实数基本定理的相互证明

实数基本定理的相互证明

袁 文 俊

（广州大学数学与信息科学学院院，广东 广州 510405）

【摘要】本文给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。

【关键词】实数基本定理；等价性；数列；极限；收敛。

【中图分类号】O 174.5 【文献标识码】 A

1. 引 言

实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本文主要给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。

2. 实数基本定理的陈述

定理1(确界原理) 非空有上(下) 界数集，必有上(下) 确界。

定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限。

定理3( Cantor区间套定理) 若{[a n , b n ]}是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得ξ∈[a n , b n ],n =1, 2, 。

定理4(Heine-Borel有限覆盖定理) 设[a , b ]是一个闭区间，H为[a , b ]上的一个开覆盖，则在H中存在有限个开区间，它构成[a , b ]上的一个覆盖。

定理5（Weierstrass 聚点原理） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。 定理6（Bolzano 致密性定理） 有界无穷数列必有收敛子列。

定理7(Cauchy收敛准则) 数列{a n }收敛⇔对任给的正数ε，总

数N ，使得∀m , n >N 时，都有|a m -a n |

定理8(Dedekind准则，或称实数连续性定理) 设序对(A , A ') 为R 的一个分划，则或者A 有最大元，或者A '有最小元。

由于多数教材中Dedekind 分划定理是作为选学内容， 因此在证明等价性时我们将分两部分进行。在第3节给出定理1到定理7之间的两两推证， 而在第4节证明定理8与其它7个命题的等价性。

限于篇幅，对有关概念和某些命题的简单情形(如Cauchy 收敛准则的必要条件，Cantor 区间套定理中点的唯一性证明，数列中仅有有限个不同数等) 在本文中不予介绍和证明，读者若有兴趣，可以自己给出或可参见文献([3], [4])等。

我们注意到，实数完备性基本定理等价性的互证，几乎都可以利用二等分构造区间套的方法证明，为了开阔视野，加深对这部分内容的理解，我们尽可能利用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。

作者简介：袁文俊（1957-），男，教授，理学博士，主要从事函数论及其应用的教学与研究。 基金项目：教育部重点资助项目的子项目(03A08); 广东省新世纪高校教改资助项目(02042)。

3. 定理1到定理7的互证

(1) 定理1⇒定理2(确界原理⇒单调有界原理)

证 不妨设{x n }为单增有上界数列，即∃M >0，∀n ∈N，有x n 0，因为{x n }是单调递增数列，所以∀n >N ，∃N ∈N使得α-ε

有 α-ε

(2) 定理1⇒定理3（确界原理⇒Cantor 区间套定理）

证 因为[a n , b n ]⊃[a n +1, b n +1]，所以a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1。 则显然数列{a n }、{b n }皆为有界数列，且每个b n 都是a n 的上界，每个a n 都是b n 的下界

{b n }使得a n ≤b ≤b n 。 所以由确界原理知, ∃α=sup {a n }使得a n ≤a ≤b n ， ∃b =sup

所以|a -b |≤|a n -b n |。又因为(b n -a n ) →0，所以a =b 。

记ξ=a =b 则即有ξ∈R 使得ξ∈[a n , b n ]。

假设还有另外一点ξ'∈R 且ξ'∈[a n , b n ]，则|ξ-ξ'|≤|a n -b n |→0, 即ξ=ξ'。从而唯一性得证。

(3) 定理1⇒定理4(确界原理⇒Heine-Borel 有限覆盖定理)

证 设H是有闭区间[a , b ]的任一开覆盖。令

E ={c |[a , c ]可以被H有限覆盖，c ∈[a , b ]}。

因为a ∈[a , b ],∃U (a ) ∈H, ∍a ∈U ，所以U (a ) 必含有[a , b ]中的点x ≠a ，即U (a ) 覆盖

[a , x ]。即E ≠φ，且有上界b 。由确界原理知, ∃c =sup E , c ∈R 且c ≤b 。

下面证明c ∈E : 为此取开区间(α, β) ∈H, ∍c ∈(α, β) ，故∃x '∈E 使a

现证c =b : 若c

(4) 定理1⇒定理5(确界原理⇒Weierstrass 聚点原理)

证 设S 是直线上的有界无限点集，则由确界原理有η=sup S , ξ=inf S 。若η, ξ中有一点不是S 的孤立点，则显然就是S 的一个聚点。

否则，令E :={x ∈R S 中仅有有限个数小于x }。显然E 非空且有上界。令η'=sup E ，则由E 的构造方法可知，∀ε>0必有η'+ε∉E ，即S 中有无限个数小于η'+ε大于η'。所以(η'-ε, η'+ε) 中含有S 的无限个数，故η'是S 的聚点。

(5) 定理1⇒定理6(确界原理⇒Bolzano 致密性定理)

证 设{x n }是有界无穷数列，则由(4)的证明可知，{x n }有聚点。再由聚点的等价定义可知，在{x n }中存在点列以该聚点为极限。再将此收敛的点列作些技术性处理就可得到的一个收敛的子列。

(6) 定理1⇒定理7(确界原理⇒Cauchy 收敛准则)

证 设{x n }为Cauchy 基本列，则∀ε>0, ∃N >0, ∍m >n >N , 有x n -x m

n ∈N n ∈N

Case(1) 若η≠max{x n }或者ξ≠m i n x {n }不妨设。ξ≠m i n x {n }则∀ε>0, ∃N 使得ξn k +1) 使得 k 2

