第二章 随机变量及其概率分布
第二章 随机变量及其概率分布
本章学习要点
① 理解随机变量的概念,理解分布函数的概念及其性质,会计算与随机变量相联系的事
件的概率; ② 理解离散型随机变量及其概率分布律的概念,掌握0−1分布、二项分布、泊松分布、
几何分布、超几何分布及其应用;
③ 了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松定理近似表示二项分布;
④ 理解连续性随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其
应用;
⑤ 会求随机变量函数的分布.
§2.1 知识点考点精要
一、随机变量及其分布函数
1、随机变量
如果对于每一个ω∈Ω,都有唯一的实数X(ω)与之 设随机试验E的样本空间为Ω,对应,则称X=X(ω)为随机变量.
如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可数无穷多个,则称X为离散型随机变
量,否则称为非离散型随机变量.研究随机变量,不仅要知道它能够取得哪些值,更重要的是要知道它的取值规律,即取到相应值的概率.随机变量的取值及其取值规律之间的对应关系称为随机变量的概率分布. 2、随机变量的分布函数
设X是一个随机变量, x为任意实数,函数
F(x)=P{X≤x}, −∞
称为随机变量X的分布函数. 3、随机变量分布函数的性质
① 单调性 若x1
F(−∞)=limF(x)=0,F(+∞)=limF(x)=1.
x→−∞
x→+∞
③ 右连续性 对任意实数x,有 F(x+0)=F(x).
④ 对于任意实数x1,x2x1
第二章 随机变量及其概率分布
二、离散型随机变量
1、 离散型随机变量及其分布律
如果离散型随机变量X的所有可能取值为xk(k=1,2, ),并且X取到各个可能值的概率为P{X=xk}=pk (k=1,2, )则称为离散型随机变量X的概率分布律,简称为分布律.
2、 离散型随机变量分布律的性质
①pk≥0,k=1,2, ; ②
∑p
k
k
=1.
离散型随机变量分布函数与分布律之间的关系为 F(x)=P{X≤x}=
xk≤x
∑P(X=x
k
)=
xk≤x
∑p
k
3、几种重要的离散型随机变量及其分布律
① 0−1分布
如果随机变量X只可能取0和1两个值,其分布律为
P{X=k}=pk(1−p)
1−k
, k=0,1,0
则称随机变量X服从参数为p的(0-1)分布(或两点分布). ② 二项分布B(n,p)
在n重伯努利试验中,设P(A)=p(0
k
P{X=k}=Cknp(1−p)
n−k
,k=0,1, ,n.
,记作X~B(n,p). 则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布(或伯努利分布)
【评注】1 进行一次试验,若试验的成功率为p(0
X服从参数为p的0−1分布;
若每次试验成功率为p(0
立重复的试验,则试验成功总次数X服从二项分布;
3 如果X服从二项分布B(n,p),则Y=n−X服从二项分布B(n,1−p).
00
概率论与数理统计全程学习指导
③ 泊松(Poisson)分布P(λ)
如果随机变量X所有可能取值为0,1,2, ,并且
λk−λ
P{X=k}=e , k=0,1,2, ,
k!
其中λ>0为常数,则称随机变量X服从参数为λ的泊松分布,记作X~P(λ). ④ 几何分布G(p)
设试验E只有两个对立的结果A与A,并且P(A)=p,P(A)=1−p,其中0
P{X=k}=(1−p)k−1p,k=1,2,3,
则称X服从参数为p的几何分布,记作X~G(p). ⑤超几何分布H(n,M,N)
口袋中有N个产品,其中M个为次品,从中不放回地抽取n(n≤N)个产品(或一次取出n个产品),用X表示取到的次品数,则X的分布律为
n−k
CkMCN−M
P{X=k}=,k=0,1,2, ,l=min(n,M) .
CnN
则称X服从超几何分布,记作X~H(n,M,N). 4、泊松定理
设Xn(n=1,2, )为随机变量序列,并且Xn~B(n,pn)(n=1,2, ).若limnpn=λ
n→∞
(λ>0为常数),则有
limP{Xn=k}=limCp(1−pn)
n→∞
n→∞
k
n
kn
n−k
=
λk
k!
e−λ,k=0,1,2, .
当n很大(由于limnpn=λ,所以pn必定较小)时,有下面的近似公式
n→∞
P{Xn=k}=Cp(1−pn)knkn
n−k
≈
λk
k!
e−λ,k=0,1,2, ,n
即二项分布可以用泊松分布近似表达.
在实际计算时,当n较大p相对较小而np比较适中(n≥100,np≤10)时,二项分
第二章 随机变量及其概率分布
布B(n,p)就可以用泊松分布P(λ)(λ=np)来近似代替.
三、连续型随机变量
1、连续型随机变量及其概率密度
设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数f(x),使得对任意实数x,都有
F(x)=
∫
x
−∞
f(t)dt
则称X为连续型随机变量,并称函数f(x)为X的概率密度函数(或分布密度函数),简称为概率密度(或分布密度),常记作X~f(x). 2、连续型随机变量概率密度的性质
①f(x)≥0; ②
∫
+∞
−∞
f(x)dx=1;
③ 对于任意实数a,b(a
∫
b
a
f(x)dx;
【评注】 1 从连续型随机变量的定义可知,F(x)是(−∞,+∞)上的连续函数,对于任意x,有P{X=x}=F(x)−F(x−0)=0,而离散型随机变量的分布函数有有限或可列个间断点,其图形呈阶梯型;
2 概率密度f(x)一定非负,但可以大于1,而离散型随机变量的概率分布律pi不仅非负且一定不大于1;
3 对于任意两个实数a
00
P{a
=P{a
如果连续型随机变量X的概率密度为
∫
b
a
f(x)dx.
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⎧1
,a
f(x)=⎨b−a
⎪⎩0,其他.
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记作X~U[a,b].X的分布函数为
x
F(x)=⎨ ,a≤x
⎪b−a
x≥b.⎪⎩1,
【评注】如果X~U[a,b],那么对于满足a≤c
如果连续型随机变量X的概率密度为 ⎧⎪λe−λx,
f(x)=⎨
⎪⎩0,
d−c
. b−a
x>0, x≤0,
其中λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指数分布,记作X~E(λ).X的分布函数为
⎧1−e−λx,x≥0,
F(x)=⎨
x
【评注】1 指数分布常用作描述一些电子元件的使用寿命,对于任意x>0,有
P{X>x}=e−λx;
2 指数分布具有无记忆性,即当s,t均大于0时,P{X>s+t|X>s}=P{X>t}. ③正态分布N(μ,σ)
如果连续型随机变量X的概率密度为
− f(x)=
(x−μ)22σ0
2
,−∞
2
,其中μ,σ(σ>0)为常数,则称X服从参数为μ,σ的正态分布(或高斯(Gauss)分布)记作X~N(μ,σ).X的分布函数为
2
F(x)=
x
−∞
e
−
(t−μ)22σdt ,−∞
第二章 随机变量及其概率分布
特别地,如果μ=0,σ=1,则称X服从标准正态分布,记作X~N(0,1),它的概率密度函数与分布函数分别为
ϕ(x)=
−
x22
,−∞
t22
Φ(x)=
2
x
−∞
edt ,−∞
X−μ
~N(0,1),且
−
【评注】1 若X~N(μ,σ), 则U=
σ
μ−X
~N(0,1); σ
20 若X~N(μ,σ2),则它的分布函数F(x)可以写成 F(x)=P{X≤x}=PX−μ
σ
≤
x−μ
σ
=P{U≤
x−μ
σ
=Φ(
x−μ
σ
),从而对于任意实数
a,b(a
P{a
b−μ
σ
−Φ(
a−μ
σ
;
2
且Xi∼N(μi,σi),则对于不全为0的常数a1,a2, ,an,30 若X1,X2, ,Xn相互独立,
n
n
n
有
∑aX
ii=1
i
∼N(∑aiμi,∑ai2σi2);
i=1
i=1
n
4 若X1,X2, ,Xn相互独且都服从标准正态分布N(0,1),则∑Xi2∼χ2(n).
