债券投资敏感性分析
债券投资中的利率敏感性分析
——浅析久期、凸性和关键利率久期在债券投资中的应用
久期和凸性是衡量债券利率敏感性重要指标,已被国内外金融机构广泛用于债券投资分析。但不少人仅停留在对其感性认识上,应用的深度自然可想而知,而关键利率久期则在国内业内很少提及。2006年底我国金融业即将全面开放,越来越多拥有丰富投资经验和投资技术的外资金融机构蜂拥而入,国内金融机构将面临着更加激烈的竞争甚至生存的威胁,这迫使我们不得不背水一战,尽快提高自己投资水平。本文拟通过实例分析对久期、凸性和关键利率久期的实际运用作一简要分析。
一、 久期和凸性——债券利率敏感性测度的一般方法
(一)有效久期的计算方法
久期是衡量债券利率风险的重要指标,是利率每变动100个基点时债券价值的百分比变动。在实际运用中我们需要对久期的不同计算方法有一个清晰的概念才能够在债券投资中恰当的运用。久期的计算主要有麦考莱久期(Macaulay duration )、修正久期(Modified duration)和有效久期(effective duration)三种计算方法。
麦考莱久期是通过计算债券现金流的加权平均到期期限得来的,其中权重是每一笔现金流的现值与债券价值的比率。修正久期是麦考莱久期除以一加上到期收益率,他可以被解释为在市场利率的变动不会导致债券期望现金流变动的情况下市场利率每变动100个基点所引起的债券价值的百分比变化。而有效久期的计算则是通过以下的计算得来:
有效久期(ED ) =
BV −∆y −BV +∆y 2×BV 0×∆y
其中:ED :有效久期
∆y :债券市场利率变动
BV −∆y :债券市场利率下降∆y 时债券的价格 BV +∆y :债券市场利率上升∆y 时债券的价格 BV 0 :债券初始价格
对于不含权的债券修正久期和有效久期的计算结果一致,因此对于不含权债券(如不可赎回的债券)的久期计算可以使用以上各种计算方法得出相同的债券久期结果。但是对于含权债券修正久期和有效久期是不一致的,因为有效久期的计算方法考虑了当市场利率变动时含权债券的期望现金流的变化。而修正久期的计算仅适合于市场利率的变动不会引起债券期望现金流变化的不含权债券久期的计算。所以,有效久期是度量债券价值利率敏感性更灵活的指标。考虑对于不同类型债券久期计算的通用性我们应该尽量使用有效久期。
我们可以运用债券的有效久期来估算市场利率变动对债券价格的百分比影响:
债券价格的百分比变化=-ED ×∆y 其中:ED :有效久期
∆y : 债券收益率变动
(二)凸性的原理和计算方法
(1) 为什么要使用凸性
仅使用久期衡量债券价格随收益率的变动会导致不精确的结果。当收益率下降时估算的债券价格变动将小于实际价格变动从而低估了实际价格;当收益率上升时估算的债券价格变动将大于实际的价格变动也会低估债券实际价格。
y 1 y* y 2
图1:久期估算价格偏差
收益率
如上图所示,当债券收益率从原始收益(y*)下降至y 1时,实际债券价格从p*上升至p 1, 而久期估算的债券价格是p 1d ,单纯用久期计算低估了债券实际价格(p 1-p 1d ); 当债券收益率上升至y 2时,久期估算债券价格比实际债券价格少了(p 2-p 2d ). 对于收益率的微小变化,久期对估算债券
实际价格很有作用。然而离初始收益率越远,近似值的误差就越大。因此,需要利用债券价格-收益率曲线的凸性来修正这一误差。
(2)凸性的计算
凸性的两种方式为修正凸性和有效凸性。当收益率的变动对债券的期望现金流没有影响时可以使用修正凸性。而有效凸性则可以反映由于含选择权债券期望现金流的变化对债券价格的影响。有效凸性的计算公式为:
有效凸性(ECnvx) =
BV −∆y +BV +∆y −2×V 0
2×BV 0×∆y
2
其中:ECnvx :有效凸性
当修正久期对债券价格估算的偏差时可以利用凸性对债券价格的变动进行调整:
债券凸性调整=ECnvx ×∆y 2
(三)运用久期和凸性估算债券价格
当我们把久期和凸性结合起来时便可获得更加精确的收益率变化引起债券价格百分比变化的数值及债券价格。计算如下:
债券价格百分比变化 = 债券久期影响 + 债券凸性调整
=(-ED ×∆y )+(ECnvx ×∆y 2)
估算债券价格 = 期初债券价格 × (1 + 债券价格百分比变化)
(四)实例分析
我们选取2004年记帐式(三期)国债(40003)在2005年3月16日∗的价格和当天平均收益率为债券初始价格和收益率,通过结合“04国债03”的久期和凸性计算估算当收益率变动n 个基点时债券的价格。下表列出2004年记帐式(三期)国债(40003)的基本要素:
表1:2004年记帐式(三期)国债基本要素
债券名称 2004年记帐式 (三期)国债
债券代码 40003
付息方式 付息式 固定利率
起息日
到期日
付息频率 票面利率(月) 12
(%) 4.42
(1)“04国债03”久期和凸性的计算
2005年3月16日“04国债03”的初始收益率是4.186%,我们假设债券收益率分别上升和下降50个基点来计算“04国债03”的久期和凸性。根据中国人民银行文件银发[2004]116号文件《中国人民银行关于全国银行间债券市场债券到期收益率计算有关事项的通知》,对于债券价格的计算我们采用以下公式来计算:
∗
本文所有计算的债券基期定为2005年3月16日,数据来源为中国债券信息网(。
+
(1+y f )
C f
+
d
+n −1
(365/f )
(1+y f )
M d
+n −1
(365/f )
其中:PV :债券全价
C :票面年利息 f :年付息频率 y :到期收益率
d :债券结算日至下一最近付息日的实际天数 n :结算日至到期兑付日的债券付息次数 M :债券面值
债券收益率上升50个基点和下降50个基点,债券价格的计算如下表:
表2:04国债03价格变动计算表 年份 1 2 3 4 5 5
现金流 4.42 4.42 4.42 4.42 4.42 100
期初收益率(4.186%)收益率上升50个基点收益率下降50个基点
贴现因子 1.0039 1.0460 1.0897 1.1354 1.1829 1.1829
现值 4.4027 4.2258 4.0560 3.8930 3.7366 84.5386 104.8526
贴现因子 1.0043 1.0513 1.1006 1.1522 1.2062 1.2062
现值 4.4012 4.2042 4.0160 3.8362 3.6645 82.9073 103.0294
贴现因子 1.0034 1.0404 1.0787 1.1185 1.1597 1.1597
现值 4.4051 4.2485 4.0975 3.9518 3.8113 86.2294 106.7437
债券价格
说明:贴现因子=(1+y f )
d
+n −1
(365/f )
截止2005年3月16日,“04国债03”距下一付息天数为35天,因此d 等于35。在初始收益率4.186%的情况下第一年的贴现因子计算如下:
35
+5−1
(365/1)
1. 0039=(1+4. 186%)
“04国债03”的有效久期是:
有效久期(ED ) =
BV −∆y −BV +∆y 2×BV 0×∆y
=
106. 7437−103. 0294
=3. 5424
2×104. 8526×50/10000
“04国债03”的有效凸性是: 有效凸性(ECnvx) =
BV −∆y +BV +∆y −2×V 0
2×BV 0×∆y 2
=
106. 7437+103. 0294−2×104. 8526
=12. 9567
2×104. 8526×(50/10000) 2
(2) 根据“04国债03”久期和凸性估算债券价格变化
假如我们预测n 天后“04国债03”的收益率将上升20个基点,则债券价格为:
债券价格百分比变化 = 债券久期影响 + 债券凸性影响
=(-ED ×∆y )+(ECnvx ×∆y 2)
=(-3. 5424×20/10000)+[12. 9567×(20/10000) 2]
= -0.7033%
