椭圆知识点复习
圆锥曲线
★知识网络★
第1讲 椭圆 ★知识梳理★ 1. 椭圆定义:
(1)第一定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a|F2F2|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 当当当
PF1PFPF1PFPF1PF
2
2aF1F22aF1F22aF1F2
时, P的轨迹为椭圆 ; ; 时, P的轨迹不存在;
时, P的轨迹为 以F1、F2为端点的线段
2
2
(2)椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0e1)的点的轨迹为椭圆
(利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化).
2.椭圆的方程与几何性质:
x
22
yb
22
3.点
x
22
P(x0,y0)
y
22
与椭圆a
1(ab0)
x
22
的位置关系:
1
x
22
b当a时,点P在椭圆外; 当a
4.直线与椭圆的位置关系
1
yb
22
时,点P在椭圆内; 当a
yb
22
1
时,点P在椭圆上;
直线与椭圆相交0;直线与椭圆相切0;直线与椭圆相离0 ★重难点突破★
重点:掌握椭圆的定义标准方程,会用定义法和待定系数法、坐标转移法、求椭圆的标准方程,能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用
难点:椭圆的几何元素与参数a,b,c的转换
重难点:运用数形结合,围绕“焦点三角形”,用代数方法研究椭圆的性质,把握几何元素转换成参数a,b,c的关系
1.要有用定义的意识
x
2
问题1已知则AB
F1、F2
为椭圆25
y
2
9
1
的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点若
F2AF2B12
,
=______________。 ABF2
AB
的周长为4a20,=8
[解析]
2.求标准方程要注意焦点的定位
x
2
问题2椭圆4
y
2
m
1
1
的离心率为2,则m
4m
12
m3
[解析]当焦点在x轴上时,
2
;
m4
当焦点在y轴上时,
m
163或3
m
12
m
163,
综上
★热点考点题型探析★
考点1 椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是
A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)ACA,此时小球经过的路程为2(a-c); (2)ABDBA, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)APBQA此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面
题型2 求椭圆的标准方程
[例2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为42-4,求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来
x
22
[解析]设椭圆的方程为a
yb
22
1
x
22
或b
ya
22
1(ab0)
,
bc
ac4(21)a2b2c2
则,
x
2
解之得:a42,b=c=4.则所求的椭圆的方程为32
y
2
16
1
x
2
或16
y
2
32
1
.
【名师指引】准确把握图形特征,正确转化出参数a,b,c的数量关系. [警示]易漏焦点在y轴上的情况. 考点2 椭圆的几何性质
题型1:求椭圆的离心率(或范围)
A30,|AB|2,SABC
[例3 ] 在△ABC中,
3
.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的
离心率e .
【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率
SABC
12
|AB||AC|sinA
3
[解析] ,
|AB||AC|2|AB||AC|cosA22232
312
2
2
|AC|23
,
|BC|
e
|AB||AC||BC|
【名师指引】(1)离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量,决定了椭圆的形状;反之,形状确定,离心率也随之确定
(2)只要列出a、b、c的齐次关系式,就能求出离心率(或范围) (3)“焦点三角形”应给予足够关注 题型2:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)
x
2
[例4 ] 已知实数
x,y
2
满足4
2
y
2
2
1
,求
xyx
22
的最大值与最小值
【解题思路】 把
x
2
xyx
2
看作x的函数
12x
2
[解析] 由4
2
2
y
2
1y2
2
得,
12
x02x2
2
2
xyx
12
2
xx2
2
12
(x1)3
2
32
,x[2,2]
2
2
当x1时,xyx取得最小值2,当x2时,xyx取得最大值6 【名师指引】注意曲线的范围,才能在求最值时不出差错 考点3 椭圆的最值问题
题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值
x
2
2
[例5 ]椭圆16
y
2
9
1
上的点到直线l:xy90的距离的最小值为___________.
【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数
[解析]在椭圆上任取一点P,设P(4cos,3sin). 那么点P到直线l的距离为: |4cos3sin12|
22
|5sin()9|
1
22
22. y
【名师指引】也可以直接设点P(x,y),用x表示有“函数思想”
考点4 椭圆的综合应用
题型:椭圆与向量、解三角形的交汇问题
后,把动点到直线的距离表示为x的函数,关键是要具
[例6 ] 已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为
0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,
直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且AP3PB. (1)求椭圆方程;
(2)求m的取值范围.
【解题思路】通过AP3PB,沟通A、B两点的坐标关系,再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式
C:
ya
22
[解析](1)由题意可知椭圆C为焦点在
y
xb
22
1(ab0)
轴上的椭圆,可设
222
由条件知a1且bc,又有abc,解得
a1,bc
2
故椭圆C
的离心率为
e
ca
2,其标准方程为:
y
2
x
2
12
1
(2)设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
y=kx+m 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0 2x2+y2=1
Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) x1+x2=
-2kmm2-1
x1x2= k2+2k2+2
x1+x2=-2x22x1x2=-3x2
∵AP=3PB ∴-x1=3x2 ∴
-2kmm2-1
消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴32+4=0
k2+2k2+2整理得4k2m2+2m2-k2-2=0
2-2m211
m2=m2≠k2=
444m2-1
2-2m211因λ=3 ∴k≠0 ∴k2,∴-1
4m2-122
容易验证k2>2m2-2成立,所以(*)成立
11
即所求m的取值范围为(-1,-1)
22
【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一,应充分重视向量的功能