八上数学第一次月考卷(三)

八上数学第一次月考卷（三）

考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：_______

一、选择题（每题3分，共30分）

1．有四条线段，它们的长分别为1cm ，2cm ，3cm ，4cm ，从中选三条构成三角形，其中正确的选法有( )

A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种

2．能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是( )

A ．三角形的中线 B ．三角形的高线 C ．三角形的角平分线 D ．以上都不对

3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )

A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定

4．在下列各图形中，分别画出了△ABC 中BC 边上的高AD ，其中正确的是( )

A ． B ． C ． D ．

5．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定矩形门框ABCD ，使其不变形，这种做法的根据是( )

A ．两点之间线段最短

B ．矩形的对称性

C ．矩形的四个角都是直角

D ．三角形的稳定性

6．已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 、∠C 的平分线的夹角是( )

A ．130° B ．60° C ．130°或50° D ．60°或120°

7．一个多边形的各内角都是144度，那么它是( ) 边形．

A ．10 B ．9 C ．8 D ．7

8．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )

A ．带①去

B ．带②去

C ．带③去

D ．带①和②去

9．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不正确的结论是( )

A ．∠A 与∠D 互为余角

B ．∠A=∠2

C ．△ABC ≌△CED

D ．∠1=∠2

10．如图，将两根钢条AA ′、BB ′的中点 O 连在一起，使AA ′、BB ′能绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A ′B ′的长等于内槽宽A B ，那么判定△OAB ≌△OA ′B ′的理由是( )

A ．SAS

B ．ASA

C ．SSS

D ．AAS

二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）

11．已知三角形三边分别为1，x ，5，则整数．

12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB 为__________．

第12题 第14题 第15题 第16题 第17题

13．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则∠，∠，∠

14．如图，△ABC ≌△ADE ，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠

15．如图，∠1=∠2，要使△ABE ≌△ACE ，还需添加一个条件是．

16．已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且AB ：AC=3：2，则△ABD 与△ACD 的面积之比为．

17．如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD 平分∠ABC ，则∠BDC 的度数是

18．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠

三、解答题（共66分）

19．（8分）计算： 第18题

（1）一个等腰三角形的一边长为8cm ，周长为20cm ，求其它两边的长．

（2）已知等腰三角形的一边长等于6cm ，一边长等于7cm ，求它的周长．

（3）已知等腰三角形的一边长等于5cm ，一边长等于12cm ，求它的周长．

20．（8分）如图，有A 、B 、C 、D 四个小岛，A 、B 、C 在同一条直线上，而且B 、C 在A 的正东方，D 岛在C 岛的正北方，A 岛在D 岛的南偏西52°方向，B 岛在D 岛的南偏东40°方向．那么∠DAC 和∠DBC 分别是多少？

21．（6分）如图，在三角形ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，且FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠AFD=140°，你能求出∠EDF 的度数吗？

22．（8分）如图，武汉有三个车站A 、B 、C 成三角形，一辆公共汽车从B 站前往到C 站．

（1）当汽车运动到点D 点时，刚好BD=CD，连接线段AD ，AD 这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC 中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？

（2）汽车继续向前运动，当运动到点E 时，发现∠BAE=∠CAE ，那么AE 这条线段是什么线段呢？在△ABC 中，这样的线段又有几条呢？

（3）汽车继续向前运动，当运动到点F 时，发现∠AFB=∠AFC=90°，则AF 是什么线段？这样的线段在△ABC 中有几条？

23．（8分）如图，要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上，这时测得的DE 的长就是AB 的长，为什么？

24．（8分）已知：如图，AB=CD，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE=BF．

求证：（1）AF=CE；（2）AB ∥CD ．

25．（8分）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：

①分别在BA 和CA 上取BE=CG；

②在BC 上取BD=CF；

③量出DE 的长a 米，FG 的长b 米．

如果a=b，则说明∠B 和∠C 是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？

26．（12分）（阅读理解题）如图所示，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD ，CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．

（1）图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）；

（2）小明说：欲证BE=CD，可先证明△AOE ≌△AOD 得到AE=AD，再证明△ADB ≌△AEC 得到AB=AC，然后利用等式的性质得到BE=CD，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程，如果不正确，请说明理由；