估算债券价格 = 104.8526 × ( 1 - 0.7033%)=104.1512
又如,由于央行下调金融机构超额准备金率,“04国债03”17日实际收益率下降了53.3个百分点,则债券价格为:
估算债券价格
=104. 8526×{1−(-3. 5424×53. 3/10000)-[12. 9567×(53. 3/10000) 2]}=106. 8709
此计算结果与中国债券信息网公布的“04国债03”当天的平均价格106.871 非常一致,说明结合有效久期和有效凸性能够对债券价格变化进行准确快速的估算。运用有效久期和凸性在评价一组债券或含权债券时直接使用有效久期和凸性能够比完全重新计算一组债券来得方便、迅速。
本质上讲,债券久期和凸性的派生假设是收益率曲线是平缓的,收益率曲线是以平行的方式移动,这对单一债券的价格变化测度是有效的。但是,在对于一个具有不同到期日债券的投资组合,当收益率曲线以非平行方式移动的情况下度
量整个债券投资组合的价值变化却不适用,这时需要关键利率久期来测度。
二、 关键利率久期——更为灵活和现实的投资工具
关键利率久期是保持债券组合中所有其他关键利率不变,关键利率每变化100个基点一只债券或债券组合的近似百分比变化,他是基于收益率曲线上特定收益率变动的价值变动敏感性。因此,不存在单一利率久期,而是存在代表收益率曲线不同期限结构的一系列久期。关键利率久期可以用于度量当不同到期日的即期利率以不同的基点和方向变化时债券组合价值的变化。关键利率是所选取的具有代表性的一组利率。以下我们通过构造一债券投资组合来说明关键利率久期的应用。
假设我们持有一债券投资组合包含三只国债,该投资组合的要素如下:
表3:债券组合中各债券的要素 债券名称 2004年记账式(三期) 国债 2003年记账式(六期) 国债 2003年记账式(一期) 国债
付息频率票面利率债券代码发行日期 付息方式起息日
(月) (%) 040003 030006 030001 附息式固定利率附息式固定利率附息式固定利率12 12 12
到期日
债券市值 (万元)4.42 5042.85 2.53 1939.20 2.66
(一)构造债券收益率曲线
由于人民银行银发[2004]116号文件中所提供的债券价格计算公式的定价最重要的假设是全部利息自动以同一收益率再投资到该种债券直到债券到期,所以不同期限下所产生的现金流以同样的收益率进行折现才得到债券的理论价格。也就是假设债券期限结构是扁平的,收益率曲线是一条水平直线,期限为一年的债券与十年债券拥有相同的收益率,显然这是不现实的。这样计算得来的债券到期收益率仅仅是一系列即期收益率的加权平均值。因此我们需要一条不同期限下拥有不同收益率的债券收益率曲线,以不同的收益率对相应到偿期的现金流折现
得到债券价格。
通过观察和对中国债券信息网公布的的债券收益率曲线进行检验,笔者认为此收益率曲线可以大致反映市场总体收益率情况,但对于投资组合价值的估算需要更为精确的收益率曲线。因此,我们选取一组有代表性的债券,用剥离法来构造计算债券价值的收益率曲线。下表为所选取的债券列表:
表4:构造即期收益率曲线债券列表 债券名称 1 99国债债券代码9901
起息日
到期日
票面年利率待偿期
(%) 4.88 2.32 2.22 2.53 4.42
(年)
债券价格 1999-2-26 2006-2-26 2003-6-23 2006-6-23 2002-4-10 2007-4-10 2003-7-25 2008-7-25 2004-4-20 2009-4-20
102.8410 101.7570 101.0180 98.5820
104.8540
2 03国债030005 3 02国债020002 4 03国债030006 5 04国债040003
设Z n 为n 年即期收益率,n=1,2,3,4,5。 一年即期收益率为: PV =
C d
(1+Z 1) 365
+
M d
(1+Z 1) 365
102. 841=
4. 88100
+