1ξ0, ∃K >0使得当k >K 时，2

有|x n k -ξ|0, ∃N 1=max{N , K }使得∀n >N 1有

|x n -ξ|≤|x n -x n k |+|x n k -ξ|

故x n →ξ, (n →∞) 。。

Case(2)若

E 1=E -{maxE ,min E }。若E 1有Case(1) 的条件，则可知{x n }收敛。否则令E 2=E -{maxE 1,min E 1}。依次递推，若∃E N 有Case(1)的条件成立，则可知{x n }收敛。否则∀n ∈N ，E N 有最大最小值，则得两个数列{a n }，a n =min E n 和{b n }，b n =max E n 。其中{a n }单增、{b n }单减且都有界。记a =sup{a n }，则 ∀ε>0, ∃N 2>0η=max{x n }且ξ=min{x n }，则令E ={x n }，，使得∀n >N 2，有a -ε

∀ε>0, ∃N 3=m a N x , N 2{}>0，使得∀n >N 3有 x n -a ≤x n -a N 3+a N 3-a

故当n →∞时{x n }收敛。

(7) 定理2⇒定理1(单调有界原理⇒确界原理)

证 设S 是非空有上界集合，不妨设S 中有一个正数。现构造函数列: Step(1) 由于S 有上界，所以S 中的数必有一个最大的整数部分，记为e 0。 记集合 E 0={x ∈S [x ]=e 0}，则∀x ∈E 0，有e 0≤x

Step(n) 设E n -1中第n 位小数中最大的为e n 记集合E n ={x ∈E n -1|x 的第n 位数为e n }，则

∀x ∈E n ，有e 0e 1 e n ≤x

从而得到一数列记为{x n }其中x n

n →∞=e 0e 1 e n ，且{x n }单增有上界，故由单调有界原理知{x n }收敛。不妨记为lim x n =e ，∀n 有e >e 0e 1 e n ，所以e 为S 的一个上界。

现证e =s u p S :因为∀ε>0, ∃N >0使得∀n >N 有e -ε

(8) 定理2⇒定理3(单调有界定理⇒Cantor 区间套定理)

证 因为[a n , b n ]⊃[a n +1, b n +1]，所以有

a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1

从而可见数列{a n }单增有上界，数列{b n }单减有下界故由单调有界定理可知

∃a ∈R 使得lim a n =a ，∃b ∈R 使得lim b n =b 。 n →∞n →∞且∀n ∈N 有a n ≤a , ∀n ∈N 有b ≤b n ，所以 a , b ∈[a n , b n ]，于是成立 0≤b -a ≤b n -a n 。

又因为lim (b n -a n ) =0，所以a =b 。记ξ=a =b ，从而存在性得证。 n →∞ (9) 定理2⇒定理4(单调有界原理⇒Heine-Borel 有限覆盖定理)

证(反证法) 假设闭区间[a , b ]有一个开覆盖H不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质P ： 不能用H中有限个开区间覆盖。

Step(1) 将[a , b ]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P ，不妨记该区间为[a 1, b 1]，则 [a 1, b 1]⊂[a , b ];

Step(2) 将[a 1, b 1]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P ，不妨记该区间为[a 2, b 2]，则 [a 2, b 2]⊂[a 1, b 1];

Step(n) 将[a n -1, b n -1]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P ，不妨记该区间为[a n , b n ]，则 [a n , b n ]⊂[a n -1, b n -1];

由此可得一个区间套{[a n , b n ]}且满足

b -a b n -a n =。 (3.1) n 2

所以{a n }为单增有上界数列，{b n }为单减有下界的数列。所以由有单调有界原理可知∃ξ1, ξ2∈R 使得l i m a n =ξ1，lim b n =ξ2。由(3.1)易知，n →∞n →∞ξ1=ξ2=ξ。从而∃U (ξ, ε) ⊂U ∈H，∃N >0, ∍n >N ，有[a n , b n ]⊂U (ξ, ε) ⊂U ∈H，这与[a n , b n ]具有性

质P 矛盾。这就证明了Heine –Borel 有限复盖定理。

(10) 定理2⇒定理5(单调有界原理⇒Weierstrass 聚点定理)

证 设E 是直线上的有界无限点集。容易证明结论一：

若E 无最大数，则从E 中去掉任意有限点集F 所得无限点集仍然无最大数。 现在我们从E 中挑选单调数列如下：

Case(1) 当E 无最大数时，由结论一知，对于∀x 1∈E ， ∃x 2∈E \{x 1} 使x 1

Case(2)当E 有最大数x 1时，考察E \{x 1}，若它无最大数， 则由Case(1) 讨论可得一个单调递增数列；若E \{x 1}有最大数x 2，显然有x 1≥x 2; 此过程可以无限继续下去，于是就从E 中找到了一个单减数列{x n }或单增数列。

由单调有界原理知，从E 中挑选单调数列{x n }有极限a 。再由聚点的等价定义知，E 至少有一个聚点a 。

(11) 定理2⇒定理6(单调有界原理⇒Bolzano 致密性定理)

证 设{x n }为一有界无穷点列，则对(10)的证明做点技术性处理，就是保证挑选的数列构成{x n }的子列即可。事实上因为每个{x n }\{x n 1, , x n k }都含有{x n }的无限多项，所以必存在x n k +1∈E k :={x n }\{x n 1, , x n k },x n k +1>x n k , n k +1>n k ，如果E k 无最大数。

(12) 定理2⇒定理7(单调有界原理⇒Cauchy 收敛准则)