（3）要得到BE=CD，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．

2015-2016学年辽宁省营口市大石桥市水源二中八年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（每题3分，共30分）

1．有四条线段，它们的长分别为1cm ，2cm ，3cm ，4cm ，从中选三条构成三角形，其中正确的选法有( )

A ．1种

B ．2种

C ．3种

D ．4种

考点：三角形三边关系．

分析：两条较小的边的和大于最大的边即可

解答： 解：能构成三角形的只有2、3、4这一种情况．故选A ．

点评：考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

2．能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是( )

A ．三角形的中线

B ．三角形的高线

C ．三角形的角平分线

D ．以上都不对

考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．

分析：观察各选项可知，只有三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，再根据三角形的面积公式，这两个三角形的面积相等．

解答： 解：∵三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高，

∴分成的两三角形的面积相等．

故选：A ．

点评：本题考查了等底等高的两个三角形的面积相等的性质，根据此性质，可以解决很多利用三角形的面积进行计算的题目，需熟练掌握并灵活运用．

3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．不能确定

考点：三角形的角平分线、中线和高．

分析：根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案．

解答： 解：A 、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；

B 、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；

C 、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；

D 、能确定C 正确，故错误．

故选：C ．

点评：此题主要考查了三角形的高，用到的知识点是钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．

4．在下列各图形中，分别画出了△ABC 中BC 边上的高AD ，其中正确的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

考点：三角形的角平分线、中线和高．

分析：三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．

解答： 解：过点A 作直线BC 的垂线段，即画BC 边上的高AD ，所以画法正确的是B ．

故选B ．

点评：本题考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．

5．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定矩形门框ABCD ，使其不变形，这种做法的根据是(

)

A ．两点之间线段最短

B ．矩形的对称性

C ．矩形的四个角都是直角

D ．三角形的稳定性

考点：三角形的稳定性．

分析：用木条EF 固定矩形门框ABCD ，即是组成△AEF ，故可用三角形的稳定性解释．

解答： 解：加上EF 后，原不稳定的四边形ABCD 中具有了稳定的△EAF ，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选D ．

点评：本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．

6．已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 、∠C 的平分线的夹角是( )

A ．130°

B ．60°

C ．130°或50°

D ．60°或120°

考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．

分析：作出图形，设两角平分线相交于点O ，根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB 的度数，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB 的度数，然后在△BOC 中利用三角形的内角和定理求解即可得到∠BOC 的度数，再分夹角为钝角与锐角两种情况解答．

解答： 解：如图，∵∠A=80°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣80°=100°，

∵BD 、CE 分别为∠ABC 、∠ACB 的平分线，

∴∠OBC=∠ABC ，∠OCB=∠ACB ，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB ）=×100°=50°，

在△BOC 中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB ）=180°﹣50°=130°，

又∵180°﹣130°=50°，

∴角平分线的夹角是130°或50°．

故选C ．

点评：本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理，整体思想的利用比较关键，要注意夹角有钝角与锐角两种情况．

7．一个多边形的各内角都是144度，那么它是( ) 边形．

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

考点：多边形内角与外角．

分析：根据多边形内角和公式（n ﹣2）•180°计算即可．

解答： 解：设它是n 边形，由题意得，

（n ﹣2）×180°=144n，

解得n=10．

故选：A ．

点评：本题考查的是多边形内角的计算，掌握多边形内角和是（n ﹣2）•180°是解题的关键．

8．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(

)

A ．带①去

B ．带②去

C ．带③去

D ．带①和②去

考点：全等三角形的应用．

专题：应用题．

分析：此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．

解答： 解：A 、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A 选项错误；

B 、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B 选项错误；

C 、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA 判定，故C 选项正确；

D 、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D 选项错误． 故选：C ．

点评：主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．

9．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不正确的结论是(

)

A ．∠A 与∠D 互为余角

B ．∠A=∠2

C ．△ABC ≌△CED

D ．∠1=∠2

考点：全等三角形的判定与性质．

分析：先根据角角边证明△ABC 与△CED 全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．

解答： 解：∵AC ⊥CD ，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠B=90°，

∴∠1+∠A=90°，

∴∠A=∠2，

在△ABC 和△CED 中，

，

∴△ABC ≌△CED （AAS ），

故B 、C 选项正确；

∵∠2+∠D=90°，

∴∠A+∠D=90°，

故A 选项正确；

∵AC ⊥CD ，

∴∠ACD=90°，

∠1+∠2=90°，

故D 选项错误．

故选D ．

点评：本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．

10．如图，将两根钢条AA ′、BB ′的中点 O 连在一起，使AA ′、BB ′能绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A ′B ′的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△OA ′B ′的理由是( )

