几个有趣的悖论的数学辨析

几个有趣的悖论的数学辨析

数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的内容, 促进了数学的发展。作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能 提高自己的专业水平, 又能使授课内容生动有趣; 作为学生了解这方面的内容, 不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣

1 芝诺悖论

在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论 ——芝诺悖论。 芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、 完整、唯一和不动的”。但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的, 怎么会是“唯一” 的呢? 一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时 代人的反驳。 芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。 作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。 限于篇幅 , 在此只辑录其二 。

二分法 : 你不能在有限的时间内穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前 , 你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。

阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄 , 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌 龟的10倍 , 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 10 千米, 然后让阿喀琉斯去追。 于是问题来了 。 当阿喀琉 斯追到10千

11米的地 方 , 乌 龟又向 前跑了100千米 , 当阿喀琉斯又追到1001千米时 , 乌龟又向前跑了10000 千米, … …, 这样一来 , 一直追下

去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗 ?

之所以说这两个论证是悖论, 是因 为我们知道, 无论是谁, 不管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间内越过无穷多个点; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟 会跑不过大乌龟。然而在当时的人们的知识范围内, 却找不出芝诺的论证错在什么地方 。

1 . 1 芝诺悖论的数学意义

芝诺的“二分法” 和“ 阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证, 本意是要 用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点, 该两个论证与另外两个论证(“ 飞箭” 与“ 运动场” ) 组合得出了时空既是不可无限分割, 又是可以无限分割的矛盾结论。 “ 芝诺悖论” 促进 了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求证思想为基础的数学的发展。 芝诺论 证问题 的方法 是我们今天数学中仍在使用的反证法。可以说, 这是对反证法的最早的运用。大家知道, 当一个数学命题无法直接证明时, 我们就求助于反证法。 11

1. 2 “芝诺悖论” 的数学解释

芝诺关于“二分法”的实质问题是无穷多个无穷小之和是什么; “ 阿喀琉斯追龟”的实质是无穷级数求和的问题。

1 . 2. 1 关于“ 二分法” 的解释

“ 二分法” 的 实质问题是无 穷多个无穷小之和是什 么的问 题 。 这里我们对无穷小做一个讨论。 若无穷小是 0 , 则无穷多个0 之和仍为0。 也就是说此时的无穷是所谓的实无穷。 但若无穷小是一个变量, 即不是一个恒为0的数(称为潜无穷) , 亦即无穷多个 无穷小的和。那么该问题相当于极限中的未定式, 该极限可能存在, 也可能不存在; 可能等于0, 可能是一个常数, 或者是无穷大。但对同一个问题, 不可能既等于零又可为无穷大。确定该极限的方法, 就是用微分学中的罗必达法则 。 对于“ 二 分法” , 如果给定的距离一

11定 , 不妨设为1 , 那么先走一半即 2 , 再走剩下的一半即 4, 再走

1剩下的一半的一半即8, … , 以此类推则在一定时间内走的距离为:

显然n 时 , 该式的极限为1 , 那么只要距离一定 , 人们可以在一定的时间内穿过无穷个点 。

1 . 2. 2 关于“ 阿喀琉斯追龟” 的解释

按照该问题的条件, 让乌龟先跑10千米 , 那么阿喀琉斯要追上乌1

龟, 得先跑10千米,

11由于乌龟的速度是阿喀琉斯的10 , 则在阿喀琉斯 1追到1011千米时, 乌龟又跑了100 千米, 当阿喀琉斯追到100千米时, 乌

1龟又跑了10000千米, …, 这样一来 , 阿喀琉斯一共跑的距离是下列

无穷级数的和

:

对该式在n 11时取极限, 显然其极限是9, 所以只要阿喀琉跑够9千米, 就能追上乌龟 。

2 贝特朗奇论

2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆内随机取一条弦, 弦 长超过3(单位圆内 接等 边三角形的边长) 的概率是多少? 这个问题有三种解法, 答案互相矛盾 。

解法一:设弦AB 的一端A 固定于圆周上, 另一端B 任意(图1) 。对于等边三角形ACD , 若B 落在劣弧CD 上, 则AB > 3 ,

CD 弧长1 P = = 3 圆周长

解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB

CD 1的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = EF = 2 。

解法三 : 作半径为 1/ 2 的 同心圆( 图 3) 。 若 A B 的中 点

小圆面积1落在此圆内 , 则 AB> 3 , 故 P = = 4 。 大圆面积

2. 2 “贝特朗奇论” 的数学辨析

同一问题有三种不同的答案, 究其原因, 是在取弦时采用了不同的等可能性的假定。解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能 , 解法二假定中点在直径上的落点处处等可能, 解法三假定中点在圆 内的落点处处等可能。三种答案对于各自的假定都是正确的。这样的解释显得似是而非, 但又找不到反驳的理由, 故名奇论。其实弊病出在概率定义本身。