i=1
四、随机变量函数的分布
1、离散型随机变量函数的分布律
一般地,设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk ,k=1,2, 记yk=g(xk)(k=1,2, ).如果函数值yk互不相等,Y=g(X)的分布律为
P{Y=yk}=pk ,k=1,2, .
如果函数值yk(k=1,2, )中有相等的情形,把Y取这些相等的数值的概率相加,作为
Y取该值的概率,便可得到Y=g(X)的分布律.
2、连续型随机变量函数的概率密度 ①分布函数法
设X为连续型随机变量,函数Y=g(X)也是连续型随机变量,计算Y的概率密度,
概率论与数理统计全程学习指导
通常是根据X的概率密度fX(x),求出Y=g(X)的分布函数
FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=
g(x)≤y
∫
fX(x)dx −∞
然后通过求导数得到Y=g(X)的概率密度,这种方法称为分布函数法.
② 公式法
,其概率密度为fX(x),函数设随机变量X的取值范围为(a,b)(可以是无穷区间)
y=g(x)是处处可导的严格单调函数,它的反函数为x=h(y),则随机变量Y=g(X)的
概率密度为
⎧⎪f[h(y)]h′(y),
fY(y)=⎨X
0,⎪⎩
α
其他,
其中 α=min{g(a),g(b)},β=max{g(a),g(b)}.
§2.2
经典例题解析
基本题型Ⅰ 随机变量分布函数的定义及其性质
⎧0,⎪⎪⎪
【例2.1】 (89.4.3)设随机变量X分布函数为F(x)=⎨Asinx,
⎪⎪1,⎪⎪⎩
π
则A=______________;P{|X|
6
【分析】由分布函数的右连续性,F⎜⎜处连续,因此P{X=
x
,
⎛π⎞⎛π⎞π⎜x=F,得到A=1,又由F(x)在+0⎟=⎟⎜⎟⎜⎜2⎠⎝2⎠⎝6
π
=0,于是 6
πππππππ1
P{|X|
66666662
⎧x
5
P{−1
8
第二章 随机变量及其概率分布
1, 851
又P{X=−1}=P{−1
84
33
F(1−0)=F(1)−P{X=1}=,即a+b=,
44
57
解得 a=,b=.
1616
【解】由分布函数的右连续性,有F(−1+0)=F(−1),即−a+b=
【例2.3】(98.3.3)设F1(x)与F2(x)分别是随机变量X1与X2的分布函数,为使
F(x)=aF1(x)−bF2(x)为某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 【 】 3222
(A) a=,b=− . (B) a=,b=.
55331313
(C) a=−,b=. (D) a=,b=−.
2222
【分析】由分布函数的性质limF(x)=1,有
x→+∞
1=limF(x)=F(+∞)=aF1(+∞)−bF2(+∞)=a−b
x→+∞
在给定的四个答案中,只有(A)满足a−b=1. 选(A).
【例2.4】(97.3(4).7)假设随机变量X的绝对值不大于1,且P{X=−1}=
1
, 8
1
P{X=1}=;在事件{−1
4
件概率与该区间长度成正比,求X的分布函数.
1
【解】依题意,当x
8
5
当x≥1,F(x)=1,且P{−1
8
当−1
P{−1
=P{−1
5x+15x+5
=
8216
15x+55x+7
. +=
81616
此时,F(x)=P{X≤x}=P{X≤−1}+P{−1
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⎧0,⎪⎪⎪⎪5x+7
F(x)=⎪,⎨
⎪16⎪⎪⎪⎪⎩1,
x
−1≤x
基本题型Ⅱ 离散型随机变量的分布律及几种常见的离散型随机变量 【例2.5】 若pk=
b
(k=1,2, )为离散型随机变量的概率分布律,则常数b
k(k+1)
1
(A) 2 . (B) 1 . (C) . (D) 3. 【 】
2
【分析】离散型随机变量的概率分布律必须满足
∞
b
=1,即 ∑(1)+kkk=1
∞
n
⎛1⎛b1⎞1⎞⎜⎜blimblim1=−=−=b=1 ∑∑⎜⎜⎜⎜nn→∞→∞⎝n+1⎠k+1⎠k=1k(k+1)k=1⎝k
选(B).
(k=1,2, ),且α>0,则β 【例2.6】设随机变量X的分布律为P{X=k}=αβ
k
(A)
11
. (B)大于0的实数. (C) . (D) α+1 【 】 α−1α+1
【分析】由1= 选(C).
∑αβk=
k=1
∞
αβ1
,有β=.
α+11−β
【例2.7】随机变量X服从泊松分布,且P{X=1}=P{X=2},则P{X=4}=____.
【分析】设泊松分布的参数为λ,依题意,λe
−λ
λ2−λ
=e,因此λ=2,λ=0(舍), 2!
24−22−2
于是P{X=4}=e=e.
4!3
【例2.8】(95.3.8)假设一厂家生产的每台仪器以概率为0.70可以直接出厂,以概率
0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂,以概率0.20定位不合格不能出厂,现该厂新生产了n(n≥2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求 (1)全部能出厂的概率α;
(2)其中恰好有两件不能出厂的概率β;
第二章 随机变量及其概率分布
(3)其中至少有两件不能出厂的概率θ.
,B表示“仪器能出厂”,表示“仪器能直接出厂”,AB【解】设A表示“仪器需调试”表示“仪器经调试后能出厂”.依题意,
B=+AB,P(A)=0.3,P(B|A)=0.8
P(AB)=P(A)P(B|A)=0.3×0.8=0.24. P(B)=P(+P(AB)=0.7+0.24=0.94
设随机变量X为所生产的n台仪器中能出厂的台数,则X为n次独立试验成功(仪器能出厂)的次数,服从参数为n,0.94的二项分布,即X∼B(n,0.94),因此
(1)α=P{X=n}=(0.94); (2)β=P{X=n−2}=Cn⋅(0.94)
2n
n−2
⋅(0.06)2;
(3)θ=P{X≤n−2}=1−P{X=n−1}−P{X=n} =1−Cn⋅(0.94)
1
n−1
⋅0.06−(0.94)n=1−0.06n(0.94)n−1−(0.94)n
【例2.9】现有同类型设备300台,各台独立工作,发生故障的概率都是0.01,1台设备
的故障可由1人处理,求
(1)至少配备多少维修工人才能使发生故障不能及时维修的概率小于0.01? (2)若1人承包维修20台,不能及时维修的概率有多大? (3)若3人承包80台呢?