A ．SAS

B ．ASA

C ．SSS

D ．AAS

考点：全等三角形的应用．

分析：由O 是AA ′、BB ′的中点，可得AO=A′O ，BO=B′O ，再有∠AOA ′=∠BOB ′，可以根据全等三角形的判定方法SAS ，判定△OAB ≌△OA ′B ′．

解答： 解：∵O 是AA ′、BB ′的中点，

∴AO=A′O ，BO=B′O ，

在△OAB 和△OA ′B ′中，

∴△OAB ≌△OA ′B ′（SAS ），

故选：A ．

点评：此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，HL ，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．

二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）

11．已知三角形三边分别为1，x ，5，则整数．

考点：三角形三边关系．

分析：根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边可确定x 的取值范围，再找出符合条件的整数即可．

解答： 解：根据三角形的三边关系定理可得：5﹣1＜x ＜5+1，

解得：4＜x ＜6，

∵x 为整数，

∴x=5，

故答案为：5．

点评：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB 为10°．

考点：轴对称的性质；三角形的外角性质．

分析：根据轴对称的性质可知∠CA ′D=∠A=50°，然后根据外角定理可得出∠A ′DB ．

解答： 解：由题意得：∠CA ′D=∠A=50°，∠B=40°，

由外角定理可得：∠CA ′D=∠B+∠A ′DB ，

∴可得：∠A ′DB=10°．

故答案为：10°．

点评：本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意外角定理的运用是解决本题的关键．

13．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则∠

考点：三角形内角和定理．

分析：设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，根据∠A+∠B+∠C=180°得出方程x+2x+3x=180，求出x 即可． 解答： 解：∵∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，

∴设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴x+2x+3x=180，

x=30，

∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，

故答案为：30°，60°，90°．

点评：本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°，用了方程思想．

14．如图，△ABC ≌△ADE ，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠

考点：全等三角形的性质．

分析：先运用三角形内角和定理求出∠C ，再运用全等三角形的对应角相等来求∠AED ．

解答： 解：∵在△ABC 中，∠C=180﹣∠B ﹣∠BAC=50°，

又∵△ABC ≌△ADE ，

∴∠AED=∠C=50°，

∴∠AED=50度．

故填50

点评：本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要识记的内容．

15．如图，∠1=∠2，要使△ABE ≌△ACE ．

考点：全等三角形的判定．

专题：开放型．

分析：根据题意，易得∠AEB=∠AEC ，又AE 公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件． 解答： 解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC ，

又 AE 公共，

∴当∠B=∠C 时，△ABE ≌△ACE （AAS ）；

或BE=CE时，△ABE ≌△ACE （SAS ）；

或∠BAE=∠CAE 时，△ABE ≌△ACE （ASA ）．

点评：此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．

注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

16．已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且AB ：AC=3：2，则△ABD 与△ACD 的面积之比为

考点：角平分线的性质．

专题：压轴题．

分析：本题需先利用角平分线的性质可知点D 到AB 、AC 的距离相等，即两三角形的高相等，观察△ABD 与△ACD ，面积比即为已知AB 、AC 的比，答案可得．

解答： 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，

∴点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，

又∵AB ：AC=3：2，

则△ABD 与△ACD 的面积之比为 3：2．

故答案为：3：2．

点评：本题考查了角平分线的性质；此题的关键是根据角平分线的性质，求得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即△ABD 边AB 上的高与△ACD 边AC 上的高相等．

17．如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD 平分∠ABC ，则∠BDC 的度数是．

考点：三角形内角和定理．

分析：根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC =35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC 的度数．

