的比例关系. 由于本问题较难, 故分步详解如下:

①求出火车速度 与甲、乙二人速度 的关系, 设火车车长为l, 则: (i)火车开过甲身边用8秒钟, 这个过程为追及问题: 故 ; (1) (i i)火车开过乙身边用7秒钟, 这个过程为相遇问题: 故 . (2) 由(1)、(2)可得: , 所以, . ②火车头遇到甲处与火车遇到乙处之间的距离是:

. ③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离.

火车头遇甲后, 又经过(8+5×60) 秒后, 火车头才遇乙, 所以, 火车头遇到乙时, 甲、乙二人之间的距离为: ④求甲、乙二人过几分钟相遇? (秒) (分钟) 答:再过 分钟甲乙二人相遇.

二、解答题

11. 1034÷(20-18)=91(秒) 12. 182÷(20-18)=91(秒) 13. 288÷8-120÷60=36-2=34(米/秒) 答:列车的速

度是每秒34米. 14. (600+200)÷10=80(秒) 答:从车头进入隧道到车尾离开隧道共需80秒.

第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用

1.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，使等式成立？

9□8□7□6□5□4□3□2□1=28

2.在a 、b 、c 三个数中，有一个是2003，一个是2004，一个是2005。问（a －1）（b －2）（c －3）是奇数还是偶数。

3.用代表整数的字母a 、b 、c 、d 写成等式组：

a ×b ×c ×d-a=1983 a×b ×c ×d-b=1993

a ×b ×c ×d-c=2003 a×b ×c ×d-d=2013

试说明：符合条件的整数a 、b 、c 、d 是否存在。

4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7. 从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字. 问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？

5.任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数. 试证新数与原数之和不能等于999。