(相当于300次独立试验,【解】(1)设随机变量X表示“同时发生故障的机器台数”因此,X∼B(300,0.01),np=3,由泊松定理,X近似服从参数为3的泊松分布,即
X∼P(3)若配备m个维修工人,不能及时维修意味着X>m,应满足
0.01>P{X>m}=
k=m+1
∑C
∞
k
n
p(1−p)
k
n−k
3k−3
≈∑ k=m+1k!
∞
查表得m=8,即配备8个维修工人可满足要求.
(2)设Y为20台设备中同时发生故障的台数,Y∼B(20,0.01),不能及时维修意味着
Y≥2,因此
P{Y≥2}=1−P{Y
(3)设Z为80台设备中同时发生故障的台数,Z∼B(80,0.01),不能及时维修意味着
20
19
Z≥4,由泊松近似
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0.8k−λ
P{Z≥4}≈∑≈0.0091
k!k=4
基本题型Ⅲ 连续型随机变量的概率密度及几种常见的连续型随机变量
∞
⎧Ax⎪⎪,x>0,⎪4
【例2.10】设随机变量X的概率密度为f(x)=⎨(1+x),则A= 【 】
⎪⎪x≤0.⎪⎪⎩0,5
(A) 3. (B) 6. (C) . (D) 4.
2
【分析】由概率密度的性质
1=∫
选(B).
+∞
−∞
f(x)dx=∫
+∞
AxA
= (1+x)46
【例2.11】(02.4.3)设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则 【 】
(A)f1(x)+f2(x)必为某随机变量的概率密度. (B) f1(x)f2(x)必为某随机变量的概率密度. (C)F1(x)+F2(x)必为某随机变量的分布函数. (D)F1(x)F2(x)必为某随机变量的分布函数.
【分析】由概率密度和分布函数的性质 对于(A),由于
+∞
∫
−∞
(f1(x)+f2(x))dx=2≠1,不对;
对于(C),由于F1(+∞)+F2(+∞)=1+1=2≠1,不对; 对于(B),若f1(x)=⎪⎨
⎧⎧⎪1,−2
⎪⎪其他.其他.⎪⎪⎩0,⎩0,
+∞−∞
f1(x)f2(x)=0,∫
f1(x)f2(x)dx=0≠1,(B)不对;
用排除法选(D).进一步,若令X=max{X1,X2},X1∼f1(x),X2∼f2(x),则X的分布函数为F1(x)F2(x),事实上,
F(x)=P{max{X1,X2}≤x}=P{X1≤x,X2≤x}
第二章 随机变量及其概率分布
=P{X1≤x}P{X2≤x}=F1(x)F2(x).
⎧0≤x≤1,⎪⎪⎪
【例2.12】(00.3.3)设随机变量X的概率密度f(x)=⎨29,3≤x≤6,若使得
⎪⎪其他.⎪⎪⎩0,
2
P{X≥k}=,则实数k的取值范围是_________.
3
622
【分析】当kP{X≥1}=∫dx=;
393
2
当k>3时,P{X≥k}
3
2
当1≤k≤3时,P{X≥k}=P{k≤X
3
因此,实数k的取值范围是[1,3].
【例2.13】 (10.3.4)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[−1,3]上均匀分
⎧af1(x),x≤0,⎪⎪(a>0,b>0)为概率密度,则a,b应满足【 】 布的概率密度,若f(x)=⎨⎪>(),0.bfxx⎪⎩2
(A)2a+3b=4. (B)3a+2b=4.
(C)a+b=1. (D)a+b=2.
⎧⎪4,−1≤x≤3,−x2
【分析】
因f1(x)=ϕ(x)=, f2(x)=⎪ ⎨
⎪其他0,.⎪⎩
2
∫
+∞
−∞
f(x)dx=∫
−∞
af1(x)dx+∫
−x22
+∞
bf2(x)dx
3
=∫
因此, 2a+3b=4. 选(A).
dx+∫
ba3b
dx=+=1. 424
【例2.14】(06.3.4)设随机变量X服从正态分布N(μ1,σ1),随机变量Y服从正态分布N(μ2,σ2),且P{|X−μ1|P{|Y−μ2|
2
2
(A) σ1σ2. (C)μ1μ2.
【分析】 依题意,
X−μ1Y−μ2
∼N(0,1),∼N(0,1). σ1σ2
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|X−μ1|1|Y−μ2|1
P{|X−μ1|
σ1σ1σ2σ2
由P{|X−μ1|P{|Y−μ2|
P
所以
11
>,σ1
选(A).
【例2.15】设连续型随机变量的分布函数为
⎧0,⎪⎪⎪⎪x
F(x)=⎪⎨A+Barcsin,
⎪a⎪⎪⎪1,⎪⎩
求(1)常数A,B; (2)X的概率密度;
x≤−a,
−a
x>a
a2
=0有实根个概率. (3)关于x的方程x+Xx+16
2
⎧⎪A+Barcsin(−1)=0,
【解】(1)由分布函数在x=±a处的连续性,有⎪,得到 ⎨
⎪ABarcsin11+=⎪⎩11
A=,B=.
π2
⎧0,⎪⎪⎪⎪11x
(2)由于F(x)=⎪+arcsin,⎨
⎪2πa⎪⎪⎪1,⎪⎩
x≤−a,
−a
x>a
⎧|x|
的概率密度为 f(x)=
0,|x|≥a.⎪⎪⎩
a2a22
=0有实根,则X−≥0,因此,方程有实根的概率为 (3)方程x+Xx+164
2
+∞a2aa2
P{X≥=P{X≥+P{X≤−=∫af(x)dx+∫2f(x)dx
−∞4222
a
第二章 随机变量及其概率分布
=
∫
aa2
∫
−
a2
−a
=
2. 3
【例2.16】某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命都服从同一指数分布,
x⎧−⎪1⎪e600,x>0,⎪概率密度为f(x)=⎨600,求仪器使用最初200小时内,至少有一只电子元
⎪⎪x≤0.0,⎪⎪⎩
件损坏的概率.
【解】设每只电子元件的寿命为X,由于事件“仪器使用最初200小时内电子元件损
,则 坏”等价于事件“X≤200”
P{X≤200}=1−e
−
200
600
=1−e.
−13
−
13
再设Y表示“在仪器使用的最初200小时内电子元件损坏的数目”,则Y∼B(3,1−e所求概率为
α=P{Y≥1}=1−P{Y=0}=1−[1−(1−e
−1
3
),
)]3=1−e−1.