(1+Z 1) 0. 9507(1+Z 1) 0. 9507
Z 1=2.0866%
二年即期收益率为:PV =
C d
(1+Z 1) 365
+
C d
+1
(1+Z 2) 365
+
M d +1
(1+Z 2) 365
101. 757=
2. 322. 32100
+
(1+2. 0866%)0. 2712(1+Z 2) 1. 2712(1+Z 2) 1. 2712
Z 2=2.2633%
三年即期收益率为:
101. 018=
2. 222. 222. 22100
+++
(1+2. 0866%)0. 0685(1+2. 2633%)1. 0685(1+Z 3) 2. 0685(1+Z 3) 2. 0685
Z 3 =2.7542%
同理,经计算,四年和五年的即期收益率分别为3.5300%和4.2666%。这里
我们构造了一条2005年
3月16日的一至五年债券收益率曲线(见图2)。
图2:2005年3月16日1-5年固定利率国债收益率曲线
(二)关键利率分别上升1个基点即期收益率的计算
这里我们选取的关键利率是1年即期利率、2年即期利率和5年即期利率。计算过程假定任何关键利率的变化不会单独引起相邻关键利率的变化,但会以线性递减的方式引起中间利率的变化。例如在我们选取的3个关键利率中,2年即期利率不会引起1年和5年关键利率的变化,但会影响3年和4年利率的变化。三个关键利率上升1个基点的影响情况如图3所示:
关键利率上升 1年上升 2年上升 5年上升 1个基点
1年 2年 3
年 4年 5年
图3: 三个关键利率分别变动1个基点对中间利率的影响
上图所示,2年关键利率上升1个基点会引起3年即期利率上升y 32,4年即期利率上升y 42,5年关键利率上升1个基点会引起3年即期利率上升y 31,4年即期利率上升y 41。表5列出了关键利率分别上升1个基点后各年的即期收益率。
表5:关键利率分别上升1个基点后的即期收益率 期限 1年 2年 3年 4年 5年
期初即期利率 (2005.3.16) 2.0866% 2.2633% 2.7542% 3.5300% 4.2666%
关键利率分别上升1个基点后的即期利率
1年 2.0966% 2.2633% 2.7542% 3.5300% 4.2666%
2年 2.0866% 2.2733% 2.7609% 3.5333% 4.2666%
5年 2.0866% 2.2633% 2.7576% 3.5366% 4.2766%
上表中2年关键利率上升1个基点后3年即期利率为:
2. 7609%=2. 7542%+
2/3
10000
同理可计算得2年关键利率上1个基点后4年即期利率等受关键利率上升影响的其他即期利率。
(三)债券投资组合中各只债券关键利率久期的计算
首先,我们计算“04国债03”关键利率久期。表6列出了三个关键利率分别上升1个基点后“04国债03”的价格:
表6:关键利率分别上升1个基点时04国债03价格变动计算表 期限 现金流 1年 2年 3年 4年 5年 5年
1年
贴现因子 1.0020 1.0248 1.0586 1.1134 1.1866 1.1866
现值 4.4112 4.3129 4.1753 3.9699 3.7248 84.2711 2年
贴现因子 1.0020 1.0249 1.0587 1.1135 1.1866 1.1866
现值 4.4113 4.3124 4.1748 3.9695 3.7248 84.2711 104.8638
3年
贴现因子 1.0020 1.0248 1.0587 1.1136 1.1871 1.1871
现值 4.4113 4.3129 4.1751 3.9691 3.7233 84.2380 4.42 4.42 4.42 4.42 4.42 100
债券价格
“04国债03”1年关键利率久期
=[-(1年关键利率上升1个基点后债券价格/债券期初价格)-1]×10000
=[-(104.8652/104.8653-1)]×10000 =0.0064
*
