6匀变速直线运动位移与时间的关系
6 匀变速直线运动位移与时间的关系
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1.知道匀变速直线运动位移与时间的关系,理解关系式中。v、a、x等物理量的矢量性。
2.体会用“极限”的思维方法推导匀变速直线运动位移公式的过程,增加物理情感,增强分析能力。 3.知道位移一时间图像的构成与意义,能利用位移一时间图像处理简单的物理问题。 4.能综合运用匀变速直线运动的规律求解运动学问题。
I 知识清单
1.做匀速直线运动物体的运动速度为v,在时间t内的位移2.做匀变速直线运动的物体的位移公式为,公式中x、vo 、a均是应用公式解题前应先根据正方向明确它们的正、负值。一般规定初速度的方向为正方向;当v0= 0时,,表示初速度为零的匀加速直线运动的与时间的关系。 3.匀速直线运动的x-t图像是一条x-t图像是一条
II 知知详解
1.匀变速直线运动的位移公式的推导
在匀速直线运动中,物体运动的速度不变,因为位移为x=vt,这在数值上正好等于速度图线与时间轴之间的面积(图1-6-1甲)。在匀变速直线运动中,由于运动速度不断变化,无法采用上面的方法直接计算出位移。不过,我们可以设想将匀变速直线运动v-t图像中的时间分为许多很小的时间段,在每个时间段中,物体近似以某一速度做匀速运动,那么,每个时间段所对应的位移在数值上等于该时间段对应的矩形面积,如图1-6-1乙所示。这种划分越细,设想的运动就越接近真实运动,如图1-6-1丙所示。当时间段足够小时,设想的运动便等于真实运动,矩形面积之和便等于梯形面积(图1-6-1丁)。该梯形面积在数值上便等于匀变速直线运动的位移,即
x
11
(v0vt)t,将vt=vo+at代人上式,有 xv0tat2 22
这便是匀变速直线运动的位移公式。
上述推导中用到了微积分的思想,即无限分割,逐渐逼近真实状况。在物理学的研究中常常用到这种思想。 总结: 对公式的理解: (1)公式x
1
v0tat2为矢量式,其中的
2
x、v0、a都是
矢正方
量,应用时必须选取统一的正方向,一般选取初速度vo的方向为向。
(2)公式x
1
v0tat2是匀变速直线运动位移的一般表达
2
12at 2
形当物
式,它表明质点在各个时刻相对初始时刻的位移x跟时间t的关系。
体做匀减速直线运动时,公式的表达形式不变,a取负值;当初速度为零时,公式简化为x=
(3)公式x
1
v0tat2是匀变速直线运动的位移公式而不是路程公式,利用该公式计算出的是位移而不是路程。只有在物体
2
做单方向直线运动时,位移的大小才等于路程。 2.v-t图像中位移的表示方法
v-t图像与t轴包围面积的大小在数值上等于物体在这段时间内的位移,t轴上方的面积表示位移为正,t轴下方的面积表示位移为负,这样可以通过计算v-t图像与t轴包围面积的大小求解物体的位移,此方法适用于所有的直线运动位移的求解。
例如:如图1-6-2所示,0一t1时间内物体运动方向与规定正方向相反,物体位移为负值,大小x1;t1一t2时间内物体速度方向为正,物体的位移大小为x2。故0一t2时间内物体的位移x =x2 –x1,不是x1+x2,如果t2=2t1,则x=0 3.匀变速直线运动的三个推论
为而
(1)在连续相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值,即x证明:
aT2
(2)某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度,即vt
2
v
v0vt
2
证明:
(3)某段位移内中间位置的瞬时速度vx与这段位移的初、末速度v0、vt
的关系式为:vx
22
证明:
注意:①推论(1)只对匀变速直线运动成立,有时用此结论能简化解题过程。
②推论(2)常有两方面的应用:一是用以判断物体是否做匀变速直线运动,二是用以求加速度。 4.位移一时间图像
在平面直角坐标系中,用横轴表示时间t,用纵轴表示位移x,根据给出的(或测定的)数据,作出几个点的坐标,用直线将几个点连接起来,则这条直线就表示了物体的运动特点,这种图像就叫做位移一时间图像,简称为位移图像。位移图像是用来描述物体相对于出发点的位移随时间的变化情况。如图1-6-3所示为汽车自初位置开始,每小时的位移都是50 km的x-t图像。匀速直线运动的x-t图像是一条直线,匀变速直线运动的x一t图像是一条抛物线,如图1-6-4所示。根据图像可以知道质点在任意一段时间内的位移,也可以知道发生一段位移所需要的时间。 总结:
(1)观察物理图像的方法首先是看横、纵轴所表示的物理量;其次看图像从横、纵轴上直接可获取的信息,联系实际搞清物理情景。 (2)对位移一时间图像的理解
①能通过图像得出对应时刻物体所在的位置。
②图线的倾斜程度反映了运动的快慢。斜率越大,说明物体运动越快,速度越大。
③图线只能描述对于出发点的位移随时间的变化关系,不是物体的实际运动轨迹随时间的变化关系,二者不能相混淆。 ④初速度为零的匀变速直线运动对应的x-t图像为过点的抛物线的一部分。 规律方法
1.在x一t图像中,怎祥区分位移的正、负和速度的正、负