证 设{x n }为一Cauchy 基本列，则易证{x n }有界，由(10) 和(11)的证明可知存在{x n }的一个子列{x n k }单调且有界，由单调有界原理可知，{x n k }有极限x 。参照的证明

就知道{x n }收敛。

(13) 定理3⇒定理l(Cantor区间套定理⇒确界原理)

证明：设S 是有上界集合，不妨设b 是的一个上界，取a ∈S 构造区间[a , b ]， 定义性质P : 闭区间E 满足∃x 1∈E , x 1∈S 且∃x 2∈E , x 2∉S 。

仿(9)的证明对[a , b ]按性质P ，用二等分法，可以构造出区间套{[a n , b n ]}，其中每个b n 为S 的上界。由Cantor 区间套定理知存在唯一的ξ∈[a n , b n ]且ξ为{b n }的一个下界为{a n }的一个上界，使得∀ε>0, ∃N >0, 当n >N 时，有[a n , b n ]⊂U (ξ, ε) 。 故∀ε>0, ∃a m ∈S (m >N ) 使得ξ-ε

(14) 定理3⇒定理2(Cantor区间套定理⇒单调有界原理)

证 设{x n }是单调递增有上界的数列，则存在一个区间[a , b ]，使得{x n }⊂[a , b ]，显然∀n ∈N ，有x n

仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质P 的区间套{[a n , b n ]}。故由Cantor 区间套定理可知，存在唯一的ξ∈[a n , b n ]且[a n , b n ]中包含{x n }中的无限多项。 由于{x n }是单调递增的，所以[a n , b n ]包含{x n }中某一项后的所有项。由于ξ为{x n }的一个上界，所以0≤ξ-x n ≤b n -a n →0, (n →∞) 。所以x n →ξ, (n →∞) 。

(15) 定理3⇒定理4(Cantor区间套定理⇒Heine-Borel 有限覆盖定理) 证(反证法) 假设闭区间[a , b ]有一个开覆盖H不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质P ： 不能用H中有限个开区间覆盖。

仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质P 的区间套{[a n , b n ]}。故由Cantor 区间套定理可知，存在唯一的ξ∈[a n , b n ]，从而∃U (ξ, ε) ⊂U ∈H，∃N >0, ∍n >N ，有[a n , b n ]⊂U (ξ, ε) ⊂U ∈H，这与[a n , b n ]具有性质P 矛盾。这就证明了Heine –Borel 有限复盖定理。

(16) 定理3⇒定理5(Cantor区间套定理⇒Weierstrass 聚点定理)

证 设S ={x }为直线上的有界无限点集，不妨设{x }⊂[a , b ]。

定义性质P : 含有S 中无限多个点。仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质P 的区间套{[a n , b n ]}且满足(3.1)。故由Cantor 区间套定理可知，存在唯一的ξ∈[a n , b n ]。由(3.1)从而可知，有[a n , b n ]⊂U (ξ, ε) 。即∀ε>0，∀ε>0, ∃N >0, ∍n >N ，

有U (ξ, ε) ⋂S 有无限点，所以ξ即为S 的一个聚点。

(17) 定理3⇒定理6(Cantor区间套定理⇒Bolzano 致密性定理)

证 设{x n }为有界数列，不妨设{x n }⊂[a , b ]。定义性质P :含有数列的无限多项。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质P 的区间套{[a n , b n ]}，且满足(3.1)。故由闭区间套定理可知存在唯一的ξ∈[a n , b n ]。

下证ξ是{x n }某个子列的极限。事实上因为每个[a n , b n ]都含有{x n }的无限多项，所以必存在x n 1∈[a 1, b 1]又存在x n 2∈[a 2, b 2]且n 1

∈[a k , b k ]。由 (3.1)易知x n →ξ, (k →∞) 。 k 于是得到一个子列{x n k }且有x n k

(18) 定理3⇒定理7(Cantor区间套定理⇒Cauchy 收敛准则)

证 设{x n }为Cauchy 基本列，即∀ε>0, ∃N >0, ∀n >N 有

|x n -x N |≤ε，即x n ∈[x N -ε, x N +ε]。

定义性质P : ∀ε>0, ∃N >0, ∀n >N 有x n ∈[x N -ε, x N +ε]。则

111 Step(1): 令ε=，则∃N 1使得[x N 1-, x N 1+]具有性质P ，不妨记此区间222

为[α1, β1]。

Step(2): 令ε=111∃N (>N ) [x -, x +]具有P ，不， 则使得21N 2N 2222222

妨记此区间为[α2, β2]。

Step(k): 令ε=111∃N (>N ) [x -, x +]具有P ，，则] 使得k k -1N k N k k k k 222

不妨记此区间为[αk , βk ]。

由此可得一闭区间套{[αn , βn ]}满足

(i) [αn , βn ]⊃[αn +1, βn +1]; (ii) (βn -αn ) =1; n 2

(iii) [αn , βn ]具有性质P ，即含有某个N >0后的所有项。

由闭区间套定理可知存在唯一的ξ∈[αn , βn ]。从而x n →ξ, (n →∞) 。

(19) 定理4⇒定理1(Heine-Borel有限覆盖定理⇒确界原理)

证 设S 是有上界的非空数集，则∃b ∈R 使得∀x ∈S 有x

反证法，假设S 没有上确界，则∀x ∈[a , b ],∃δ>0，使得U (x , δ) 满足条件：若x 是的上界，那么U (x , δ) 中的点都是S 的上界；若x 是S 中的点，那么U (x , δ) 中不存在S 的上界。从而得[a , b ]的一个开覆盖