同理可计算的“04国债03”的2年关键利率久期和5年关键利率久期,以及“03国债06”和“03国债01”的各年关键利率久期。以下表7和表8分别为三个关键利率分别上升1个基点后“03国债06”和“03国债01”的价格变动计算过程。
表7:关键利率分别上升1个基点时03国债06价格变动计算表 期限 现金流 1年 2年 3年 4年 4年
2.53 2.53 2.53 2.53 100
1年
贴现因子 1.0075 1.0309 1.0662 1.1236 1.1998
现值 2.5112 2.4542 2.3729 2.2517 83.3501 2年
贴现因子 1.0074 1.0310 1.0664 1.1237 1.1998
现值 2.5113 2.4539 2.3726 2.2515 83.3501 92.9394
3年
贴现因子 1.0074 1.0309 1.0663 1.1238 1.2003
现值 2.5113 2.4542 2.3728 2.2512 83.3153 债券价格
表8:关键利率分别上升1个基点时03国债01价格变动计算表 期限 现金流 1年 2年 3年 4年 5年 5年
2.66 2.66 2.66 2.66 2.66 100
1年
贴现因子 1.0195 1.0442 1.0829 1.1461 1.2288 1.2288
现值 2.6091 2.5475 2.4564 2.3209 2.1647 81.3797 2年
贴现因子 1.0194 1.0444 1.0831 1.1463 1.2288 1.2288
现值 2.6093 2.5470 2.4559 2.3206 2.1647 81.3797 93.4772
3年
贴现因子 1.0194 1.0442 1.0830 1.1464 1.2294 1.2294
现值 2.6093 2.5475 2.4561 2.3203 2.1637 81.3412 债券价格
下表中总结了债券组合中各债券的关键利率风险暴露:
表9:债券组合中各债券的关键利率暴露
04国债03 03国债06 03国债01
1个基点关键利率的变动
债券价值 关键利率久期债券价值 关键利率久期债券价值 关键利率久期期初价格
104.8653
0.0064 0.1384 3.4005 3.5453
92.9403 92.9402 92.9394 92.9048
0.0095 0.1004 3.8201 3.9300
93.4784 93.4782 93.4772 93.4381
0.0255 0.1329 4.3137 4.4720
1年关键利率上升1个基点 104.8652 2年关键利率上升1个基点 104.8638 5年关键利率上升1个基点 104.8296
债券有效久期
*
为保证计算的精准,本文所有计算通过使用Microsoft Excel进行精确计算,所以与直接使用文中保留到小数点后四位的数据计算出的结果会有稍有差别。
在选取的债券投资组合中,已知各债券在2005年3月16日的市场价值,我们可以以债券市值为权重计算整个债券投资组合的久期(见表10)。
表10:债券投资组合关键利率久期方阵
债券 04国债03 03国债06 03国债01 总组合
市值 (万元) 5042.85 1939.20 28110.60 35092.65
权重 14.37% 5.53% 80.10% 100.00%
关键利率久期 1年 0.0064 0.0095 0.0255 0.0218
2年 0.1384 0.1004 0.1329 0.1319
5年 3.4005 3.8201 4.3137 4.1552
有效久期 3.5453 3.9300 4.4720 4.3089
上表中,“04国债03”的有效久期=0.0064+0.1384+3.4005=3.5453 此数值应与运用本文第一部分介绍的计算单只债券有效久期公式计算得来的结果一致。债券投资组合的1年关键利率久期为:
0.0218=14.37%×0.0064+5.53%×0.0095+80.10%×0.0255