解答： 解：∵在△ABC 中，∠A=50°，∠ABC=70°，

∴∠C=60°，

∵BD 平分∠ABC ，

∴∠DBC=35°，

∴∠BDC=180°﹣60°﹣35°=85°．

故答案为：85°．

点评：本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC=35°．

18．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠

考点：三角形的外角性质．

分析：根据三角形外角的性质知∠1+∠2=∠BOD ，∠3+∠4=∠FOD ，∠5+∠6=BOF，则易求

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．

解答： 解：如图，∵∠1+∠2=∠BOD ，∠3+∠4=∠FOD ，∠5+∠6=BOF，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠BOD+∠FOD+∠BOF=360°，

故答案是：360°．

点评：本题考查了三角形的外角性质．解答的关键是沟通外角和内角的关系．

三、解答题（共66分）

19．计算：

（1）一个等腰三角形的一边长为8cm ，周长为20cm ，求其它两边的长．

（2）已知等腰三角形的一边长等于6cm ，一边长等于7cm ，求它的周长．

（3）已知等腰三角形的一边长等于5cm ，一边长等于12cm ，求它的周长．

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．

分析：（1）已知条件中，本题没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形；

（2）分6是等腰三角形的腰长与底边两种情况讨论求解；

（3）题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和12cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

解答： 解：（1）①底边长为8，则腰长为：÷2=6，所以另两边的长为6cm ，6cm ，能构成三角形；

②腰长为8，则底边长为：20﹣8×2=4，底边长为8cm ，另一个腰长为4cm ，能构成三角形．

因此另两边长为8cm 、4cm 或6cm 、6cm ；

（2）①6是腰长时，周长=6+6+7=19；

②6是底边时，7是腰，周长=6+7+7=20；

综上，它的周长为19或20；

（3）分两种情况：

当腰为5cm 时，5+5＜12，所以不能构成三角形；

当腰为12cm 时，12+12＞5，12﹣12＜5，所以能构成三角形，周长是：12+12+5=29cm．

点评：考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

20．如图，有A 、B 、C 、D 四个小岛，A 、B 、C 在同一条直线上，而且B 、C 在A 的正东方，D 岛在C 岛的正北方，A 岛在D 岛的南偏西52°方向，B 岛在D 岛的南偏东40°方向．那么∠DAC 和∠DBC 分别是多少？

考点：方向角．

分析：由D 岛在C 岛的正北方，可知DC ⊥AB ，利用三角形的内角和求得答案即可．

解答： 解：∵D 岛在C 岛的正北方，A 岛在D 岛的南偏西52°方向，B 岛在D 岛的南偏东40°方向，

∴∠ADC=52°，∠BCD=40°，

∴∠DAC=90°﹣∠ADC=38°，∠DBC=90°﹣∠BCD=50°．

点评：此题考查方向角的定义，三角形的内角和定理，理清方位角的意义是解决问题的关键．

21．如图，在三角形ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，且FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠AFD=140°，你能求出∠EDF 的度数吗？

考点：等腰三角形的性质．

分析：由于DF ⊥BC ，DE ⊥AB ，所以∠FDC=∠FDB=∠DEB=90°，又因为△ABC 中，∠B=∠C ，所以∠EDB=∠DFC ，因为∠AFD=140°，所以∠EDB=∠DFC=40°，所以∠EDF=90°﹣∠EDB=50°．

解答： 解：∵DF ⊥BC ，DE ⊥AB ，

∴∠FDC=∠FDB=∠DEB=90°，

又∵∠B=∠C ，

∴∠EDB=∠DFC ，

∵∠AFD=140°，

∴∠EDB=∠DFC=40°，

∴∠EDF=90°﹣∠EDB=50°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质；利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键．

22．如图，武汉有三个车站A 、B 、C 成三角形，一辆公共汽车从B 站前往到C 站．

（1）当汽车运动到点D 点时，刚好BD=CD，连接线段AD ，AD 这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC 中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？

（2）汽车继续向前运动，当运动到点E 时，发现∠BAE=∠CAE ，那么AE 这条线段是什么线段呢？在△ABC 中，这样的线段又有几条呢？

（3）汽车继续向前运动，当运动到点F 时，发现∠AFB=∠AFC=90°，则AF 是什么线段？这样的线段在△ABC 中有几条？

考点：三角形的角平分线、中线和高．

分析：（1）由于BD=CD，则点D 是BC 的中点，AD 是中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形；

