不定积分经典练习题
原函数
一、知识网络图
不定积分的几何意义
不定积分的性质 不 2.性质与公式
1.基本概念不定积分
定
基本积分公式 直接积分法
第一换元积分法(凑微分法)
积 3.计算方法
换元积分法
第二换元积分法
分部积分法
分
查表法
4.特殊函数的积分三角函数有理式积分
有理函数积分
某些无理函数积分
x
一、求不定积分：
例 1. 计算 dx . e 2 x
x
x
2 x
2 x
x
de
x 2x
提示： e2 x dx = arctan e de [ e arctan e e (1 e ) ]
x
2 x dex x
2x
2x
= [ e arctan e e 2 x (1 e ) ] 2xx 1 x
= e arctan e arctan e C
e
x
例 2．计算
1 x(1 x)
dx
1
d (x ) (x (x ) 2 ) 2 C [解一] 1 dx = 1
x(1 x) (x 2 2 2 2 2 2 ))
2 2
= x x(x 1) C
2
[解二]
1
dx = 1
dx
x(1 x)
x
2d x
2 ln( x 1 x ) C1
(1 x)
1 ( x ) 2
= x x(x 1) C
[方法小结]当被积函数含有根式时，通过巧妙的凑微分化成常用积分公式。
x xe
例 3．计算 x (e 1) 2 dx
x
[解一] 令 e t ，则
其中 C C1 ln 2
xe t ln t ln t ln td ( t 1 ) 1lnt t 1 tdt(e x 1) 2 dx = (t 1) 2 t dt (t 1) 2
x
= ln t [ 1 ]dt ln t ln t ln(t 1) C t 1 t t 1 t 1
xe x
ln(e 1) C =
e x 1
x x
xe 1 x 1
[解二] dx 2 xd ( dx = x (e 1) (e 1) e 1 e 1 e 1
x
x e x de
= e x 1 e x (e x 1) e x 1 e x (e x 1)
x x
x 1 1 x
)de x ln e x ln(e x 1) C = e 1 e e 1 e 1
x
xe x
x ln(e 1) C
e 1
xx
[方法小结] 被积函数中含有 e 的不定积分，可令 e t , 从而将积分化为其它易积的
积分。另一方面，当用分部积分法，其中 u, dv 难以一步得到时，可以先将其中一部分凑成
f ( ( x))d ( x) 的形式，从而 dv df ( ( x)) 。
arctan x
例4．计算dx. x 2 (1 x2 )
2
[解一] 令 arctan x t ，即 x tgt ，则 dxsec tdt
2
x (1 x ) = tan t sec
2
2
arctan x
t
2
2 2
2 sec t tdt t cot tdt t (csc t 1)dt
2
2
= td cot t tdt t cot t cot tdt
t
t2
= t cot t ln | sin t C |
2 x (arctgx) | C =
x 1 x 2 2
2
1 arctan x 1
x 2 dx arctan xd arctan x [解二] x 2 (1 x 2 ) dx = x 2 1 x 2 ) arctan xdx
=
2 2
x2 dx
2 arctan xd x
2
1
2
2
2
1 2
令 x ，则 (t 1) ln(t 1) C dt dx t x(1 x ) t 1 2 t 1 2 = ln | x
x (1 x ) dx 2 x
1 t
1 x | C
2
2
x 从而原式= C 。 |
2 1 x x 2
[方法小结]当被积函数含有难积的反三角函数时，通常的做法是将这一部分作变量替换。另 若分母为相差一个常数的两个因式的乘积，则可以将分式拆项，分别积分。
例 5. 计算
dx 1 cos x
[分析一]本题属于三角函数有理式的积分, 可以利用万能公式作变量替换。 解一 令
2
[ ] t tan 2 1t
x ，则 sinx 2t ,cosx , dx 2dt
2
1t
2
1t
2
2t 1 2 2t
1 t 2
