速算与巧算

速算与巧算（一）

【经典例题一】325÷25

【思路导航】在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。

325÷25

=（325×4）÷（25×4）

=1300÷100

=13

【练一练1】（1）450÷25 （2）525÷25

【经典例题二】计算25×125×4×8

【思路导航】如果先把25与4相乘，可以得到100，同时把125与8相乘，可

以得到1000；再把100和1000相乘就可以了。运用了乘法交换律和结合律。

25×125×4×8

=（25×4）×（125×8）

=100×1000

=100000

【练一练2】（1）125×15×8×4 （2）125×25×32

【经典例题三】计算：（1）125×34+125×66 （2）43×11+43×36+43×52+43

【思路导航】利用乘法分配律来计算这两题

（1）125×34+125×66 （2）43×11+43×36+43×52+43

=125×（34+66） =43×（11+36+52+1）

=125×100 =43×100

=12500 =4300

【练一练3】计算下面各题：

（1）125×64+125×36 （2）64×45+64×71-64×16

【经典例题四】计算（1）（360+108）÷36 （2）1÷2+3÷2+5÷2+7÷2

【思路导航】两个数的和、差除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再

求出两个商的和（差）。利用这一性质，可以使计算简便。

（1）（360+108）÷36 （2）1÷2+3÷2+5÷2+7÷2

=360÷36+108÷36 =（1+3+5+7）÷2

=10+3 =16÷2

=13 =8

【练一练4】（1）（720+96）÷24 （2）（4500-90）÷45

（3）73÷36+105÷36+146÷36 （4）6342÷21

【经典例题五】158×61÷79×3

【思路导航】在乘除混合运算中，如果算式中没有括号，计算式可以根据运算定

律和性质调换乘数或者除数的位置，只要计算：数字跟着前面的符号一起移动。

158×61÷79×3

=158÷79×61×3

=2×61×3

=366

【练一练5】计算下面各题：

（1）238×36÷119×5 （2）138×27÷69×50

（3）624×48÷312÷8 （4）406×312÷104÷203

【经典例题六】计算下面各题：

（1）103×96÷16 （2）200÷（25÷4）

【思路导航】这两道题都是乘除法混合运算，我们可以根据这两道题的特点，采

用加括号和去括号的方法，使计算简便。可以概括为：括号前是乘号，加、去括

号不改号，括号前是除号，田、去括号要改号。

（1）103×96÷16 （2）200÷（25÷4）

=103×（96÷16） =200÷25×4

=103×6 =8×4

=618 =32

【练一练6】计算下面各题：

（1）612×366÷183 （2）1000÷（125÷4）

速算与巧算（二）

【经典例题七】计算：26×11

【思路导航】一个两位数乘11的方法是：用两位数的头作积的头，用两位数的尾作积的尾，用这个两位数的两个数字之和作积的中间数（如果相加满十，则把和的十位数“1”加到头上。

26×11第一步2作积的头，第二步6作积的尾，第三步2+6=8作中间，合起来是286。

【练一练7】计算（1）53×11 （2）39×11

（3）65×11 （4）98×11

【经典例题八】计算：358×11

【思路导航】三位数乘11，用三位数的头作积的头，用三位数的尾作积的尾，用三位数前两位数字组成的数加厚两位数字组成的数的和作积的中间数。

358×11，第一步用3作积的头，第二步用8作积的尾，在用35+58=93，合起来是3938。

【练一练8】计算（1）353×11 （2）654×11

计算下面各题：

（1）13×11 （2）35×11 （3）67×11

（4）78×11 （5）896×11 （6）603×11

前面我们学习了因数是11的乘法速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。

两个数之和等于10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。 例1 （1）76×74＝？ （2）31×39＝？

分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到

76×74

＝（70＋6）×（70+4）

＝（70＋6）×70＋（70＋6）×4

＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4

＝70×（70＋6＋4）＋6×4

＝70×（70＋10）＋6×4

＝7×（7+1）×100＋6×4。

于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的

速算式：

由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是：

积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。

练习：

1、68×62 2、93×97

3、72×78 4、97×93

5、24×26

速算与巧算（二）

例2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？

分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。

（1）由乘法分配律和结合律，得到

78×38

＝（70＋8）×（30＋8）

＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8

＝70×30+8×30＋70×8＋8×8

＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8

＝7×3×100＋8×100＋8×8

＝（7×3＋8）×100＋8×8。

于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是：

积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。

15×15，25×25，„，95×95的速算，实际上就可以用“同补”速算法计算。

请算一算吧。

15×15

25×25

35×35

45×45

55×55

65×65

75×75

85×85

95×95

例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10，100，1000，„时，这两个数互为补数，简称互补。如43与57互补，99与1互补，555与445互补。

在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如， 因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。又如，等都是“同补”型。

当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，

等都是“补同”型。

在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。

例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792＝？

解：

（1）

（2）

计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。

注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。 在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。

例4 2865×7265＝？

解：

练习2计算下列各题：

1、68×62 2、93×97

3、27×87 4、79×39

5、42×62 6、603×607

7、693×607 8、4085×6085

速算与巧算（四）

专题简析：

这一周，我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。这些计算从表面上看似乎不能巧算，而如果把已知数适当分解或转化就可以使计算简便。

对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征，通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算式间的联系，灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化。

【例1】计算236×37×27

【分析与解答】在乘除法的计算过程中，除了常常要将因数和除数“凑整”，有时为了便于口算，还要将一些算式凑成特殊的数。

236×37×27

=236×（37×3×9）

=236×（111×9）

=236×999

=236×（1000－1）

=236000－236

=235764

计算下面各题：

132×37×27 315×77×13 6666×6666

【例2】计算333×334＋999×222

【分析与解答】表面上，这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即可简算。

333×334＋999×222

=333×334＋333×（3×222）

=333×（334＋666）

=333×1000

=333000

计算下面各题：

9999×2222＋3333×3334 37×18＋27×42

【例3】计算20012001×2002－20022002×2001

【分析与解答】这道题如果直接计算，显得比较麻烦。根据题中的数的特点，如果把20012001变形为2001×10001，把20022002变形为2002×10001，那么计算起来就非常方便。

20012001×2002－20022002×2001

=2001×10001×2002－2002×10001×2001

=0

计算下面各题：

1、192192×368－368368×192

3、9990999×3998－59975997×666

【例4】不用笔算，请你指出下面哪个得数大。

163×167 164×166

【分析与解答】仔细观察可以发现，第二个算式中的两个因数分别与第一个算式中的两个因数相差1，根据这个特点，可以把题中的数据作适当变形，再利用乘法分配律，然后进行比较就方便了。

163×167 164×166

=163×（166＋1） =（163＋1）×166

=163×166＋163 =163×166＋166

所以：163×167＜164×166

一、不用笔算，比较下面每道题中两个积的大小。

（1）242×248与243×247

（2）A=987654321×123456789

B=987654322×123456788

二、计算

1、19931993×1994－19941994×1993 2、 46×28＋24×63

3、8353×363－8354×362 ★4、3.8×5.2+76×0.48