H:={U (x , δ) x ∈[a , b ]}。 (3.2) 由Heine –Borel 有限覆盖定理知，存在H的一个有限子覆盖

H1:={U (x i , δi ) x i ∈[a , b ],i =1, 2, , k }。 (3.3) 因此必有一个， 不妨设为U (x 1, δ1) ，包含b 。因为b 是S 的一个上界，故U (x 1, δ1) 内的元素全是S 的上界。从而与U (x 1, δ1) 相交的H1中的邻域的点也必为S 的上界。依次类推下去，将有a 为S 的一个上界，这与a ∈S 矛盾，故S 具有上确界。

(20) 定理4⇒定理2(Heine-Borel有限覆盖定理⇒单调有界定理) 证 不妨设{x n }为单调递增的有上界的无限数列，即存在闭区间[a , b ]使得则{x n }⊂[a , b ]。若{x n }收敛于ξ，则必有ξ∈[a , b ]。

假设∀x ∈[a , b ]都不是{x n }的极限，则∃ε0>0使得∀k >0, ∃n k >0使|x n k -x |≥ε0，即x n k ≥x +ε0或者x n k ≤x -ε0。

Case(1) 若∃k , ∍

Case(2) 若∀k , ∍x n k ≥x +ε0，则U (x , ε0) 至多只含有{x n }有限多项。 x n k ≤x -ε0，则U (x , ε0) 也只能含有{x n }的有限多项，因为∀m >n k ，由n m >m 知x n m ≥x m ∉U (x , ε0) 。

综上可知U (x , ε0) 只含有{x n }的有限项。

因此，可得[a , b ]的一个开覆盖(3.2)记为H。由Heine-Borel 有限覆盖定理可知存在H的一个有限子覆盖(3.3)记为H1。因为H1中每一个U (x j , ε0j ) 中只含有{x n }的有限多个数，所以[a , b ]也只含有{x n }的有限多个数，这与{x n }⊂[a , b ]是无限数列矛盾。故必存在ξ∈[a , b ]是{x n }的极限。

(21) 定理4⇒定理3(Heine-Borel有限覆盖定理⇒Cantor 区间套定理) 证(反证法) 假设命题不成立，则∀x ∈[a , b ]:=[a 1, b 1],∃U (x , δ) 使得至少有一个

[a m , b m ]与U (x , δ) 不相交，那么∀n >m 有U (x , δ) ⋂[a n , b n ]=φ。从而得[a , b ]的一个

开覆盖(3.2)记为H。由Heine-Borel 有限覆盖定理可知存在H的一个有限子覆盖(3.3)记为H1，所以当n >N :=max {m 1, , m k }时，(⋃H1) ⋂[a n , b n ]=φ。这显然与(⋃H1) ⊃[a , b ]⊇[a n , b n ]矛盾。故假设错误，原命题成立。

(22) 定理4⇒定理5(Heine-Borel有限覆盖定理⇒ Weierstrass聚点原理) 证(反证法) 假设原命题不成立，则由于S 是直线上的有界无限点集，即存在闭区间[a , b ]，使得S ⊂[a , b ]， 所以∀x ∈[a , b ],∃U (x , δ), ∍U (x , δ) 只含S 中的有限多项。从而得[a , b ]的一个开覆盖(3.2)记为H。由Heine-Borel 有限覆盖定理可知存在H的一个有限子覆盖(3.3)记为H1。所以⋃H1只含有S 中的有限多个点，这显然与(⋃H1) ⊃S 是矛盾的, 故可知假设错误, 原命题成立。

(23) 定理4⇒定理6(Heine-Borel有限覆盖定理⇒Bolzano 致密性定理) 证(反证法) 设{x n }是有界无限数列，即∃a , b ∈R 使得{x n }⊂[a , b ]，假设{x n }中任一子列{x n k }(为方便起见，用{x n }表示该子列。由(10) 的证明可不妨设{x n }是单调递增子列) 都不收敛，则∀x ∈[a , b ]都不是{x n }的极限，即

N ∀x ∈[a , b ],∃ε0>0, ∀N >0, ∃n N >N 使得x n -x ≥ε0。则容易证明U (x , ε0) 含有

{x n }的有限多项。这是因为 x n N ∉U (x , ε0) ，∀m >n 1, 有x n 1≤x m ≤x n m 。

Case(1) 若x 属于{x n }的上界⇒x m ≤x n m ≤x -ε0⇒x m ∉U (x , ε0) ; Case(2) 若x 不属于{x n }的上界⇒x m -x ≥x n 1-x ≥ε0⇒x m ∉U (x , ε0) 。 从而得[a , b ]的一个开覆盖(3.2)记为H。由Heine-Borel 有限覆盖定理可知存在H的一个有限子覆盖(3.3)记为H1。所以⋃H1只含有{x n }中的有限多个点，这显然与(⋃H1) ⊃{x n }为无穷数列矛盾。故有界无穷数列必含有收敛子列。

(24) 定理4⇒定理7(Heine-Borel有限覆盖定理⇒Cauchy 柯西收敛准则) 证(反证法) 假设柯西列{x n }不收敛，易证{x n }为有界无穷数列。即存在闭区间

