2011年本区重点校初一下数学期中考试压轴题
2011年本区重点校初一下数学期中考试压轴题 30. 探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的∆ABC 中，
AB 、BC 是两腰， 所以∠BAC =∠BCA . 利用这条性质，解决下面的问题： 已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O 它们所夹的锐角为α. 如下图：
. . . . . .
正五边形 正六边形 正八边形 . . . . . .
α= α= α=；
当正多边形的边数是n 时，则α= .
360︒
30．解： 72° ； 60° ； 45°；α=. （每空各1分，共4分）
n
31. 如图，长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，A 、C 两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B 在第一象限内.
(1)如图1，写出点B 的坐标（ ）；
（2）如图2，若过点C 的直线CD 交AB 于点D, 且把长方形OABC 的周长分为．．
3:1两部分, 则点D 的坐标（ ）；
（3）如图3，将（2）中的线段CD 向下平移, 得到C ＇D ＇, 使C ＇D ＇平分长方形
OABC 的面积，则此时点D ＇的坐标是（ ）.
31．解：B （3，5）；D （3，4）；D /（3，2）. （每空各1分，共3分）
32. 如图①，△ABC 为等边三角形，面积为S ．D 1，E 1，F 1分别是△ABC 三边上的点，且AD 1=BE 1=CF 1=
1
AB ，连结D 1E 1，E 1F 1，F 1D 1，可得△D 1E 1F 1． 2
（1）用S 表示△AD 1F 1的面积S 1，△D 1E 1F 1的面积S 1' ；（1分） （2）当D 2，E 2，F 2分别是等边△ABC 三边上的点，且AD 2=BE 2=CF 2=
1
AB 时，如3
图②，则△AD 2F 2的面积S 2=___________,△D 2E 2F 2的面积S 2'=____________（2分） （3）按照上述思路探索下去，当D n ，E n ，F n 分别是等边△ABC 三边上的点，且
AD n =BE n =CF n =
1
AB 时（n 为正整数），△AD n F n 的面积S n ， n +1
（2分） △D n E n F n 的面积S n '
D D B
E 1图①
F 1
C
B
2
E 2
图②
C
11
32．如图，△ABC 中，点D 在AB 上，AD =AB ．点E 在BC 上，BE =BC ．点F 在AC
34
1
CA ．已知阴影部分（即△DEF ）的面积是25cm 2．则△ABC 的面积为_______ 5
2
cm ．(写出简要推理) 上，CF = 解：S -
B
E
C
13141225
S = 25 ∴S = 60 ⨯S - ⨯S - ⨯S = 25 ∴
54354360
30．如图1，等腰直角三角形纸片ABC 中，AB =AC =12，∠BAC =90°，D 是AB
边上一点，作DE ∥BC 交AC 于点E ，作DF ⊥BC 于F ，作EG ⊥BC 于G ． 沿DE 折叠纸片，点A 落在点A '处，如图2； 沿DF 折叠纸片，点B 落在点B '处，如图3； 沿EG 折叠纸片，点C 落在点C ′处，如图4．
图1
图2
A
图3
A
C
B C
B C
图4
备用图
备用图
若点A ′、B ′、C ′在矩形，则存在△．．DFGE ．．．．内或在其边上，且互不重合．．．．．．．．．．．．
A 'B 'C '．
按上述操作方法，折一折、画一画（可以利用备用图），然后解答下面问题： （1）△A 'B 'C '的形状是 ；
A 'B '的长为y ，（2）设AD 的长为x ，请用含x 的代数式表示y ： ，
其中x 的取值范围是 ；
（3）探究△A 'B 'C '的面积有最小值还是最大值？这个值是多少？ _________________________________________________
(4) 若（3）中△A 'B 'C '的面积有最值，请写出满足要求的点
A ' _______________为坐标三角）形
