第四节极限的运算
第四节 极限的运算
教学目的:掌握极限的性质及运算法则
教学重点:掌握不同类型的极限解法
教学难点:计算未定式的极限
教学内容:
一、极限的四则运算法则
定1:设x*时,limfxA和limgxB都存在,则有运算法则
(1)limfxgxlimfxlimgxAB
(2)limCfxClimfxCA
(3)limfxgxlimfxlimgxAB
limfxlimfxAn nn
(4)limfxlimfxAgxlimgxBB0
证明留给读者。
例1:求lim(2x1) x1
解 lim(2x1)lim2xlim12limx12111 x1 x1 x1 x1
讨论 若P(x)a0xna1xn1 an1xan 则limP(x)? xx0
提示 limP(x)lim(a0x)lim(a1xxx0xx0xx0nn1) lim(an1x)liman xx0xx0
xx0xx0 a0lim(x)a1lim(xxx0xx0nn1) an1limxliman
a0(limx)a1(limx)xx0xx0nn1nn1 an)a0x0ax10anPx.0
若P(x)a0xa1xnn1 an 则limP(x)P(x0) xx0
x31例2: 求lim2 x2 x5x3
lim(x31)x31解 lim2 x2
2x2 x5x3lim(x5x3)x2
23172 21033limx5limxlim3(limx)523x2
2x2x22
x2x2x2x2limx3lim1(limx3)1
问题 如下写法是否正确?
x12317x2 lim2x2 x5x3limx25x3221033x23limx31
x17x2x2 22x2 x25x3lim(x5x3)lim(2103)3lim
x2x23lim(x31)lim(231)
例3: 求limx3 x3 2x9
lim1x3x311x3 limlim 解 lim2x3 x9x3 (x3)(x3)x3 (x3)lim(x3)6x3
例4:求lim2x3 x1 x25x4
x25x4125140 解 limx1 2x3213
根据无穷大与无穷小的关系得lim
讨论
有理函数的极限lim
提示
当Q(x0)0时 lim2x3 x1 x25x4P(x)? xx0Q(x)P(x)P(x0) xx0Q(x)Q(x0)
P(x) xx0Q(x) 当Q(x0)0且P(x0)0时 lim
当Qx0Px00时 先将分子分母的公因式(xx0)约去
3x34x22 例5: 求lim3 x7x5x23
解 先用x3 去除分子及分母 然后取极限 4233x4x23 lim3limx7x5x23x53737xx32
3x22x1例6:求lim3 x2xx25
解 先用x3 去除分子及分母 然后取极限 3213x2x100 lim3limx2xx25x15223xx2
2x3x25例7:求lim2 x3x2x1
3x22x10 所以 解 因为lim3x2xx25
2x3x25 lim2x3x2x1
讨论
a0xna1xn1 an 有理函数的极限lim? xbxmbxm1 b01m
提示 0 nma0xna1xn1 ana0 nm limxbxmbxm1 b01mb0
nm
sinx例8:求lim xx
解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用
sinx1sinx 是无穷小与有界函数的乘积 xx
sinx0 所以 limxx 因为
二、复合函数的极限运算
定理2:设函数ux当xx0时的极限存在且等于a,即limxa,但在点x0的xx0
imfuA,某去心邻域内xa,又l则复合函数fx当xx0时的极限也存在,ua
且
xx0limfxlimfuA ua
例9
:求x3
解:由定理2
:x3