[a , b ]使得{x n }⊂[a , b ]。则∀x ∈[a , b ],∃U (x , δ), ∍U (x , δ) 使得U (x , δ) 中只含有{x n }中的有限多项(否则，若∀δ>0, U (x , δ) 都有{x n }中的无限多项，则易证{x n }收敛，这与假设矛盾) 。从而得[a , b ]的一个开覆盖(3.2)记为H。由Heine-Borel 有限覆盖定理可知存在H的一个有限子覆盖(3.3)记为H1。所以⋃H1只含有{x n }中的有限多个点，这显然与(⋃H1) ⊃[a , b ]⊃{x n }是矛盾的, 假设错误, 因此{x n }必收敛。

(25) 定理5⇒定理1(Weierstrass聚点原理⇒确界原理)

证 设S 是一个有上界数集，则∃b ∈R 使得∀x ∈S 有x 0, ∃N >0，使得b N ∈U (ξ, ε) 且b N >ξ。由于{b n }单调递减，则易证∀n >N 有

b n ∈U (ξ, ε) 。由于b n 都为S 的上界，所以ξ也为S 的上界。由(3.1) 易证a n →ξ, (n →∞) 。故∀ε>0, ∃N 1>0, ∀n >N 1有 a n ∈U (ξ, ε) 。从而可知，∀n >N +N 1, ∃x ∈S , ∍ x ∈[a n , b n ]⊂U (ξ, ε) 。即ξ-ε

(26) 定理5⇒定理2(Weierstrass聚点原理⇒单调有界定理)

证 不妨设{x n }是单调有上界无穷数列，即∃a , b ∈R ，使得{x n }⊂[a , b ]。故由Weierstrass 聚点原理可知∃ξ∈R , ∍ξ为{x n }的聚点，即∀ε>0, U (ξ, ε) 含有{x n }中的无限多项。由单调性易得知U (ξ, ε) 外最多有{x n }中的有限项，因此我们证明了x n →ξ, (n →∞) 。

(27) 定理5⇒定理3(Weierstrass聚点原理⇒Contor 区间套定理) 证 因为[a n , b n ]⊃[a n +1, b n +1]，所以{a n }为一单调递增有界数列。故仿上题证明，Weierstrass 聚点原理可知∃ξ∈R , ∍ξ为{a n }的聚点且a n →ξ, (n →∞) 。又由(3.1) ，{b n }单调递减易证b n →ξ, (n →∞) 。故有a n ≤ξ≤b n 。

(28) 定理5⇒定理4(Weierstrass聚点原理⇒Heine-Borel 有限覆盖定理) 证(反证法) 假设闭区间[a , b ]有一个开覆盖H不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质P ： 不能用H中有限个开区间覆盖。

仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质P 的区间套{[a n , b n ]}。故由Weierstrass 聚点原理可知∃ξ∈R , ∍ξ为{a n }⋃{b n }的一个聚点由Cantor 区间套定理可知，存在唯一的ξ∈[a n , b n ]，从而∃U (ξ, ε) ⊂U ∈H，∃N >0, ∍n >N ，有

[a n , b n ]⊂U (ξ, ε) ⊂U ∈H，这与[a n , b n ]具有性质P 矛盾。这就证明了Heine –Borel 有限复盖定理。

(29) 定理5⇒定理6(Weierstrass聚点原理⇒Bolzano 致密性定理) 证 设{x n }为有界无穷数列(若{x n }有无限多相等的项，则命题显然成立) 。Weierstrass 聚点原理可知，{x n }至少有一个聚点ξ∈R ，则由聚点的定义： Step(1) 令 ε=1，则∃x n 1∈U (ξ, ε1) {x n }且x n 1≠ξ。

1=min{,|x n 1-ξ|},∃x n 2∈U (ξ, ε2) {x n } 2Step(2) 令 ε2

且 x n 1≠x n 2, n 2>n 1。

Step(k) 令 εk

且 x n k 1=min{,|x n k -1-ξ|},∃x n k ∈U (ξ, εk ) {x n } k ≠x n i , i =1,2, k -1, n k >n k -1。

从而得到{x n }的子列{x n k }使得∀ε

1>0, ∃N =[]当k >N 时有x n k ∈U (ξ, εk ) 。即 ε

|x n k -ξ|

故 1

k →∞n k =ξ。

(30) 定理5⇒定理7(Weierstrass聚点原理⇒Cauchy 收敛准则) 证 不妨设{x n }是无穷Cauchy 基本列，即有∀ε>0, ∃N >0，使得∀m , n >N 有|x m -x n |

从而∀ε>0, ∀n >N , 任取U (ξ, ε) 中满ξ∈R , ∍∀ε>0, U (ξ, ε) 必含有{x n }的无限多项。

足m >N 的某项x m ，即可得到 x n -ξ≤x n -x m +x m -ξ

(31) 定理6⇒定理1(Bolzano致密性定理⇒确界原理)

证 仿(25)的证明。

(32) 定理6⇒定理2(Bolzano致密性定理⇒单调有界定理) 证 不妨设{x n }是单调有上界无穷数列。则由Bolzano 致密性定理可知{x n }存在一个收敛子列，其极限记为ξ∈R 。即知∀ε>0, U (ξ, ε) 含有{x n }的无限多项。由单调性易得知U (ξ, ε) 外最多有{x n }的有限项，因此我们证明了x n →ξ, (n →∞) 。

(33) 定理6⇒定理3(Bolzano致密性定理⇒Cantor 区间套定理) 证 因为[a n , b n ]⊃[a n +1, b n +1]，所以{a n }为一单调递增有界数列。故由Bolzano 致密性定理仿上题证明， ∃ξ∈R , ∍ a n →ξ, (n →∞) 。又由(3.1) ，{b n }单调递减易证b n →ξ, (n →∞) 。故有a n ≤ξ≤b n 。