【例2.17】设某单位每天每人工资(单位:元)服从正态分布,且μ=3.25,σ=0.5,求:(1)每天工资介于2.71元与3.69元之间的员工所占的比例; (2)其最高工资的5%部分中最小工资数.
【解】设X表示“员工单位每天每人工资数”,依题意,X∼N(3.25,(0.5)). (1)所求概率为
P{2.71≤X≤3.69}=Φ(
2
3.69−3.252.71−3.25
)−Φ(
0.50.5
=Φ(0.88)−Φ(−1.08)=Φ(0.88)−[1−Φ(1.08)] =0.8106−(1−0.8599)=0.6705.
(2)设最高工资的5%部分中的最少工资为u0,依题意,有P{X≥u0}=0.05,即
P{X≥u0}=1−P{X
从而Φ(
u0−3.25
=0.05. 0.5
u0−3.25
)=0.95,查表Φ(1.645)≈0.95,因此,u0=4.0725. 0.5
2
【例2.18】设测量的随机误差X∼N(0,10),试求在100次独立重复试验中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率为α,并利用泊松公式求出α的近似值. 【解】 依题意,每次测量误差的绝对值大于19.6的概率为 p=P{|X|>19.6}=P{
|X|
>1.96}=0.05 10
设Y表示“在100次独立重复的试验中,误差的绝对值大于19.6出现的次数”,则
概率论与数理统计全程学习指导
Y∼B(100,0.05),所求的概率为
α=P{Y≥3}=1−P{Y
=1−(0.95)
100
12−C100×(0.95)99×0.05−C100×(0.95)98×(0.05)2.
由泊松定理,Y近似服从参数为λ=np=100×0.05=5的泊松分布,即
P{Y=k}=C(0.95)×(0.05)
k
100
k
100−k
5k−5≈e. k!
因此 α=1−e
−5
−5e−5−
25−5
e≈0.87. 2
基本题型Ⅳ 随机变量函数的分布
2
求函数Y=X的分布律
【分析】Y=X的所有可能值为0,1,4,取值的概率分别为
2
212,,. 555
⎛0
2
因此,函数Y=X的分布律为Y∼⎜2
⎜⎜⎝51154⎞⎟2⎟. ⎟5⎠
1
(k=1,2, ),求k2
【例2.20】设随机变量X的概率分布律为P{X=k}=
π
Y=sin(X)的概率分布.
2
⎧−1,k=4n−1,⎪⎪kπ⎪
【分析】由于sin=⎨0,k=2n,(n=1,2, ),
⎪2⎪⎪⎪⎩1,k=4n−3.
π
所以,Y=sin(X)只有3个可能取值−1,0,1,取值的概率分别为
2
P{Y=−1}=P{X=3}+P{X=7}+P{X=11}+ =
111112+++ =⋅=. 232721181−15
P{Y=0}=P{X=2}+P{X=4}+P{X=6}+
第二章 随机变量及其概率分布
=
111111+++ =⋅=. 24622241−43
P{Y=1}=P{X=1}+P{X=5}+P{X=9}+ =
111118
+++ =⋅=. 15922221−15
因此,Y的分布律为
⎛−101⎞
Y∼⎜218⎟.
⎜⎟⎜⎟⎝15315⎠
【例2.21】 (95.4.7)设随机变量X服从参数为2的指数分布,证明:Y=1−e区间(0,1)上服从均匀分布. 【分析】 要证明Y=1−e
−2X
−2X
在
在区间(0,1)上服从均匀分布,只需证明Y的概率密度为
⎧0,⎪⎪⎧1,0y1,
,或证明Y的分布函数为FY(y)=⎨y,fY(y)=⎪⎨
⎪⎪其他.⎪⎩0,⎪⎪⎪⎩1,
【证法一】y=1−e区间(0,1)内有h′(y)=
−2x
y
是(0,+∞)上单调函数且有反函数x=h(y)=−
ln(1−y)
,在2
1
≠0,应用单调函数公式,Y的概率密度为
2(1−y)
⎧1⎪−2h(y)e2,0
因此,Y=1−e
−2X
在区间(0,1)上服从均匀分布.
【证法二】(分布函数法)
当y≤0时,FY(y)=0; 当y≥1时,FY(y)=1;
当00, 因此
FY(y)=P{Y≤y}=P{1−e
−2X
1
2
1
≤y}=P{X≤−ln(1−y)}
2
1
−2[−ln(1−y)]12
=FX[−ln(1−y)]=1−e=y.
2
概率论与数理统计全程学习指导
得到Y=1−e
−2X
的分布函数为
⎧0,y≤0,⎪⎪⎪
FY(y)=⎨y,0
⎪⎪y≥1.⎪⎪⎩1,
因此,Y=1−e
−2X
在区间(0,1)上服从均匀分布.
【例2.22】(02.3.8)假设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布,平均无故障工作时间E(X)为5小时,设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机,求该设备开机无故障工作时间Y的分布函数.
依题意EX=【解】 设X的分布参数为λ,
11
=5,因此, λ=,易见Y=min{2,X},
5λ
当y
当0≤y
−y.
⎧0,y
于是,Y的分布函数为 F(y)=⎨1−e,0≤y
⎪⎪y≥2.⎪⎪⎩1,
【例2.23】随机变量X的概率密度是fX(x),求Y=X的概率密度. 【解】先求Y=X的分布函数FY(y). 当y
0时,
2
2
FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=P{≤X≤=FX−FX(,
于是 fY(y)=
d
FX′([FX−FX(=FX′dyfX+fX(.
2
=
例如,X∼N(0,1),此时Y=X的概率密度为
yy1y
−−−− fY(y)=y2e2e2+e2)]=
(y>0)
【评注】若X∼N(0,1),则Y=X∼χ(1),这是Γ−分布的特例.
22
第二章 随机变量及其概率分布
【例2.24】通过点(0,1)任意作直线与x轴的交角为Θ,且Θ∼U(0,π),求该直线在x轴的截距X的概率密度.
⎧1⎪⎪,0
【解】依题意X=−cotΘ,而Θ的概率密度为f(θ)=⎪, ⎨π
⎪⎪其他.⎪⎩0,
此时,X的值域为(−∞,+∞).
因此 FX(x)=P{X≤x}=P{−cotΘ≤x}=P{Θ≤arccot(−x)}=所以有 fX(x)=
∫
arccot(−x)
1
θ π
1π(1+x2)
(−∞
⎧2x⎪⎪,0
【例2.25】设随机变量X的概率密度为f(x)=⎪.求Y=sinX的概率⎨π
⎪⎪⎪⎩0,
密度.
【解】由于Y=sinX的值域为0
FY(y)=P{Y≤y}=P{sinX≤y}
=P{0
∫
arcsiny
f(x)dx+∫π
π−arcsiny
f(x)dx=∫
arcsiny0
π2x2x
dx+dx. 22∫
yπ−arcsinππ
fY(y)=FY′(y)=
=.
