第九章多元函数微分学C自测题及答案

第九章多元函数微分学自测题

一、 填空题（每题3分，共30分）

y 1．已知f (x +y , ) =x 2-y 2 ，则f(x ,y)= （ ）。 x

2．lim x →0y →0xy +1-1=（ ）. sin(xy )

∂z =（ ）. ∂x 3．已知z =ln sin (2x -y ), 则

4. 可微函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 达到极值，则必有（ ）

5. 由方程xyz +

（ ）．

6. 设

x 2+y 2+z 2=2确定的函数z =z （x , y ）, 在点（1，0，-1）处的全微分dz ==arctan y dy =（ ） ，则x dx

7. 函数z =ln(y -x ) +x

-x -y 22的定义域是（ ）

8．函数z =2x 2-y 2是否有极值点，若有，写出该点，否则写无（ ）

9. 设z =ln(e x +e y ) ，则∂z ∂z + ∂x ∂y

10 函数f(x,y)=(6x-x 2)(4y-y 2) 的极值点有（ ）．

二、 单项选择题（每题3分，共15分）

1. 设u =e -x z

y ，则∂u ＝（ ） ∂z

-x z

y 2 A. -e -x z

y 2； B. -xe x -y x -y ； C. -2e ； D. 2e y y x z x z

２．二元函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 可导（偏导数存在）与可微的关系是（ ）．

A. 可导必可微； B. 可导一定不可微 ； C. 可微不一定可导；D. 可微必可导．

⎧x 2xy 23．函数f (x , y ) =⎨+y

⎩0(x , y ) ≠(0, 0) 其它在（0，0）处 （ ）

A. 连续，偏导数存在； B. 连续，偏导数不存在；

C. 不连续，偏导数存在； D. 不连续，偏导数不存在。

4. 对函数z =xy ，原点（０，０）（ ）.

Ａ．不是驻点； Ｂ．是驻点但非极值点；

Ｃ．是驻点且为极大值点； Ｄ．是驻点且为极大值点．

5. 二元函数z =f (x , y ) 在(x 0, y 0) 点的两个偏导都存在，则下列说法正确的是（ ）.

A ． dz =f x (x 0, y 0) dx +f y (x 0, y 0) dy ；

B ．函数z =f (x , y 0) 在x =x 0点连续；

C ．函数z =f (x 0, y ) 在y =y 0点不连续；

D ．函数z =f (x , y ) 在(x 0, y 0) 点连续.

三、计算题（每题5分，共55分）

∂2z 1. 设函数z =f (2x -y , y sin x ) ，求． ∂x ∂y

∂2z ２．设z =f (u , x , y ), u =xe ．其中f 具有连续的二阶连续偏导数，求． ∂x ∂y y

3. 求偏导数 z =f (e xy ,cos xy , y 2)

4. 由方程F (x +z z ∂z ∂z , y +) =0所确定，其中F 为可微函数，求： x +y 。 y x ∂x ∂y

y 5. 求由方程x -y -e =0所确定函数的二阶导函数。

∂2z 6. 设 z =f (x +y , xy ) ，其中f 具有二阶连续偏导数，求 ∂x ∂y 22

7. 求函数f (x , y ) =x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值.

8. 求z =x -4x +2xy -y 的极值.

9. 设 z =e u 2-v 322, u =xy , v =x ∂z ∂z ，求, y ∂x ∂y

10. 求由方程x y =ln() 确定函数的一二阶偏导数。 z z

3311. 求函数z =x +y -3xy 的极值。

第九章多元函数微分学自测题答案

一、填空题

1-ydx +xdy x 2(1-y ) 2x -y ) ；4. f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0；5. 1. ； 2. ；3. 2cot(

222x +y 1+y

6. 7. {(x , y ) |x 2+y 2x ≥0}；8. 无

9. 1；10. （3,2）

二、选择题

1.C ；2. D；3.C ；4.B ；5.B ；

二、计算题

''+(2sinx -y cos x ) f 12''+y cos x sin xf 22''+cos xf 2'. 1. -2f 11

''+e y f 13''+xe y f 21''+f 23''+e y f 1'. 2. xe 2y f 11

3. 课本p67 2（3）

z z -F '+F 2'F 1'-2F 2'21∂z ∂z y =-4. xy -z . 4. ， =-11∂x F 1'+F 2'F 1'+F 2'∂y y x y x

∂z ∂z x 2yF 1'-zyF 2'-xzF 1'+xy 2F 2'x +y ==-==-xy +z . -∂x ∂y xF 1'+yF 2'xF 1'+yF 2'

5. 课本p74 2

6. 解 令u =x +y , v =xy

22∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =⋅+⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

=2xf u +yf v

∂2z =2x (2y u f u +x u f v +) ∂x ∂y +f v (y 2+y v f u （5x v ) f v 分）

=4xyf uu +2(x 2+y 2) f uv +xyf vv +f v

7. f (1,0)=-5为极小值，f (-3,2) =31为极大值

8. 在（0,0）点达到极大值f (0,0)=0).

9. 2∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 12=⋅+⋅ =2yue u -v -e u -v ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x y

2∂z ∂z ∂u ∂z ∂v x 2= =2xue u -v +2e u -v ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y y

10. 课本p74 3（1）

11. 课本p87例2