(34) 定理6⇒定理4(Bolzano致密性定理⇒Heine-Borel 有限覆盖定理) 证(反证法) 假设区间[a , b ]不能被开覆盖 H 有限覆盖。

定义性质P : 不能被有限个开区间覆盖。

利用二等分法容易得到一个具有性质P 的区间套{[a n , b n ]}满足(3.1)。

b n }由于{a n }, {都是有界数列，故由Bolzano 致密性定理知，存在子列

{a n k },{b n k }，∃ξ1, ξ2∈R 使得 lim a

k →∞n k =ξ1，lim b k →∞n k =ξ2。由(3.1)易证

ξ1=ξ2=ξ∈[a , b ]。从而∃U (ξ, ε) ⊂U ∈H，∃K >0，使得

k k ∀k >K 有a n k , b n k ∈U (ξ, ε) 。从而[a n , b n ]⊂U (ξ, ε) ⊂U ∈H，这与[a n , b n ]具有性质P 矛盾。k k

这就证明了Heine –Borel 有限复盖定理。

(35) 定理6⇒定理5(Bolzano致密性定理⇒Weierstrass 聚点定理)

证 设S 为直线上有界无穷点集，则由Bolzano 致密性定理可知必存在一个序列{x n }，∃x ∈R 使得lim x n =x , 则x 即为S 的一个聚点。

n →∞

(36) 定理6⇒定理7(Bolzano致密性定理⇒Cauchy 收敛准则)

证 不妨设{x n }是无穷Cauchy 基本列，即有∀ε>0, ∃N >0，使得∀m , n >N 有|x m -x n |

列，其极限记为ξ∈R 。即知∀ε>0, U (ξ, ε) 含有{x n }的无限多项。从而∀ε>0, ∀n >N , 任取U (ξ, ε) 中满足m >N 的某项x m ，即可得到 x n -ξ≤x n -x m +x m -ξ

(37) 定理7⇒定理1(Cauchy收敛准则⇒确界原理)

证 设S 是一个有上界非空数集，则∃b ∈R 使得∀x ∈S 有x 0, ∃N >0, ∍n >N 时，有b n -a n n >N ，则有 a m -a n 0, ∃N 1>0, ∍n >N 1， 有 a n , b n ∈U (ξ, ε) 。由于b n 都为S 的上界，所以ξ也为S 的上界。从而可知，∀n >N 1, ∃x ∈S , ∍ x ∈[a n , b n ]⊂U (ξ, ε) 。即ξ-ε

(38) 定理7⇒定理2(Cauchy收敛准则⇒单调有界定理)

证 不妨设{x n }为单增有上界数列。假设{x n }无极限，Cauchy 收敛准则可知，

∃ε0>0, ∀N >0, ∃m >n >N , 但是 x n >x m +ε0。由N 的任意性，不难得到{x n }的一个严格单增的子列{x n k }，满足 x n k +1>x n k +ε0>x n k -1+2ε0> >x n 1+k ε0。由于ε0>0, k >0， 所以当k →∞时，有x n k +1→+∞。 这与{x n }为有界数列矛盾， 故{x n }收敛。

(39) 定理7⇒定理3(Cauchy收敛准则⇒Cantor 区间套定理)

证 设{[a n , b n ]}是Cantor 区间套。则由b n -a n →0, (n →∞ 可知，∀ε>0, ∃N >0, ∍n >N 时，有b n -a n n >N ，则有 a m -a n

(40) 定理7⇒定理4(Cauchy收敛准则⇒Heine-Borel 有限覆盖定理)

证(反证法) 假设闭区间[a , b ]有一个开覆盖H不能用它的任有限个开区间覆盖。

定义性质P ： 不能用H中有限个开区间覆盖。

仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质P 的区间套{[a n , b n ]}。仿(39)的证明可知，∃ξ∈R , ∍a n →ξ, b n →ξ, (n →∞) ，从而∃U (ξ, ε) ⊂U ∈H，∃N >0, ∍n >N ，有[a n , b n ]⊂U (ξ, ε) ⊂U ∈H，这与[a n , b n ]具有性质P 矛盾。这就证明了Heine –Borel 有限复盖定理。

(41) 定理7⇒定理5(Cauchy收敛准则⇒ Weierstrass聚点原理)

证 设S 为直线上有界点集，则∃a , b ∈R 使得S ⊂[a , b ]。

定义性质P : 至少含有S 中的无限多个点。

利用二等分法容易构造出具有性质P 的区间套{[a n , b n ]}满足(3.1) 。由性质P 任意挑选S 中不同的点构成的数列{x n }使得x n ∈[a n , b n ]。∀ε>0，由(3.1)和极限定义知，

由定义知{x n }是Cauchy 列。由Cauchy ∃N >0, ∍∀n >m >N 有 x n -x m

收敛准则知， ∃ξ∈R 使得 lim x n =ξ。从而可知ξ即为S 的一个聚点。

n →∞(42) 定理7⇒定理6(Cauchy收敛准则⇒Bolzano 致密性定理)

证 设{x n }为有界无限点集。则由(10)，(11)的证明，从{x n }中可抽出一单调有界子列。对该子列重复(38)的证明，可以得知该子列收敛，故{x n }必存在一个数列子列。

4. 定理8与前7个定理的互证

(43) 定理1⇒定理8(确界原理⇒ Dedekind准则)