(⎧0
⎪0,其他.⎪⎩
§2.3 历年考研真题评析
⎧0,⎪⎪⎪
1、【10.3.4】设随机变量X的分布函数F(x)=⎨2,
⎪−x⎪1e,−⎪⎪⎩
x
概率论与数理统计全程学习指导
P{X=1}= 【 】 11
(A) 0. (B) . (C) −e−1. (D)1−e−1.
22
【分析】由分布函数的性质
11
P{X=1}=P{X≤1}−P{X
22
选(C).
2、【97.1.7】从学校乘汽车到火车站途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是律、分布函数和数学期望.
【解】依题意X服从二项分布B(3,,其概率分布为 P{X=k}=C3(⋅()
k
k
2
,设X是途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布525
2535
3−k
,k=0,1,2,3.
即 P{X=0}=
2754,P{X=1}=,P{X125125
⎧0,⎪⎪⎪⎪27⎪,⎪⎪125⎪⎪⎪⎪81,于是X的分布函数为F(x)=⎨⎪125⎪⎪⎪117⎪,⎪⎪125⎪⎪⎪⎪⎩1,
2
EX=np=3×=1.2.
5
=2}=
368,P{X=3}=, 125125
x
3、【91.3.5】一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红灯或绿灯与其它信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号灯显示的时间相等,以X
表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,则X的概率分布.
⎧0,⎪⎪⎪⎪⎪0.4,4、【91.3.3】设随机变量X的分布函数为F(x)=⎨⎪0.8,⎪⎪⎪⎪⎩1,
______.
x≤−1,
−1
,则X的分布律为
13.
第二章 随机变量及其概率分布
【分析】由分布函数和分布律的关系,X的分布律为
X −1 1 3 0.4 0.4 0.2
5、【97.4.3】设随机变量X∼B(2,p), Y∼B(3,p),若P{X≥1}=
5
,则9
P{Y≥1}=_______.
【分析】P{X≥1}=1−P{X=0}=1−(1−p)=
51,得p=,
39
2319193
因此 P{Y≥1}=1−P{Y=0}=1−(1−p)=1−()
=, 应填.
27327
2
6、【04.3.4】随机变量X服从参数为λ的指数分布,则P{X【分析】依题意,DX=
=_______.
1−λx
PX>x=e,{}(x>0) 2λ
1−1−1
因此, P{X=P{X>=e=e.
λ
7、【04.3.4】随机变量X服从正态分布N(0,1),对于给定的α∈(0,1),数uα满足
P{X>uα}=α,若P{|X|
(A) uα. (B) u1−α2. (C) u1−α. (D)u1−α.
2
【分析】由于X∼N(0,1),对于任意正数λ,有
P{X>λ}=P{X
1
P{|X|>λ}. 2
若P{|X|0,且
P{X>x}=
由此可得x=u1−α.
2
1111−α
. P{|X|>x}=P{|X|≥x}=(1−P{|X|
2222
选(C).
则随σ的增大,概率P{|X−μ|
2
(A) 单调增大. (B) 单调减少.
(C) 保持不变. (D) 增减不定. 【 】
【分析】由于X∼N(μ,σ),有
2
X−μ
∼N(0,1),因此 σ
概率论与数理统计全程学习指导
|X−μ|
P{|X−μ|
σ
计算可以看出P{|X−μ|
9、【88.1.2】设X∼N(10,(0.02)),则P{9.95
【分析】P{9.95
2
⎛10.05−10⎞⎛9.95−10⎞⎜−Φ⎜ ⎜⎜⎝0.02⎝0.02=Φ(2.5)−Φ(−2.5)=2Φ(2.5)−1=0.9876
填0.9876.
⎧⎪2x,0
⎪其他0,.⎪⎩
测中事件{X≤出现的次数,则P{Y=2}=___________.
1
2
1192123【分析】P{X≤=∫22xdx=,P{Y=2}=C3(. =
0244464
11、【91.4.7】在电源电压不超过200V,在200V∼240V和超过240V三种情况下,
某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2,假设电源电压服从正态分布
1
N(220,252),求
(1) 该电子元件损坏的概率α;
(2) 该电子元件损坏时,电源电压在200V∼240V的概率β.
【解】设A1表示“电源电压不超过200V”,A2表示“电源电压在200V∼240V”,A3表示“电源电压超过240V”B表示“电子元件损坏”.依题意,X∼N(220,25).
2
P(A1)=P{X≤200}=PX−220200−220
2525
=Φ(−0.8)=1−Φ(0.8)=1−0.788=0.212.
⎛240−220⎞⎛200−220⎞⎜⎜P(A2)=P{200≤X≤240}=Φ⎜−Φ⎜ ⎜⎜⎝⎠⎝⎠2525
=Φ(0.8)−Φ(−0.8)=2Φ(0.8)−1=0.576.
第二章 随机变量及其概率分布
P(A3)=P{X>240}=1−P{X≤240}=1−Φ(0.8)=0.212
(1)依题意,P(B|A1)=0.1,P(B|A2)=0.001,P(B|A3)=0.2,由全概率公式 α=P(B)=
∑P(A)P(B|A)
i
i
i=1
3
=0.212×0.1+0.576×0.001+0.212×0.2≈0.0642
(2)由贝叶斯公式 β=P(A2|B)=
P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.576×0.001
==≈0.009
P(B)P(B)0.0642
12、【99.4.3】设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min{2,X}的分布函数
(A) 是连续函数. (B) 至少有两个间断点.
(C)是阶梯函数. (D) 恰好有一个间断点. 【 】
【分析】 类似于例【例2.22】的方法求出Y=min{2,X}的分布函数
⎧0,y
F(y)=⎨1−e−λy,0≤y
⎪⎪y≥2.⎪⎪⎩1,
恰好在y=2处有一个间断点. 选(D).
13 【03.3.13】设随机变量X的概率密度为
⎧x∈[1,8]
f(x)=其他.⎪⎪⎩0,
F(x)是X的分布函数,求随机变量Y=F(X)的分布函数.
【解】依题意,当x8时,F(x)=1,当1≤x≤8时,
F(x)=
∫
x
1
=1.
设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数,显然 当y≤0时,G(y)=0;当y≥1时,G(y)=1;
概率论与数理统计全程学习指导
当0
G(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}=P1≤y} =P{X≤(y+1)}=F[(y+1)]=y. 于是,Y=F(X)的分布函数为
3
3
⎧0,y
G(y)=⎨y,0≤y
⎪⎪y≥1.⎪⎪⎩1,
§2.4 本章教材习题全解
( A )
1、同时抛掷3枚硬币,以X表示出现正面的枚数,求X的分布律.
1331
【解】P{X=0}=,P{X=1}=,P{X=2}=,P{X=3}=
8888
2、 一口袋中有6个球,依次标有数字−1,2,2,2,3,3,从口袋中任取一球,设随机变量X为取到的球上标有的数字,求X的分布律以及分布函数.