1 cos x dx 1 t 2 dt 1 t 2 dt (1 1 t 2 dt t ln(1 t 2 ) C
1
1 t 2
2
= x ln(1 tanx ) C 2 2
3
[分析二] 本题被积函数含有三角函数, 若适当利用三角函数恒等式（如倍角、半角公式、和
差化积、积化和差等公式），往往能简化计算。 [解二]
x
x
x
1 cos
1 cos x 2 x
2 cos
2
1 x 2 sin d x tan x x | C
2 x 2 x 2 2 2 cos cos
2 2
[方法小结] 一般地，被积函数含有三角函数时，常利用万能公式作变量替换或利用三角函数
恒等式进行化简。前者虽然是通用的方法，但往往不是最简便的。另须注意，本题两种解法
给出的结果虽然不一致，但求导后都等于被积函数，所以都是正确的。
例 6．计算
1 (x a)(b x)
dx
[分析一]注意到被积函数中含有两个根式，可以先将其中一个根式有理化，再将余下的根式
作变量替换。
x a 1x a
[解一] (x a)(b x) x a b x x a b x x a t, 即 x 令 2 , dx 22 dt,
1 t (1 t ) b x
1
1 1 t
2
1
x a
2 22 2
(x a)(b x) dx = (b a )t t (1 t )dt 21 t dt 2 arctan t C 2 arctan b x C
[分析二]本题也可以用凑微分法，计算过程更为简便。
[解二]
1 (x a)(b x)
= dx
2 d x a x a
d x a 2 C 2 2 arcsin
(b a) ( x a ) b x b x
[方法小结] 当被积函数含有根式时，常常需要对根式进行处理，通常作变量替换，也可以用 凑微分法。
例 7. 计算
1
2
dx
2
2
2
3 sin x
[分析一] 被积函数分子、分母同除以 sin x ，可化为 csc x 的函数，利用 csc x d cot x ，
csc2 x cot2 x 1 可以将积分化简。
1
csc2 x
[解一] x dx = dx 3 2 2
cot x ) 2
3
d cot x
d cot x
4
=
C 。 2 3
[分析二] 被积函数分子、分母同除以 cos 2 x ，可化为 sec2 x, tan2 x 的函数，而利用 sec2 x d tan x ，可以将积分化简。
sec2 x
[解二]
1
d tan x
d tan x
2
3 sin
x dx = (3sec x tg x ) dx 4 tan x 3 4 tan 2 x 3 )2 = 4 3 arctg 2
3 C
2
[方法小结] 当被积函数含有 sin x 或 cos x 的齐次函数时，常从各项中提取 sin 2 x 或 cos 2 x ，凑 成 d tan x 或 d cot x 。 例 8. 计算 4 dx
x 1 x 2
1
[分析一] 注意到被积函数中根式内外都有 x 的幂次，可尝试用倒代换。 [解一]令 x
，则
t dt
t dt udu x 4 1 x 2 dx = 1 t 2 2 1 t 2 2 1 u 2 1 u du
1 = 2 1 udu 2 1 u du 3 (1 u) 2 (1 u) 2 C
1 3 3 2 2
1 x (1 x ) 22
(1 t ) 2 (1 t ) 2 C = = C 3
3x3 x
2
[分析二]本题也可以用三角代换，令 x tant ，则根式下可化为 sec x 。从而
1
322
被积函数可化为 sin x 、 cos x 的函数。 [解二] 令 x tant ，
1
3
2
1 3 4 d sin t C 2 dx = 4 dt 4 4 2 (sin t) x 1 x sin t sin t sin t sin t 3 sin t
= ()3 C
3 tan t tan t
(1 x )1 x C
3
3x x
23 2
2
2
2
2
[方法小结] 被积函数中含有 x 的幂次，可尝试用倒代换，如果出现 (x a ) ， (a x ) 或
(x a ) ， (a2 x2 ) 则可以采用三角代换，然后利用三角函数恒等式将被积表达式化简。
22
例 9. 计算 1 x x
5