证 设(A , A ') 是R 的一个划分，则A 为非空有上界数集，A '为非空有下界数集，

则由确界原理可知∃ξ1=sup A , ξ2=inf A '。若ξ1∈A 则A 有最大元，否则ξ1∈A '，则由上确界的定义可知，ξ1是A 所有上界中最小的，即ξ1=ξ2为A '的最小元。

(44) 定理2⇒定理8(单调有界定理⇒ Dedekind准则)

证 设(A , A ') 是R 的一个划分，因为A , A '非空，故∃a ∈A , ∃b ∈A '且a

构造区间[a , b ]。定义性质P : 存在一点属于A ，但区间的右端点属于A '。仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质P 的区间套{[a n , b n ]}且满足(3.1)。所以{a n }为

{b n }为单减有下界的数列。单增有上界数列，所以由有单调有界原理可知∃ξ1, ξ2∈R

使得lim a n =ξ1，lim b n =ξ2。由(3.1)易知，ξ1=ξ2=ξ。又由{a n }和{b n }的单调性可n →∞n →∞知∀n ∈N 都有a n ≤ξ≤b n 。不难证明ξ是A 的一个上界，且是A '的一个下界。若ξ∈A ，则显然ξ为A 的最大元，否则ξ∈A '，则同理ξ为A '的最小元．

(45) 定理3⇒定理8(Cantor区间套定理⇒ Dedekind准则)

证 仿上题的证明，构造出区间套{[a n , b n ]}，其中a n ∈A , b n ∈A '。则由区间套

定理可知，存在唯一的实数ξ∈[a n , b n ]，且lim a n =ξ=lim b n 。由{a n }和{b n }的单调n →∞n →∞性不难证明ξ是A 的一个上界，且是A '的一个下界，若ξ∈A ，则显然ξ为A 的最大元，否则ξ∈A '，则同理ξ为A '的最小元。

(46) 定理4⇒定理8(Hein-Borel有限覆盖定理⇒ Dedekind准则)

证(反证法) 因为A , A '非空，所以∃a ∈A , ∃b ∈A '，构造区间[a , b ]。假设A 无

最大元且A '无最小元，则∀x ∈[a , b ]，必存在U (x , δ) ，使得U (x , δ) A '=∅，或U (x , δ) A =∅(如若不然，即∃x 0∈[a , b ]，使得∀ε>0, U (x 0, ε) A ≠∅，且U (x 0, ε) A '≠∅，则由于A A '=R ，不难证明x 0或为A 的最大元或为A '的最小元) 。从而得[a , b ]的一个开覆盖(3.2)记为H。由Heine-Borel 有限覆盖定理可知存在H的一个有限子覆盖(3.3)记为H1。因此必有一个，不妨设为U (x 1, δ1) ，包含b 。因为b 不属于A ，故U (x 1, δ1) ⋂A =φ(定义为性质P ) 。从而与U (x 1, δ1) 相交的H1中的邻域也具有性质P 。依次类推下去，将有包含a 的H1中的邻域也应具有性质P ， 这与a ∈A 矛盾， 故或A 有最大元或A '。

(47) 定理5⇒定理8(Weierstrass聚点原理⇒ Dedekind准则)

证 仿(44) 的证明，构造出区间套{[a n , b n ]}，其中a n ∈A , b n ∈A '。由

Weierstrass 聚点原理可知，{a n }和{b n }都至少存在一个聚点分别记为ξ1, ξ2。容易证

得ξ1=ξ2=:ξ，则显然a n ≤ξ≤b n 。若ξ∈A ，则由b n 的取法可知，ξ为A 的最大元; 若ξ∈A '，则由a n 的取法可知，ξ为A '的最小元。

(48) 定理6⇒定理8(Bolzano致密性定理⇒ Dedekind准则)

证 仿(44) 的证明，构造出区间套{[a n , b n ]}，其中a n ∈A , b n ∈A '。由Bolzano

致密性定理可知，{a n }和{b n }各自至少存在一个收敛子列。又由于{a n }和{b n }单调，

{a n }和{b n }收敛于同一点ξ，容易证明{a n }和{b n }收敛。再由(3.1)可知，且a n ≤ξ≤b n

则不难证明ξ或为A 的最大元，或为A '的最小元。

(49) 定理7⇒定理8(Cauchy收敛准则⇒ Dedekind准则)

证 仿(44) 的证明，构造出区间套{[a n , b n ]}，其中a n ∈A , b n ∈A '。仿(44) 的证

明可知，{a n }和{b n }收敛于同一点ξ，且a n ≤ξ≤b n 。，则由{a n }，{b n }的单调性及lim(b n -a n ) =0，由柯西收敛准则易证{a n }，{b n }收敛于同一点ξ，仿(47) 的证x →∞明可知ξ或为A 的最大元，或为A '的最小元。

(50) 定理8⇒定理1(Dedekind准则⇒确界原理)

证明：设S 为有上界集合。若∃η∈S , ∍η为S 的上界，那么容易知道，η=sup S 。

否则，记S 的上界集为A '，令A =R \A '。显然S ⊆A ，且容易知道， (A , A ') 构成R 的一个分划。由Dedekind 准则和所定义的分化可知，A '必有最小元c 。若∃ε0>0，使得∀x ∈S 都有x ≤c -ε0，则c -ε0∈A '。因为c 是A '的最小元，所以c -ε0≥c 矛盾。故∀ε>0，∃x ∈S ，使得x >c -ε0，即c 为S 的上确界。

(51) 定理8⇒定理2(Dedekind准则⇒单调有界原理)