【解】P{X=−1}=
132,P{X=2}=,P{X=3}= 666
⎧0,x
⎪1
⎪,−1≤x
F(x)=⎨
⎪4,2≤x
⎪1,3≤x⎩
3、已知随机变量X的分布函数为
⎧1,x
F(x)=⎨,0≤x
⎪4⎪⎩1,2≤x
求概率P{1
【解】 P{1
13
= 44
第二章 随机变量及其概率分布
x
⎪
4、设随机变量X的分布函数为F(x)=⎨Asinx,0≤x≤π2; 求:(1)A的值;
⎪1,x>π2.⎩
(2)求P{|X|
【解】由于F(x)在点x=(2)P{X
π
2
处右连续,所以F(=F(
ππ
2
2
+0),即Asin
π
2
=1,A=1
ππ−ππ11
66666622
5、 设离散型随机变量X的分布律为
=P{−
i
i
ππ
(1)P{X=i}=a(2,1=1,2,3;(2)P{X=i}=a(2,i=1,2, 分别求出上述各式中的a.
【解】(1)1=a
24827
+a+a,a=383927
2
222231
(2) 1=a(+()+()+ )=a=2a,a=.
23331−3
6、已知连续型随机变量X的分布函数为
x
⎪
F(x)=⎨kx+b,0≤x
⎪1,x≥π.⎩
求常数k和b.
【解】0=b,1=kπ+b,k=
1
π
.
7、已知连续型随机变量X的概率密度为 f(x)=
k
(−∞
1+x
求常数k和概率P{−1
【解】1=
kπ2
,, k=k=∫−∞1+x2
π2
1111
P{−1
−1π1+x22
8、已知连续型随机变量X的概率密度为
+∞
⎧x,0≤x
f(x)=⎨2−x,1≤x
⎪0,其他⎩
求X的分布函数.
概率论与数理统计全程学习指导
【 解】 F(x)=
∫
x
−∞
0,x
⎪2
x⎪,0≤x
. f(t)dt=⎨22
⎪−x+2x−1,1≤x
1,2≤x⎩
9、连续不断地掷一枚均匀的硬币,问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不
少于0.99.
【解】1−()≥0.99,(≤0.01,lg(≤lg0.01 n≥
12
n
12
n
12
n
lg0.01
≥7. lg2
10 、设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布,且已知在一分钟内无车辆
【解】P{X=0}=P{X=1}, e
−λ
通过与恰有一辆车通过的概率相同,求在一分钟内至少有两辆车通过的概率.
=λe−λ,λ=1.
−1
P{X≥2}=1−P{X=0}−P{X=1}=1−2e=0.2642
11、设每次射击命中目标的概率为0.001,共射击5000次,若X表示命中目标的次数.
(2)计算至少有两次命中目标的概率. (1)求随机变量X的分布律;
【解】(1)P{X=k}=C5000(0.001)(0.999)
k
k
5000−k
(2)P{X≥2}=1−P{X=0}−P{X=1},λ=np=5
P{X≥2}=1−P{X=0}−P{X=1}=1−0.0067−0.033=0.9596 12、设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae
−|x|
,−∞
(1)求常数A;(2)求X的分布函数.(3)求P{0
【解】(1)1=
∫
x
+∞
−∞
f(x)dx=A(∫edx+∫e−xdx)=2A,A=
x
0+∞
−∞0
1
2
(2)F(x)=
∫
−∞
txe⎧ex
=,x
⎪0edt+xedt=1−e,x≥0
∫02⎪⎩∫−∞22
e−x11
(3)P{0
0222e
1
第二章 随机变量及其概率分布
⎧x−x
⎪e2c,x≥0;
13、证明:函数f(x)=⎨c(c为正常数)是某个随机变量X的密度函数.
⎪x
【证明】由于在(−∞,+∞)内,f(x)≥0,且
+∞
2
∫
+∞
−∞
f(x)dx=∫
x
c
−
x22c
dx=−e
−
x22c
+∞
=1−e−∞=1,
所以,f(x)是某随机变量的概率密度.
⎧20000
,x>0⎪3
14、设随机变量X的概率密度为f(x)=⎨(x+100),求(1)X的分布函
⎪其他0,⎩
数;(2)求P{X≥200}.
【解】(1)F(x)=
∫
x
−∞
0,x
f(t)dt=⎨ ; 10000
1,x0−≥⎪(x+100)2⎩
1. 9
(2)P{X≥200}=1−F(200)=
⎧ke−3x,x>0,
, 15、某种显像管的寿命X(单位:千小时)的概率密度为f(x)=⎨
x≤0.⎩0,
(2)求寿命小于1千小时的概率. (1)求常数k的值;
【解】(1)1=
∫
+∞
−∞1
f(x)dx=∫ke−3xdx=
+∞
k
,k=3 3
(2)p{x
∫
3e−3xdx=1−e−3.
16、设X∼N(0,1),(1)求P{X≤1.96},P{X≤−1.96},P{|X|≤1.96},
P{−1
(2)已知P{X≤a}=0.7019,P{|X|
【解】 (1)P{X≤1.96}=Φ(1.96)=0.975, P{X≤−1.96}=1−Φ(1.96)=0.025,
P{|X|≤1.96}=Φ(1.96)−Φ(−1.96)=0.975−0.025=0.95,
概率论与数理统计全程学习指导
P{−1
P{|X|
Φ(b)=
2
1.9242
=0.9621, b=1.78. 2
(1)P{7.5≤X≤10};(2)P{|X−8|≤1}; 17、设X∼N(8,0.5),求:(3)P{|X−9|
10−87.5−8
−Φ(=0.8413 0.50.51−1
(2)P{|X−8|≤1}=Φ()−Φ(=0.9544
0.50.5
【解】 (1)P{7.5≤X≤10}=Φ(
(3)P{|X−9|
18、设随机变量X服从参数为λ=1的泊松分布,记随机变量Y=⎨机变量Y的分布律.
⎧0,
⎩1,
X≤1,
,求随X>1.
【解】P{Y=0}=P{X≤0}=P{X=0}+P{X=1}=2×0.3679=0.7358 P{Y=1}=1−P{Y=0}=1−0.7358=0.2642. 19、 设随机变量X的概率密度为
⎧2x,0
, f(x)=⎨
⎩0,其他
对X独立重复观察三次,求至少有两次观察值不大于0.5的概率.
【解】用Y表示观察值不大于0.5的次数,p=0.25,则Y~B(3,0.25),
P{Y≥2}=P{Y=2}+P{Y=3}=3×(0.25)2×0.75+(0.25)3=0.1563
20、 已知电源电压服X服从正态分布N(220,25) ,在电源电压处于X≤200V,
2
200V240V 三种情况下,某电子元件损坏的概率分别为
(2)已知该电子元件损坏,求电压在0.1,0.01,0.2.(1)求该电子元件损坏的概率α;
200V~240V的概率β
【 解】P{X
P{200
第二章 随机变量及其概率分布
P{X>240}=1−Φ(0.8)=0.2119
(1) α=0.1×0.2119+0.01×0.5762+0.2×0.2119=0.0693 (2) β=
0.01×0.5762
=0.083
0.0693
21、 假设自动生产线加工的某种零件的内径服从正态分布N(11,1),内径小于10或大于12 为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品则亏损,若销售利润Y与销售零件的内径X有下列关系
⎧−1,X
Y=⎨20,10≤X≤12,
⎪−5,X>12.⎩
求Y的分布律.