同理可得其他投资组合的各关键利率久期与债券组合的总组合久期,如表10所示本债券投资组合的总组合久期为4.3089。这一投资组合2年的久期是0.1319,那么在2年即期利率每变动1%而其他剩余期限即期利率不变时债券组合的价值将变动0.1319%。下面以以上投资组合的实例来分析。
(四)关键利率久期的应用
假设目前固定资产投资过热以及粮食价格上涨带动了物价总水平的提高已经数月,而央行通过控制关键产业信贷投放和发行央行票据以及公开市场操作回笼货币也不足以抑制物价水平的持续走高,市场预期央行将采取更加严厉的措施--升息来控制经济过热的状况。各家金融机构纷纷追捧短期债券以避免因过多投资于中长期债券而造成损失,这种情况下债券收益率曲线将扁平化。如果我们预期1年即期利率将上升50个基点,2年即期利率将上升30个基点,5年即期利率将下降10个基点,债券组合的价值变化计算如下:
债券组合价值变化:
1年关键利率上升:-(+0.5%)×(0.0218)= -0.01090% 价值下降 2年关键利率上升:-(+0.3%)×(0.1319)= -0.03957% 价值下降
5年关键利率下降:-(-0.1%)×(4.1552)= +0.41552% 价值上升 投资组合总体价值变动= +0.36505% 价值上升 因此,债券投资组合的价值将增加:
35092.65万元 × 0.36505% = 128.11万元
从以上计算过程可以看出当不同期限的即期利率以不同的幅度上升或下降时,也即收益率曲线以非平行方式移动时我们可以应用关键利率久期来度量包含不同市场价值、不同待偿期债券的投资组合价值的变化,而不是象一般的久期那样仅能够对单一证券的价值变化进行估计,从而为套期保值提供了可能。当然,我们还能看到关键利率久期除了用于债券投资组合的利率风险衡量,也可以用于收益率曲线非平行方式变动时单一债券价值的相对精确度量。以“04国债03”为例,当即期利率发生1年即期利率将上升50个基点,2年即期利率将上升30个基点,5年即期利率将下降10个基点的变化时,“04国债03”的价值变动为:
1年关键利率上升:-(+0.5%)×(0.0064)= -0.0032% 价值下降 2年关键利率上升:-(+0.3%)×(0.1384)= -0.04152% 价值下降 5年关键利率下降:-(-0.1%)×(3.4005)= +0.34005% 价值上升 04国债03总体价值变动 = +0.29533% 价值上升 从上面可以看到使用关键利率久期对债券价值的度量比有效久期的方法更为灵活和现实。
三、 结论
本文第一部分讨论了有效久期和凸性的基本原理和计算过程并以实例展示了如何把久期和凸性结合起来快速估算债券的利率风险。第二部分选取了目前债券市场上现券交易的三只有不同待偿期债券组成债券投资组合,以实际数据计算投资组合的关键利率久期,释放了有效久期和凸性在收益率曲线以平行的方式移动的假设,详细说明了关键利率久期在收益率曲线以非平行方式移动的更现实情况下度量整个债券投资组合的价值变化的灵活性,希望能对金融机构日常投资操作有所帮助。
关键利率久期的应用不止于此。实际上,关键利率久期用于构建套期保值组合和在一般情况下如何快速选取其他债券对已知债券组合进行免疫也大有帮助。另外,还可以用于银行资产负债管理等方面。本文第二部分没有深入探讨如何选取关键利率,事实上关键利率选取的越多,在进行关键利率久期进行免疫的效果就越好。一般情况下,在债券期限结构上选取四个关键利率便能够起到对投资组合的广泛免疫效果。而关键利率的选取也在于要对拥有什么样待偿期的投资组合进行套期保值。另外,本文第二部分采用了剥离法构造国债收益率曲线,自然有他的缺陷,但个人认为能取得比从债券信息网收益率曲线查询得来的即期利率更好的效果。由于所选取用于构建收益率曲线和投资组合的债券均为国债,从而简化了分析。对于不同的债券品种会有相对于无风险国债收益率的利差以弥补投资者面临的流动性风险、再投资风险、赎回风险等,因此对于复杂债券收益率曲线构建仍需要更广泛深入的探讨。