函数问题解法

函数问题解法

一、考试内容

映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数

函数的应用举例。

二、考试要求

1．了解映射的概念，理解函数的概念

2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。

3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。

4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。

5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。

6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

三、函数的概念型问题

函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：

1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．

2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．

3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．

本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数． 本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．

函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．

（一）深化对函数概念的认识

例1．下列函数中，不存在反函数的是 （ ）

分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐． 从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试．

此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D ，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞

1) ，也可能x=-1(-1≤-1) ．依据概念，则易得出D 中函数不存在反函数．于是决定本题选D ． 说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．

由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．

（二）系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法

1．求函数定义域的基本类型和常用方法

由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x 的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字母。

例2．已知函数f (x )定义域为(0，2) ，求下列函数的定义域：

分析：x 的函数f(x) 是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u ＜2，即0＜x ＜2．求x 的取值范围．

解：(1)由0＜x 2＜2， 得

说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．

求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到．

2．求函数值域的基本类型和常用方法

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．

3．求函数解析式举例

例3．已知xy ＜0，并且4x 2-9y 2=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．

分析： 4x-9y =36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy ＜0呢？

22222

所以

因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3) ∪(3，+∞) ．且不难得到其值域为(-∞，0) ∪(0，＋∞) ．

说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：

(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数) 的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．

(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．

四、函数与方程的思想方法

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y ＝f(x)，就可以看作关于x 、y 的二元方程f(x)－y ＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f 1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

(一) 函数的性质

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．

复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．

3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．

这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．

函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．

对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．

这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．

1．对函数单调性和奇偶性定义的理解

例4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的

图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R) ，其中正确命题的个数是 （ ）

A ．1 B．2 C．3 D．4

分析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．

奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．

若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x ∈R ，如例1中的(3)，故④错误，选A ．

说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．

2．复合函数的性质

复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y 通过中间变量u 与自变量x 建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．

复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：

(1)单调性规律

如果函数u=g(x)在区间［m ，n ］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么

若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．

(2)奇偶性规律

若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．

例5．若y=loga (2-ax)在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）

A ．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)

分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log a (2-ax)有意义，即a ＞0且a ≠

1，2-ax ＞0．②使log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数．由于所给函数可分解为y=loga u ，u=2-ax，其

中u=2-ax在a ＞0时为减函数，所以必须a ＞1；③[0，1]必须是y=loga (2-ax)定义域的子集．

解法一：因为f(x)在［0，1］上是x 的减函数，所以f(0)＞f(1)，

即log a 2＞log a (2-a)．

解法二：由对数概念显然有a ＞0且a ≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= log a u 应为增

函数，得a ＞1，排除A ，C ，再令

故排除D ，选B ．

五、函数综合应用

函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用:

1．在应用中深化基础知识．在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程．这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展．

2．以数学知识为载体突出数学思想方法．数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识．函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想．此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法．解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化．因此本课题也十分重视转化的数学思想．

3．重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养．函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识．但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的．推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的．本课题在例题安排上作了这方面的考虑．

具体要求是：

1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力．

2．掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养．

3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力．

4．树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题．

本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用．

难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高．

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其

数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．

1．准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识

在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分．第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数) 的图象和性质．第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展．

例6．已知函数f(x)，x ∈F ，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x ∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（ ）

A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．1或2

分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x ∈F 的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化) ，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F ，但未明确给出1与F 的关系，当1∈F 时有1个交点，当1 F 时没有交点，所以选C ．

2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力

高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并

形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和

综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的．

函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，

f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等

式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函

数提供了工具．

例7．方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）

A ．(0，1) B ．(1，2)

C ．(2，3) D ．(3，+∞)

分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图

2) ．它们的交点横坐标x 0，显然在区间(1，3) 内，由此可排除A ，D ．至于选B 还是选C ，由于画图精确性

的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较x 0与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于

lg2＜1，因此x 0＞2，从而判定x 0∈(2，3) ，故本题应选C ．

说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x 0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．

例8．(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0) ，若m ＜n 有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x ∈(m，n) 都有f(x)＞0，试证明之；

(2)试用上面结论证明下面的命题：

若a ，b ，c ∈R 且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．

分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0) ， x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x ∈(m，n) 都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．

(1)证明：

当k ＞0时，函数f(x)=kx+h在x ∈R 上是增函数，m ＜x ＜n ，f(x)＞f(m)＞0；

当k ＜0时，函数f(x)=kx+h在x ∈R 上是减函数，m ＜x ＜n ，f(x)＞f(n)＞0．

所以对于任意x ∈(m，n) 都有f(x)＞0成立．

(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则

f(a)=(b+c)a+bc+1．

当b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1．

因为|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．

当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x 的一次函数．

因为|b|＜1，|c|＜1，

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．

由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．

说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b ，c 是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0) 。

例9．定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3x )+f(3x -9x -2) ＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．

(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y ∈R ) ， ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．

(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又

由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3x ) ＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， k ·3x ＜-3x +9x +2，

32x -(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立．

令t=3x ＞0，问题等价于t 2-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0恒成立．

R 恒成立．

说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成

2二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的

解法：

分离系数由k ·3＜-3+9+2得

x x x

上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．