【解】P{Y=−1}=P{X
P{Y=20}=P{1012}=1−Φ(1)=0.1587 22、已知随机变量X的分布律为
−2−101234⎞⎛−3
⎜⎟, ⎝0.050.100.250.150.050.200.150.05⎠
求Y=X的分布律.
【解】P{Y=0}=0.15,P{Y=1}=0.3,P{Y=4}=0.3,P{Y=9}=0.2,
2
P{Y=16}=0.05
23、设随机变量X服从[−
ππ
,]上的均匀分布,求Y=sinX的概率密度. 22
π⎧1π
⎪,−
【解】 fX(x)=⎨π22
⎪0,其他⎩
⎧0,y
⎪
FY(y)=P{Y
P{X
1,x>1⎩
概率论与数理统计全程学习指导
−1
0,其他⎩
24、设随机变量X服从参数为λ=2的指数分布,令Y=1−e度函数.
【解】
−2X
,求随机变量Y的密
⎧2e−2x,x>0
, fX(x)=⎨
⎩0,x≤0
−2X
FY(y)=P{Y
−2X
1时,FY(y)=1;
FY(y)=P{Y
−2X
1
−ln(1−y)1
02
fY(y)=FY′(y)=⎨
2
⎧1,0
⎩0,其他
X
25、设随机变量X∼N(μ,σ),求随机变量Y=e的密度函数.
−fX(x)=(x−μ)22σ【解】
,
FY(y)=P{Y0时,
FY(y)=P{e
(lny−μ)⎧−
2σ,y>0 fY(y)=FY′(y)=0,其他⎩
2
X
X
∫
lny
−∞
fX(x)dx,
( B )
1、某种电子元件的寿命X(单位:小时)的概率密度为
x
⎧1−2000
,x>0e⎪
, f(x)=⎨2000
⎪0,x≤0⎩
第二章 随机变量及其概率分布
(1)求该电子元件能正常使用1000小时以上的概率;
(2)已知该电子元件已经使用了1000小时,求它还能只用1000小时的概率.
【解】(1)P{X>1000}=
∫
+∞
1000
f(x)dx=e;
−
1
2
P{X>2000}−1
(2)P{X>2000X>1000}==e2 .
P{X>1000}
(1)−X和X有相同的 2、 设连续型随机变量X的密度函数f(x)是偶函数,证明:分布;(2)F(−a)=P{X≤−a}=
1a
−∫f(x)dx. 20
【证明】(1)令Y=−X,则Y的分布函数
−y
FY(y)=P{Y≤y}=P{X≥−y}=1−P{X≤−y}=1−∫
从而Y的概率密度为
fY(y)=−(
−∞
fX(x)dx,
∫
−y
−∞
fX(x)dx)′=fX(−y)=fX(y),
−a
所以Y与X具有相同的概率密度.
(2)F(−a)=P{X≤−a}= F(−a)=P{X≤−a}= =
∫∫
−∞−a
fX(x)dx ,令x=−t,则 fX(x)dx=−∫fX(−t)dt
∞
−a
a
−∞
∫
∞
a
fX(t)dt=1−∫
−∞a
fX(t)dt−∫fX(t)dt
−a
a0
a
=1−所以
∫
−a
−∞
fX(t)dt−2∫fX(t)dt=1−F(−a)−2∫fX(x)dx,
F(−a)=
1a
−∫f(x)dx. 20
1
,−∞
π(1+x2)
3、设随机变量X的概率密度为 f(x)=
(2)随机变量Z=arctanX的概率密度. 求(1)随机变量Y=X的概率密度;
【解】 (1) FY(y)=P{Y≤y}=P{X≤y} 当y
当y≥
0时,FY(y)=P{Y≤y}=P{X≤y}=P{≤X≤=而
2
2
2
fX(x)dx,进
概率论与数理统计全程学习指导
fY(y)=(FY(y))′=fX综上所述,
−
fX(==
y>0 ; fY(y)=0,y≤0⎩
(2)当z
π
2
时,
FZ(z)=P{Z≥z}=P{arctanX≤z}=P{X≤tanz}=FX(z), 于是Z的概率密度为
sec2z1
=; fZ(z)=fX(tanz)secz=
π(1+tan2z)π
2
当z≤−当z>于是
π
2
时,FZ(z)=P{Z≥z}=P{arctanX≤z}=0;
π
2
时,FZ(z)=P{Z≥z}=P{arctanX≤z}=1,
π⎧1,y
fZ(z)=⎨π2 .
⎪⎩0,其他
4、(93.3.8) 设一大型设备在任何长度为t的时间间隔内发生故障的次数N(t)服从参数为λt(λ>0为常数)的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间的时间间隔T的概率密度;
(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下再无故障工作8小时的概率.
(λt)k−λt
e ,k=0,1,2, . 【解】 P{N(t)=k}=k!
(1)T的分布函数为FT(t)=P{T≤t},当tt}=1−P{N(t)=0}=1−e于是T的概率密度为
−λt
,
⎧λe−λt,t>0
fT(t)=⎨ .
⎩0,t≤0
P{T≥16}1−P{T≤16}e−16λ
==−8λ=e−8λ. (2)P{T≥16T≥8}=
P{T≥8}1−P{T≤8}e
第二章 随机变量及其概率分布
§2.5 同步自测题及参考答案
一、选择题 1、下列函数中,能作为某随机变量的分布函数的是 【 】
(A) F(x)=
131
F(x)arctanx. . (B) =+
42π1+x2
⎧0,x≤0,⎪⎪2
F(x)arctanx+1 (C)F(x)=⎪ (D) =⎨x
⎪,x>0.π⎪⎪1x+⎩
2、设随机变量X的分布函数为F(x),在下列概率中,可表示为F(a)−F(a−0)的
(A).P{X≤a}. (B).P{X>a}. (C).P{X=a}. (D)P{X≥a} 【 】 ⎧A,⎪⎪⎪⎪Bx2,⎪3、 若连续性随机变量X的分布函数为F(x)=⎨2
⎪Cxx−1,−⎪⎪⎪1,⎪⎩
x
0≤x
1≤x
则常数A,B,C的取值是 【 】
11
(A).A=−1,B=,C=1 . (B).A=0,B=,C=2.
22
(C).A=1,B=1,C=2. (D).A=0,B=1,C=0.
4、设连续型随机变量X的概率密度为f(x),且f(−x)=f(x),F(x)是X的分布函数,对任意实数a,有 【 】
(A).F(−a)=1−∫
a
a1
f(x)dx. (B).F(−a)=−∫f(x)dx.