我们先看看有关概率的三个定义 : 概率的统计定义: 在条件相同的 n 次试验中事件A 出现m 次 , 如果加大 n 时 , A 的频率 m n 逐渐稳定在一个常数附近, 就把这个常数叫做事件 A 的概率。 概率的古典定义:如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。 这样的试验，成为古典试验。 对于古典试验中的事件A ，它的概率定义

m 为： P(A)= n ，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。

m 表示事件A 包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。概率的几何定义:若试验结果只能出现于区域Ω内的

某一点 , 且出现于每一点的可能性相等 , 又区域A 包含于区域Ω中 , 那么试验结果出现于区域A 的概率, 即事件A R 的概率 P( A ) =区域 A 的测度/区域Ω的测度。

概率的统计定义虽然直观, 但据此计算某事件的概率是困难的 , 仅能以A 的频率作为 P( A) 的近似值。 然而n 要多大, 准确到什么程度, 都没有确切的说明, 在概率的古典定义中, 不需要试验即可直接根据公式求出事件的概率, 这是它的最大优点, 但是它也有局限性, 因为它要求试验的全部可能结果的数目是有限的, 而且每个试验结果出现的可能性相等 。 如果试验的全部可能结果是无限的, 古典定义就不适用了。概率的几何定义虽然不要求试验结果有限, 但同样强调试验结果的等可能性。可是怎样才算等可能性 ? 这都无从回答。即便古典定义的提出者拉普拉斯本人对此也是含糊其词: “ 如果找不到可能性大小不等的任何理由, 就可以看作是等可能的。” 当然这种说法欠妥, 并且招致许多矛盾。如果进一步分析, 所谓“等可能性” 就是“等概率”。这无异于用概率去定义概率, 逻辑上出现了循环。 正是因为这种矛盾的存在, 人们希望找一个一 般的概型, 以便更广泛更确切地描述随机现象, 通过对随机现象的数学本质的研究和对上述三个定义的分析知道了概率具有一些基本性质并由此得到概率的公理化定义

3 理发师悖论

“理发师悖论” 是“罗素悖论” 的通俗说法。说的是在很早以前的一个村庄里, 只有一个理发师, 他规定只替而且一定替不给自己理

发的人理发。这就引出一个问题: 他该不该给自理发?

或者问: 他的头发应由谁理? 要是他给自己理发, 那么他就违反了自己的规定; 因为按规定, 他不应该为自己理发。要是他不给自己理发 , 他也违反了自 己的规定 ; 因为按规定 , 他一定得给自己不理发的人理发, 所以他也得给自己理发。理发师发难了: 他不论怎么做“都自己打自己的耳光” 。

3 . 1 “理发师悖论”的数学表示设要回答的问题是 : “ 一切不包含自身的集合所组成的集合” 是否包含自身的问题。如果说它不包 含自身, 那么他就应当是这个集合的元素, 即包含自身 ; 如果说它包含自身, 即属于这个集合那么它又不应包含自身。用符号表示就是 :R ∈ R ≡

R R 即命题 R ∈ R 等价于它的否命题

R R 。 3 . 2 “ 罗素悖论” 的辨析及历史意义

“ 罗素悖论” 产生的原因在于集合的辩证性与数学方法的形式特性或者形而上学思维方法的矛盾。 集合既是一种完成了的对象 , 又具有无限扩张的可能性, 它是完成与过程的统一。而人们在认识集合这种辩证性时, 由于形式逻辑的驱使或者形而上学的思维方法往往是片面强调矛盾的一方, 且把它推向极端, 然后又把对立的双方机械的重新联结起来, 这样出现矛盾就不可避免了, 在“罗素悖论”的形成中, 它一方面肯定的是集合本身无限扩张的可能性 , 即强调集合的过程性。另一方面, 又对不能再予以扩张的集合即全集的绝对肯定, 即又强调了集合的完成性。这样一来, 把绝对化了的双方又机械的联系起来, 就必然构成了悖论。

“罗素悖论” 来自作为数学基础的集合论的内部, 推理简单明了, 毫不含糊, 一针见血地指出了当时集合论中存在的矛盾。大家知道, 数学是科学的基础, 而集合论又是公认的现代数学的基础, 正如一个宏伟大厦的地基出现了问题一样, “罗素悖论” 的提出, 使人们如闻霹雳, 震惊不已, 从而引发了第三次数学危机, 但正 是这一 次数学危机, 促进了公理化集合论的诞生。