证 不妨设{x n }为单调递增有上界数列，记{x n }的所有上界为A '且A =R -A '，则不难证明(A , A ') 构成R 的一个分划，由Dedekind 准则和所定义的分化可知，A '必有最小元ξ。仿(44) 的证明可知，∀ε>0, U (ξ, ε) 含有数列{x n }中的数。由单调性易得知U (ξ, ε) 外最多有数列{x n }中的有限项，因此我们证明了x n →ξ, (n →∞) 。

(52) 定理8⇒定理3(Dedekind准则⇒Cantor 区间套定理)

证 记{a n }的上界集为A '，令A =R -A '，不难验证(A , A ') 为R 的一个分划，

则由Dedekind 准则可知，或者A 有最大元ξ1，或者A '有最小元ξ2。不妨设A 有最大元ξ1，则因为{b n }⊂A '，所以ξ1≤b n ，又因为{a n }⊂A 故a n ≤ξ1，从而有a n ≤ξ1≤b n 。

(53) 定理8⇒定理4(Dedekind准则⇒Heine-Borel 有限覆盖定理)

证(反证法) 假设闭区间[a , b ]有一个开覆盖H不能用它的任有限个开区间覆

盖。

定义性质P ： 不能用H中有限个开区间覆盖。

仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质P 的区间套{[a n , b n ]}。仿(52)的证明可知，∃ξ∈R , ∍ξ∈[a n , b n ]。从而由(3.1)可知，∃U (ξ, ε) ⊂U ∈H，∃N >0, ∍n >N ，有[a n , b n ]⊂U (ξ, ε) ⊂U ∈H，这与[a n , b n ]具有性质P 矛盾。这就证明了Heine –Borel 有限复盖定理。

(54) 定理8⇒定理5(Dedekind准则⇒ Weierstrass聚点原理)

证 设S 为直线上有界无限点集，则∃a , b ∈R ，使得S ⊂[a , b ]。

定义性质P : 含有S 中的无限个点。

仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质P 的区间套{[a n , b n ]}。仿(52)的证明可知，∃ξ∈R , ∍ξ∈[a n , b n ]。从而由(3.1)可知，∀ε>0, ∃N >0, ∍n >N ，有

[a n , b n ]⊂U (ξ, ε) 。由[a n , b n ]具有性质P 及聚点的定义可知，ξ即为S 的一个聚点。

(55) 定理8⇒定理6(Dedekind准则⇒Bolzano 致密性定理)

证 设{x n }为有界无穷点集。仿(11)的证明，可知{x n }存在一个单调子列。仿(51)

的证明，可知这子列收敛。这就证明了Bolzano 致密性定理。

(56) 定理8⇒定理7(Dedekind准则⇒Cauchy 收敛准则)

证明：设{x n }满足∀ε>0, ∃N >0, ∍∀m , n >N ，有|x m -x n |

界。仿(54) 证明的不难证明，∃ξ∈R 使得∀ε>0, U (ξ, ε) 中含有{x n }的无限多项，即∀ε>0, ∃m >N , ∍x m ∈U 0(ξ, ε) 。从而有

x n -ξ≤x n -x m +x m -ξ

故x n →ξ, (n →∞) 。

致谢 感谢学生叶飞、陈国锋、张静娴、陈丽红在撰写学位论文时作了大量的工

作，包括查阅文献、输入文本以及制作多媒体课件等。

参考文献

[1] 邝荣雨，薛宗慈，陈平尚，等. 微积分学讲义[M]. 北京：北京师范大学出版社，1989. KUANG Yurong,XUE Zongci,CHEN Pingshang,et al. Calculus Lecture[M].Beijing:

Beijing Normal University Press,1989.

[2] 刘玉璉，杨奎元，吕 凤. 数学分析讲义学习指导书[M]. 北京：高等教育出版社 ，

1987.

LIU Yulian,YANG Kuiyuan,LU Feng. Guide of Mathematical Analysis[M].Beijing:

Higher Education Press,1987.

[3] 陈纪修，於崇华，金 路. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，1999.

CHEN Jixiu, YU Chonghua, JIN Lu. Mathematical Analysis[M]. Beijing: Higher

Education Press,1999.

[4] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，1991.

Department of Mathematics of Eastern China Normal University.

Mathematical Analysis[M]. Beijing: Higher Education Press, 2001.

[5] 翟连林，姚正安．数学分析方法论[M]．北京：北京农业大学出版社，1992．

ZAI Lianlin, YAO Zheng-an. Method Theory of Mathematical Analysis[M]. Beijing: Beijing Agriculture University Press,1992.

[6] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993．

PEI Liwen. Problems and Methods of Mathematical Analysis[M]. Beijing: Higher Education Press,1993.

[7] 孙本旺, 汪浩主编．数学分析中的典型例题与解题方法[M]．长沙：湖南科技 出版社． 1981．

SUN Benwang, WANG Hao. Examples and Solving Problem Methods of

Mathematical Analysis[M]. Changsha: Hunan Science and Technology Press,1981.

[8] 王向东. 数学分析的概念与方法[M]. 上海：上海出版社,1980.

WANG Xiangdong. Conceptions and Methods of Mathematical Analysis[M].Shanghai: Shanghai Press,1980.

Equivalent Proofs for Real Basic Theorems

YUAN Wenjun

(School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangzhou 510405, China)

Abstract: In this paper we give the equivalent proofs of each other for eight real basic theorems.

Keywords: real basic theorems; equivalent; number sequence; limit; convergence CLC number: O 174.5 Document code: A