动态规划矩阵连乘算法

问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积

需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。

问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有

许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

（1）单个矩阵是完全加括号的；

（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)

例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：

(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，

(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。

看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为

10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数

((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次

所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。 算法思路：

例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：

A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4：5*10; A5：10*20; A6：20*25

递推关系：

设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。

当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n

当i

综上，有递推关系如下：

构造最优解：

若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。

1、穷举法

列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。

对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：

以上递推关系说明，P(n)是随n的增长呈指数增长的。因此，穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。

2、重叠递归

从以上递推关系和构造最优解思路出发，即可写出有子问题重叠性的递归代码实现：

//3d1-1 重叠子问题的递归最优解

//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25

//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}

#include "stdafx.h"

#include

using namespace std;

constint L = 7;

intRecurMatrixChain(inti,intj,int **s,int *p);//递归求最优解

void Traceback(inti,intj,int **s);//构造最优解

int main()

{

int **s = new int *[L];

for(inti=0;i

} int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};

}

intRecurMatrixChain(inti,intj,int **s,int *p)

{

}

void Traceback(inti,intj,int **s)

{

}

cout

1. 用算法RecurMatrixChain(1,4,s,p)计算a[1:4]的计算递归树如下图所示：

2. 3.

4. 从上图可以看出很多子问题被重复运算。可以证明，该算

法的计算时间T(n)有指数下界。设算法中判断语句和赋值语句

为常数时间，则由算法的递归部分可得关于T(n)的递归不等式：

5.

6. 用数学归纳法可以证明，因此，算法

RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。

7.

8. 3、备忘录递归算法 备忘录方法用表格保存已解决的子问题答案，在下次需要

解决此子问题时，只要简单查看该子问题的解答，而不必重新

计算。备忘录方法为每一个子问题建立一个记录项，初始化时，

该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解的过程中，对每个带求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该问题是第一次遇到，此时计算出该子问题的解，并将其保存在相应的记录项中，以备以后查看。若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题已被计算过，相应的记录项中存储的是该子问题的解答。此时从记录项中取出该子问题的解答即可，而不必重新计算。

//3d1-2 矩阵连乘 备忘录递归实现

//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25

//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}

#include "stdafx.h"

#include

using namespace std;

constint L = 7;

intLookupChain(inti,intj,int **m,int **s,int *p);

intMemoizedMatrixChain(intn,int **m,int **s,int *p);

void Traceback(inti,intj,int **s);//构造最优解

int main()

{

int **s = new int *[L];

int **m = new int *[L]; for(inti=0;i

{

s[i] = new int[L]; m[i] = new int[L];

}

}

intMemoizedMatrixChain(intn,int **m,int **s,int *p)

{

for(inti=1; i

}

} { } m[i][j]=0; return LookupChain(1,n,m,s,p);

intLookupChain(inti,intj,int **m,int **s,int *p)

{

int u = LookupChain(i,i,m,s,p) + LookupChain(i+1,j,m,s,p)+p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j]=i; for(int k=i+1; k0) { } if(i==j) { } return 0; return m[i][j];

}

} m[i][j] = u; return u; int t = LookupChain(i,k,m,s,p) + LookupChain(k+1,j,m,s,p) + p[i-1]*p[k]*p[j]; if(t

void Traceback(inti,intj,int **s)

{

} if(i==j) return; Traceback(i,s[i][j],s); Traceback(s[i][j]+1,j,s); cout

算法通过数组m记录子问题的最优值，m初始化为0，表明相应的子问题还没有被计算。在调用LookupChain时，若m[i][j]>0，则表示其中存

储的是所要求子问题的计算结果，直接返回即可。否则与直接递归算法一样递归计算，并将计算结果存入m[i][j]中返回。备忘录算法耗时O(n^3)，将直接递归算法的计算时间从2^n降至O(n^3)。

3、动态规划迭代实现

用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。

//3d1-2 矩阵连乘 动态规划迭代实现

//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25

//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}

#include "stdafx.h"

#include

using namespace std;

constint L = 7;

intMatrixChain(intn,int **m,int **s,int *p);

void Traceback(inti,intj,int **s);//构造最优解

int main()

{

int **s = new int *[L];

int **m = new int *[L]; for(inti=0;i

{

s[i] = new int[L]; m[i] = new int[L];

}

}

intMatrixChain(intn,int **m,int **s,int *p)

{

for(inti=1; i

} for(int r=2; r

}

} } return m[1][L-1];

void Traceback(inti,intj,int **s)

{

} if(i==j) return; Traceback(i,s[i][j],s); Traceback(s[i][j]+1,j,s); cout

上述迭代算法的运行过程如下图所示：

如图所示：

当R=2时，先迭代计算出：

m[1:2]=m[1:1]+m[2:2}+p[0]*p[1]*p[2]；

m[2:3]=m[2:2]+m[3:3]+p[1]*p[2]*p[3];

m[3:4]=m[3:3]+m[4][4]+p[2]*p[3]*p[4];

m[4:5]=m[4:4]+m[5][5]+p[3]*p[4]*p[5];

m[5:6]=m[5][5]+m[6][6]+p[4]*p[5]*p[6]的值；

当R=3时，迭代计算出：

m[1:3]=min(m[1:1]+m[2:3]+p[0]*p[1]*p[3],m[1:2]+m[3:3]+p[0]*p[2]*p[3]);

m[2:4]=min(m[2:2]+m[3:4]+p[1]*p[2]*p[4],m[2:3]+m[4:4]+p[1]*p[3]*p[4]);

......

m[4:6]=min(m[4:4]+m[5:6]+p[3]*p[4]*p[6],m[4:5]+m[6:6]+p[3]*p[5]*p[6]);

......

依次类推，根据之前计算的m值，迭代计算最优解。与备忘录方法相比，此方法会将每个子问题计算一遍，而备忘录方法则更灵活，当子问题中的部分子问题不必求解释，用备忘录方法较有利，因为从控制结构可以看出，该方法只解那些确实需要求解的子问题