02
(C).F(−a)=F(a). (D).F(−a)=2F(a)−1
5、设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则f(x)一定是 【 】
(A) 可积函数 . (B) 0≤f(x)≤1. (C) 连续函数. (D) 可导函数.
6、函数f(x)=
1
sinx在区间( )上可以作为随机变量的概率密度. 【 】
2
ππ
(A) [−,] . (B) [−π,0].
22
概率论与数理统计全程学习指导
π3π
(C)[−2π,−π]. (D)[,.
22
分布函数为Φ(x),且P{X>x}=α∈(0,1),则x= 【 】 7、设随机变量X∼N(0,1),
αα
(A) Φ−1(α). (B) Φ−1(1−). (C)Φ−1(1−α). (D) Φ−1().
22
则Y=−2X+3的概率密度为 【 】 8、设随机变量X的概率密度为fX(x),
1y−31y−3
fX(−. (B) fX(−). 22221y+31y−3(C)−fX(−. (D) fX(−).
2222
⎛232⎞⎟⎜⎟⎜⎜⎟的特征值全为实数的概率为0.5,则 9、设X为随机变量,若矩阵A=⎜0−2−X⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎟⎜0⎠⎝01(A) −
(A) X服从区间(0,2)的均匀分布. (B) X服从二项分布B(2,0.5).
(C)X服从参数为1的指数分布. (D) X服从正态分布N(0,1). 【 】
二、填空题
⎧x
1、设随机变量X的分布函数为F(x)=⎪,则P{X≤1}=_____. ⎨−x⎪⎪⎩1−(1+x)e,x≥0.
2、设随机变量X的分布律为P{X=k}=
1
则X的分布函数为_______. (k=1,2, ,n),
n
λk
3、设随机变量X的分布律为P{X=k}=a(k=0,1,2, ),则常数a=_________.
k!
4、如果函数f(x)=Ae
−|x|
(−∞
⎧ax+b,0=,则⎪其他.28⎪⎩0,11
P{
6、(91.1.3)随机变量服从均值为2,方差为σ的正态分布,且P{2
7、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=2}=P{X=4},则λ=_______.
2
⎧⎪2x,0
⎪其他.⎪⎩0,
第二章 随机变量及其概率分布
P{X>a}=P{X0),则常数a=__________.
8、(93.1.3)设随机变量X服从(0,2)上均匀分布,则随机变量Y=X在(0,4)内的概率密度fY(y)=__________.
9、设随机变量X的概率密度为f(x)=⎪⎨密度为_________. 三、解答题
2
⎧⎪6x(1−x),0
,则Y=2X+1的概率
⎪其他.0,⎪⎩
⎧⎪
1、设随机变量X的分布函数为F(x)=⎪⎨
⎪⎪⎩
(2)求P{−1
A+Be−λx,
0,x>0,x≤0.
(λ>0).(1)
2、设某一设备由三大部件构成,设备运转时,各部件需调整的概率为0.1,0.2,0.3,若
各部件的状态相互独立,求同时需调整的部件数的分布函数.
3、对一目标进行射击,直到击中为止,每次射击的命中率为p,且相互独立,求射击次数X的分布函数.
4、设在独立重复试验中,每次试验成功的概率为0.5,问需要多少次试验,才能使至少成功一次的概率不小于0.9?
⎧Ax,⎪⎪⎪
5、设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=⎨A(2−x),
⎪⎪⎪⎪⎩0,
12
(3)P{≤X≤;(4)若P{X(2)X的分布函数F(x);
23
数a.
0≤x≤1,
1
>a}=P{X
6、设甲市长途电话局有一台电话总机,其中有5个分机专供与乙市通话,设每个分局在1小时内平均占线20分钟,并设各分机是否占线相互独立,问甲乙两市应设置几条线路才能保证每个分机与乙市通话时占线率低于0.05?
7、设随机变量X服从区间[2,5)的均匀分布,现对X进行3次独立观测,求至少有2次观测值大于3的概率.
8、设X∼U(0,6),求关于x的方程x+2Xx+5X−4=0有实根的概率.
9、假设某居民区月用电量服从正态分布,平均月用电量100度,标准差为10度,随机地抽取该区3户居民调查其月用电量,求这3户居民中恰有2户实际月用电量都介于80度到110度的概率.
10、某种型号显像管的使用寿命(单位:小时)服从参数为λ=
2
1
的指数分布,一5000
台仪器需要使用3只这样的显像管,如果每天工作8小时,(1)在1年(365天)内显像管不需要更新的概率;(2)要想连续使用不更换显像管的概率到达80%以上,至多可以连续工
概率论与数理统计全程学习指导
作多少天? 11、(90.3.7)某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的考生总数为2.3%,求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
⎧⎪e−x,x≥0,−X⎪,求随机变量Y=e12、(95.1.6)设随机变量X的概率密度为fX(x)=⎨⎪⎪⎩0,x
的概率密度fY(y).
13、随机变量X服从正态分布N(μ,σ),求随机变量Y=e的概率密度fY(y). 14、(88.3.6)随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布,求随机变量Y=e度fY(y).
2X
2
X
的概率密
⎧e⎪⎪,0
的值;
(2)求Y=
同步自测题参考答案 一、
选择题
5、(A). 6、 (C) 7、(C). 8、(B). 1、(C). 2、(C). 3、(B). 4、(B). 9、(A) 二、
填空题
⎧x≤1,0,⎪⎪⎪−1−λ
1、1−2e. 2、F(x)=⎨in,i≤x
⎪⎪x>n.⎪⎪⎩1,
4、
17. 5、. 6、0.2 7、
. 8、a=
232
2
⎧⎧3⎪0
⎪⎪其他.0,⎪⎪其他.⎩⎪⎩0,
三、
解答题
−λ
(2)1−e1、(1)A=1,B=−1;
;
第二章 随机变量及其概率分布
⎧⎪⎪⎪0,x
⎪⎪0≤x
⎪0.504,⎨⎪⎪0.902,
1≤x
⎪⎪⎪0.994,2≤x
x≥3.
3、F(x)=⎧⎪⎪⎨0,
x
[x]表示x的整数部分. 4、n>3,至少4次.
⎧⎪⎪⎪0,x≤0,
5、(1)A=1;(2)F(x)=⎪⎪⎨0.5x2
0
1,x>2.
6、至少设置3条线路才能保证占线率低于0.05. 7、
2027
. 8、0.5. 9、0.3647. 10、(1)0.1734;(2)46天. 11、0.682
⎧⎪⎪12、f⎪12
,y>1,Y(y)=⎨⎪
⎪y
⎪⎪⎩0,
y≤1.
⎧⎪(lny−μ)213、f⎪Y(y)=⎪⎨
⎪e−
2σ,
y>0,
⎪⎪⎩0,
y≤0.
⎧⎪(y)=⎪114、f⎪⎨,e2
其他.⎧⎪⎪2y15、(1)a=e;
(2)f(y)=⎪⎨2
,0
其他.(3)
3
4
;(4)a=1. ;