矩阵分析习题课
矩阵分析习题课
第一部份 内容
第一章 线性空间与线性换 1、概念与性质
（1）线性空间、线性子空间、向量有关概念（线性相关、线性无关、线性表出，向量组的秩、基、维数、坐标）、过渡矩阵、基坐标关系
（2）子空间：和、交、直和、维数公式 （3）线性空间同构，同构性质
（4）线性变换、线性变换空间、线性变换的表示矩阵、不同基下线性变换表示矩阵关系、线性变换的特征值与特征向量
（5）不变子空间、不变子空间与线性变换的联系
2、计算
（1）求向量组的秩、空间的基、维数、向量在基下的坐标 （2）求过渡矩阵、基坐标关系求坐标 （3）求线性变换的表示矩阵
（4）求矩阵的特征值与特征向量、线性变换的特征值与特征向量
第二章 内积空间 1、概念与性质
（1）实内积空间、复内积空间、欧氏空间、酉空间，Cauchy-Schwartz 不等式、常见线性空间的内积
（2）正交向量、标准正交向量、正交基、标准正交基、Gram-Schmidit 直交化、子空间直交、直交补空间及性质
（3）内积空间同构
（4）正交变换、酉变换及等价命题、正交矩阵、酉矩阵 （5）点到子空间距离、最小二乘法
（6）正规矩阵、特殊的正规矩阵：Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵 （7）Hermite 二次型、标准型及标准化、正定、负定
2、计算
（1）Gram-Schmidit 直交化求正交向量组、标准正交向量组 （2）法方程解最小二乘问题 （3）化Hermite 二次型为标准型
第三章 矩阵的标准形 1、概念与性质
（1）多项式矩阵、Smith 标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及关系
（2）矩阵相似对角化、酉对角化、Jordan 标准形 （3）Hilmilton-Cayley 定理、最小多项式
（4）Schur 定理、QR 分解、奇异值分解、满值分解
2、计算
（1）求多项式矩阵的Smith 标准形、行列式因子、不变因子、初等因子 （2）求矩阵的Jordan 标准形、最小多项式，化矩阵的Jordan 标准形 （3）利用Hilmilton-Cayley 定理、最小多项式做多项式的简化计算 （4）求矩阵的QR 分解、奇异值分解、满值分解
第四章 矩阵函数及应用 1、概念与性质
（1）向量范数（三种常见的向量范数）、矩阵范数（Frobenius 范数、列和范数、行和范数、谱范数）、谱半径
（2）向量的极限、矩阵的极限、收敛与发散
（3）矩阵级数的收敛、绝对收敛与发散、矩阵幂级数 （4）矩阵函数
（5）函数矩阵的微分、积分 （6）常见矩阵函数性质
（7）常系数线性微分方程解与矩阵函数关系
2、计算
（1）求向量、矩阵的常见几种范数 （2）求矩阵的极限 （3）求矩阵函数
（4）求函数矩阵的微分与积分 （5）解微分方程
第二部份 习题
1、 设R [x ]4是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式
p (x ) =1+2x
3
在基1, x -1, (x -1) 2, (x -1) 3下的坐标。
2、 在R [x ]3中，设线性变换T 在基1, x , x 2下的表示矩阵为
⎡12 A =⎢⎢⎢⎣1
012
2⎤
⎥3 ⎥0⎥⎦
(1) 求T 在基x 2,1, x 下的表示矩阵； (2) 求g =2+x 在该线性变换T 下的像。
3、 在R 3中，设x =(ξ1, ξ2, ξ3) ，线性变换Tx =(ξ1+ξ2, ξ2-2ξ3, ξ3) ，求（1）T 在标
准基下的表示矩阵，（2）T 在一组基下的最简形式的矩阵为什么矩阵？试求
一组基，使T 在其下的表示矩为最简形式的矩阵。
4、 证明n 维线性空间V 的一个有n 个不同特征值的线性变换T 共有2n 个不同
的不变子空间。
⎡325、 设A =⎢⎢⎢⎣1
262
-5⎤
⎥
-10，(1)求矩阵A 的smith 标准形，行列式因子、不变因子、⎥-3⎥⎦
初等因子、最小多项式，(2)求A 8-2A 7+A 5-E 。
⎡a
⎢
6、 试判断如下矩阵是否相似：(1) ⎢0
⎢⎣0⎡a
⎢(2) ⎢0
⎢⎣0
1a 0
0⎤⎡a
⎥⎢1与0⎥⎢
⎢a ⎥⎦⎣ε
1a 0
0⎤
⎥
1, ε≠0 ⎥a ⎥⎦
402-2
-10-4-1
54-4-1
6⎤
⎥6⎥ -19⎥
⎥-16⎦
1a 0
0⎤⎡a ⎥⎢1与0⎥⎢
⎢a ⎥⎦⎣0
3a 0
0⎤
⎥3 ⎥a ⎥⎦
⎡1
⎢2⎢7、 求矩阵的满秩分解：⎢-1⎢⎣1
⎡1
8、 求矩阵的QR 分解：⎢1
⎢⎢⎣0
1-10
0⎤
⎥1 ⎥2⎥⎦
⎡2
9、 求矩阵的奇异值分解：A =⎢
⎣1
02
1⎤⎥0⎦
10、
||Ax ||1, ||Ax ||2, ||Ax ||∞
⎡20设A =⎢⎢⎢⎣1
-122
0⎤⎡1⎤
⎥⎢⎥
3，x =2，求||A ||1,||A ||F ,||A ||2,||A ||∞， ⎥⎢⎥
⎢0⎥⎦⎣3⎥⎦
⎡1
⎢5
设A =⎢
⎢3⎢⎣5
3⎤
∞∞
5⎥2k 2k
⎥，矩阵幂级数∑k A 是否收敛？如收敛求∑k A 。 1⎥k =1k =15⎥⎦
01-10
0-110
-1⎤
⎥0
⎥，求sin A t 0⎥⎥1⎦
11、
12、
⎡1⎢0
已知A =⎢
⎢0⎢⎣-1
13、 解微分方程:
⎧dx 1
⎪dt =x 1-x 4⎪
⎪dx 2=x -x
23
⎪dt
, x 1(0)=1, x 2(0)=0, x 3(0)=0, x 4(0)=-1 ⎨
dx ⎪3=-x +x
23
⎪dt ⎪dx
⎪1=-x 1+x 4⎩dt
⎡0⎢
14、设A =⎢1
⎢⎣i
-100
i ⎤
⎥
0，证明A 为正规矩阵并求酉矩阵Q 使Q H AQ 为对角阵。 ⎥0⎥⎦