以三CBA 角形的面积。坐（标系
面说：明【（CBA ）。
图5
称为坐标）三，角形
任意取定一个三角形积坐在标平系，面也上叫重心坐标。系
这个平面上任意一M 点
面上建立了一个面积坐如标（系
所用谓它任的一M 面点积坐标来表。示
面积坐标是指有序数组
∆M B C ，
(S 1, S 2, 其)S 3
中
∆MCA ，
S 1，S 3S ，2分别是
∆MAB
图5
针方向排列的三角顶形点的按 逆时针方向排列的三角形的面积为，正
中面积图5。为负
∆的MAB 面积
的有向（面积
∆的MCA 面积
∆的MBC 面积
S 1正，是S ，2正是
S 3
是）负
显然则平有面上，任积一是S 如点的果都面坐有确标定三CBA 的角面形积坐标系与之对。应
S =S 1+S 2+S 3。】
30．（4分）如图，△ADE 和△ABC 中，∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，又有∠BAD=∠BCF ．
(1)求∠ECF+∠DAC+∠ECA 的度数；
(2) 判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明．
B
E
F
D
A
C
解：（1）∵∠ECF=∠ECB+∠BCF ，∠BAD=∠BCF ∴∠ECF+∠DAC+∠ECA=∠ECB+∠BCF+∠DAC+∠ECA=（∠BAD+∠DAC ）+（∠ECB+∠ECA ）=∠BAC+∠BCA
又∵∠BAC=∠BCA
∴∠ECF+∠DAC+∠ECA=45°=45°+45°=90° （2）ED ∥BC ，证明如下：
由△AEC ，得：∠AEC+∠EAC+∠ECA=180°，
∵∠EAD=∠AED =45°，∠AEC=∠AED+∠DEC ，∠EAC=∠EAD+∠DAC ， ∴∠DEC+∠DAC+∠ECA=180°-90°=90°，
又由（1）知∠ECF+∠DAC+∠ECA=45°=45°+45°=90°， ∴∠DEC=∠ECF ， ∴ED ∥BC.
1．三个同学对问题“若方程组⎨
⎧a 1x +b 1y =c 1⎧3a 1x +2b 1y =5c 1⎧x =3
的解是⎨，求方程组⎨
⎩a 2x +b 2y =c 2⎩3a 2x +2b 2y =5c 2⎩y =4
的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： ． 1．⎨
⎧x =5
⎩y =10
⎧a 1x +b 1y =c 1⎧3a 1+4b 1=c 1⎧x =3
分析：由方程组⎨的解是⎨，得⎨，
a x +b y =c 3a +4b =c y =4⎩222⎩222⎩
上式可写成⎨
⎧3a 1⨯5+2b 1⨯10=5c 1⎧3a 1x +2b 1y =5c 1
，与⎨比较，即可得结果。
⎩3a 2⨯5+2b 2⨯10=5c 2⎩3a 2x +2b 2y =5c 2
2．一个凸十一边形，它由若干个边长为1的正三角形和正方形镶嵌而成，求这个十一边形
各内角的度数．
2、各内角的度数分别是：120°（1个），150°（10个）
分析：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°. 凸十一边形有11个内角，由60°和90°可能组成的角有60°、90°、120°和150°，又150°×10+120°=（11-2）×180°。 (1) 若11个角都是150°，150°×11>（11-2）×180°;
(2) 若其中有少于10个角的度数为150°，则此时正十一边形的内角
和小于150°×10+120°；
(3) 若有10个角的度数为150°，但另一个角的度数不是120°，则
它肯定是60°或90°，此时正十一边形的内角和小于150°×10+120°。 综上所述，正十一边形有1个角的度数是120°，10个角的度数是150°.
29、（本题4分）如图△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF 的角平分线交于
点P, AP交BC 于D. 过B 作BG ⊥AP 于G
(1) 若∠GBP=45º，求证：AC ⊥BC ；
(2) 在图上作出△PDC 在PC 边的高DH, 并探究∠APB 和∠HDC 的数量关系，并说明理由；
29。（1）略；（2）相等。（2+1+1）