（2）由于∠BAE=∠CAE ，由AE 是三角形的角平分线；

（3）由于∠AFB=∠AFC=90°，则AF 是三角形的高线．

解答： 解：（1）AD 是△ABC 中BC 边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD 与△ADC 的面积相等．

（2）AE 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，三角形上角平分线有三条．

（3）AF 是△ABC 中BC 边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．

点评：本题考查了三角形的高线、角平分线、中线的概念，它们分别都有三条．

23．如图，要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上，这时测得的DE 的长就是AB 的长，为什么？

考点：全等三角形的应用．

专题：应用题．

分析：本题是测量两点之间的距离方法中的一种，符合全等三角形全等的条件，方案的操作性强，只要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施．

解答： 解：∵AB ⊥BF ，DE ⊥BF ，

∴∠ABC=∠EDC=90°，

又∵直线BF 与AE 交于点C ，

∴∠ACB=∠ECD （对顶角相等），

∵CD=BC，

∴△ABC ≌△EDC ，

∴AB=ED，

即测得DE 的长就是A ，B 两点间的距离．

点评：本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，做题时要注意寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．

24．已知：如图，AB=CD，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE=BF．

求证：（1）AF=CE；（2）AB ∥CD ．

考点：全等三角形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：由HL 可得Rt △DCE ≌Rt △BAF ，进而得出对应线段、对应角相等，即可得出（1）、（2）两个结论． 解答： 证明：（1）∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，

∴在Rt △DCE 和Rt △BAF 中，

AB=CD，DE=BF，

∴Rt △DCE ≌Rt △BAF （HL ），

∴AF=CE；

（2）由（1）中Rt △DCE ≌Rt △BAF ，

可得∠C=∠A ，

∴AB ∥CD ．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．

25．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：

①分别在BA 和CA 上取BE=CG；

②在BC 上取BD=CF；

③量出DE 的长a 米，FG 的长b 米．

如果a=b，则说明∠B 和∠C 是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？

考点：全等三角形的应用．

专题：证明题．

分析：给出的三组相等线段都分布在△BDE ，△CFG 中，判断他们全等，条件充分，利用全等的性质容易得出∠B=∠C ．

解答： 解：这种做法合理．

理由：

在△BDE 和△CFG 中，

．

∴△BDE ≌△CFG （SSS ），

∴∠B=∠C ．

点评：本题考查了全等三角形的应用；判断两个角相等，或者边相等，可以把他们分别放到两个可能全等的三角形中，围绕全等找判断全等的条件．

26．（阅读理解题）如图所示，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD ，CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．

（1）图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）；

（2）小明说：欲证BE=CD，可先证明△AOE ≌△AOD 得到AE=AD，再证明△ADB ≌△AEC 得到AB=AC，然后利用等式的性质得到BE=CD，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程，如果不正确，请说明理由；

（3）要得到BE=CD，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．

考点：全等三角形的判定与性质．

分析：（1）根据全等三角形的判定得出即可．

（2）求出∠EAO=∠DAO ，∠AEO=∠ADO=90°，根据AAS 证△AEO ≌△ADO ，推出AE=AD，根据ASA 证△ADB ≌△AEC ，推出AB=AC即可．

（3）根据垂直和角平分线性质得出OE=OD，∠BEO=∠CDO=90°，根据ASA 推出△BEO ≌△CDO 即可．

解答： 解：（1）图中有4对全等三角形，有△ADB ≌△AEC ，△ADO ≌△AEO ，△AOB ≌△AOC ，△EOB ≌△DOC ．

（2）正确，

理由是：∵AO 平分∠BAC ，

∴∠EAO=∠DAO ，

∵CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，

∴∠AEO=∠ADO=90°，

∴在△AEO 和△ADO 中

∴△AEO ≌△ADO （AAS ），

∴AE=AD，

在△ADB 和△AEC 中

∴△ADB ≌△AEC （ASA ），

∴AB=AC，

∵AE=AD，

∴BE=CD．

（3）有，

理由是：∵AO 平分∠BAC ，OE ⊥AB ，OD ⊥AC ，

∴OE=OD，∠BEO=∠CDO=90°，

在△BEO 和△CDO 中

∴△BEO ≌△CDO （ASA ），

∴BE=CD．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应角相等，对应边相等．