作位移一时间图像时,质点的位移方向是相对于坐标轴原点的,用“+”“一”来表示。“+”表示质点在原点的正方向一侧,“一”表示质点位于原点的负方向一侧。位移的方向是人为规定的,与质点的实际运动方向无关。位移由“+”变为“一”并不表示质点运动方向改变。质点运动方向用x一t图像中直线斜率的正、负表示,直线斜率为正,表示质点向正方向运动,直线斜率为负,表示质点向负方向运动。这里的直线也指图像为曲线时曲线上某点的切线。
总结:直线运动的x一t图像的x值的正负表示位移的正负,而x-t图像的斜率的正负表示该点速度的正负。物体在某点的位移为正,速度也可为负。反之,在某点的位移为负,速度也可为正。 2.区分速度图像、位移图像及运动的轨迹
我们学过的匀速直线运动的x-t图像与匀变v-t图像都是直线,但物理意义完全不同,如图1-6-5线表示的运动情况见下表。
速直线运动的所示,图中各图
总结:在分析图像的问题时,首先要弄清该图像究竟是哪一种图像,这可以通过观察图像的纵坐标的意义来区分,这是解题最关键的一步。其次理解图像的物理意义,分析物体的运动性质。
3
.vx
2
vt
2
v0vt
2
的大小比较
①公式法: ②图像法:
4.匀变速直线运动规律的解题方法 (1)速度公式vt=v0十at和位移公式x
1
v0tat2的适用条件是物体必须做匀变速直线运动,否则不能应用上述公式,所以
2
应用以上两公式时首先应对运动性质和运动过程进行判断和分析。
(2)速度公式和位移公式都是矢量式,公式中涉及的v0、vt、a、x、t五个物理量中除时间t外均为矢量,所以要特别注意其方向性,在运用时要先规定正方向,标出各量正负号,然后再连同正负号代人公式计算,通常选取初速度方向为正方向。 (3)公式x
1
v0tat2是位移公式,而不是路程公式。运用该公式求得的是位移,而不是路程,只有在单向直线运动中,所求
2
的位移大小才等于路程。
(4)分析物体的运动问题,要养成画物体运动草图的习惯,并在图中标注有关物理量。这样将加深对物体运动过程的理解,有助于发现已知量和未知量之间的关系,迅速找到解题的突破口。
(5)如果一个物体的运动包含几个阶段,就要分段分析,弄清物体在每段上的运动情况及遵循的规律,应该特别注意的是各段交接点处的速度往往是解题的关键,应首先考虑。
(6)末速度为零的匀减速直线运动可看成初速度为零、加速度大小相等的反向匀加速直线运动。
注意:解题之后应检查所得结果是否符合实际情况(如刹车后车不会倒退,即v、x不可能为负值;时间不能倒流,即t不能为负值。)
典型例题
1、做匀加速直线运动的质点,运动了时间t,下列说法中正确的是( D ) A.它的初速度越大,通过的位移一定越大 B.它的加速度越大,通过的位移一定越大 C.它的末速度越大,通过的位移一定越大 D.它的平均速度越大,通过的位移一定越大
2、一物体做匀加速直线运动,初速度为v0=5 m/s,加速度为a=0.5 m/s2,求: (1)物体在3 s内的位移大小; (2)物体在第3 s内的位移大小.
3、某一做直线运动的物体的v-t图像如图所示,根据图像求: (1)物体距出发点的最远距离; (2)前4 s内物体的位移大小; (3)前4 s内通过的路程.
4、做直线运动的甲、乙两物体的位移—时间图像如图所示,则下列说法正确的是( ) A.乙开始运动时,两物体相距20 m
B.在0~10 s这段时间内,两物体间的距离逐渐变小 C.在10 s~25 s这段时间内,两物体间的距离逐渐变小 D.两物体在10 s时相距最远,在25 s时相遇
5、以18m/s的速度行驶的汽车,紧急刹车后做匀减速直线运动,其加速度的大小为6 m/s2。求汽车刹车后4s内通过的路程。
6、一辆汽车原来匀速行驶,然后以2 m/s2的加速度加速行驶,从加速行驶开始,12 s行驶了264 m,则: (1) 汽车在此12s内的平均速度是多少?(22m/s)
(2)汽车开始加速时的初速度是多大?(10m/s)(此题主要是让学生加深对平均速度运用的印象)
7、从车站开出的汽车,做匀加速直线运动,走了12s时,发现还有乘客没上来,于是立即做匀减速运动至停车,总共历时20 s,行进了50 m,求汽车的最大速度。(多过程)
8、一物体做匀变速直线运动,在连续相等的两个时间间隔内,通过的位移分别是24m和64m,每一个时间间隔为4s,求物体的初速度和末速度及加速度。(对公式推论的考察)
随堂练习:
1、一火车以2m/s的初速度,0.5m/s2加速度做匀加速直线运动,求: (1)火车在第3s末的速度是多少? (2)火车在前4s内的平均速度是多少? (3)火车在第5s内的位移是多少? (4)火车在第二个4s内的位移是多少?
2、如图所示为甲、乙两物体相对于同一参考系的x-t图像,下面说法正确的是( ABC ) A.甲、乙两物体的出发点相距x0 B.甲、乙两物体都做匀速直线运动 C.甲物体比乙物体早出发的时间为t1 D.甲、乙两物体向同方向运动
3、某物体做匀变速直线运动,其位移与时间的关系为x=0.5t+t2(m),则当物体的速度为3 m/s时,物体已运动的时间为( A )
A.1.25 s B.2.5 s C.3 s D.6 s
4、如图所示是直升机由地面起飞的速度图像,试计算直升机能到达的最大高度.25 s时直升机所在的高度是多少米?