-集合知识在初等数学中的应用

集合知识在初等数学中的应用

摘要 学习高等数学的过程中，在多门课程里都讲到了集合，特别是实变函数这门课程更是详细的介绍了集合. 但反观现在集合知识在义务教育阶段只字未提，在普通高中阶段只是简单的认识了集合，对集合掌握的要求并不高。在学习了高等数学之后，我们如何才能做到“居高等数学之高”去临“中学数学之下”呢？本文从内容、原理、思想、观点和方法多方面详细的介绍了高等数学中的集合知识在初等数学中的应用.

关键词 高等数学 初等数学 集合知识

1. 集合的包含关系与命题的逻辑关系

大家知道，在数学里有四种命题关系，如表1 所示

我们知道四种命题的真实性之间有一个重要的逻辑关系：互为逆否的两个命题同真或者同假；而互否（或者互逆）的两个命题却没有这个必然性. 我们用集合的知识有助于我们理解四种命题真假性之间的关系.

例1 设A 表示“y =kx （k >0）”，B 表示“函数y =f (x ) 为增函数”. 接着我们设

X ={所有的函数}，

Y A ={X 中具有性质A 的所有对象}

Y B ={X 中具有性质B 的所有是对象}.

例2 设A 表示“一元二次方程y =ax +bx +c 中∆=b 2-4ac >0”，B 表示“一元二次方程y =ax +bx +c 有实根”.

接着我们设

X ={所有的一元二次方程}，

Y A ={X 中具有性质A 的所有函数}，

Y B ={X 中具有性质B 的所有函数}.

我们把命题的四种形式用集合的包含关系表出（表2）

在例1中原命题和逆否命题均为真命题，而否命题与逆命题均为假命题. 在例2中原命题、逆否命题、否命题和逆命题均为真命题.

由集合的包含关系可知Y A ⊂Y B ⇔痧这说明Y A ⊄X Y B ，X Y B ⊂X Y A Y A ⊄Y B ⇔痧X

原命题与逆否命题有相同的真假性这与例1例2中原命题与逆否命题都为真相22

符 ，但由Y A ⊂Y B 并不可以推出Y B ⊂Y A ，这也与例1中原命题为真而否命题为假，

例2中原命题为真但否命题为真相符. 在例2中有Y A ⊂Y B 且有Y B ⊂Y A 按照集合关

系即Y B =Y A ，表明两个命题之间是等价的. 综上我们可把命题的四种形式用集合

的包含关系表示出来，其中若集合之间为可包含关系则命题为真，若不可包含则命题为假.

2．用集合论语言表达理解相关概念

2.1用集合知识理解曲线方程定义

设S 是一条平面曲线，F (x , y ) =0是一个二元方程. 显然，S 是一个点集，我们把F (x , y ) =0的解(x , y ) 组成一个集合记为P . 当在平面内引入直角坐标系以后，集合P 对应着平面内的一个点集S 1. 很显然，只有当S 1=S 时，我们才能借助

方程F (x , y ) =0来研究曲线S ，从而把F (x , y ) =0看作曲线S 的方程. 而S =S 1必须要求：

（1）如果任意a ∈S ，则必有a ∈S 1，即曲线上任意点的坐标是方程的解；

（2）如果任意a ' ∈S 1，则必有a ' ∈S ，即坐标是方程的解的任意点，是曲线

上的点.

这样，我们应用集合的知识就说明了曲线的方程的定义中为什么要有两方面要求的道理.

例 3 设A ={坐标平面上以原点为中心，以r (r ≥0) 为半径的圆上的所有点};

B ={坐标适合方程x 2+y 2=r 2的所有点}

则A =B .

在中学阶段已经给出A =B 的证明过程，即先证这个圆上的任意点的坐标都适合方程x 2+y 2=r 2，于是A ⊂B ；反过来，再证坐标适合方程x 2+y 2=r 2的任一点都在这个圆上，因此B ⊂A ，于是A =B .

只有证明了A =B ，才能把x 2+y 2=r 2称为以原点为中心，r 为半径的圆的方程.

2.2用集合论简洁表达有关概念

例 4 若f (x ) 在R 上定义，且在[a , b ]上有最大值M ，即对任意x ∈[a , b ]有f (x ) ≤M . 用集合论语言表示为：[a , b ]⊂{x :f (x ) ≤M }.

例 5 平面图形中以原点为圆心，1为半径的圆周、开（闭）圆面可分别表示为：

A ={(x , y ) |x 2+y 2=1,(x , y ) ∈R 2}；

B ={(x , y ) |x 2+y 2

A ={(x , y ) |x 2+y 2≤1,(x , y ) ∈R 2}.

x +y =表示一条直线1}例 6 A ={(x , y ) |2.

⎧x +y =4, A ={(x , y ) |x +y =4}, B ={x (y , ) -x |=y 则例 7 解方程组⎨⎩x -y =2,

A B ={(3,1)}.

特别是表示概念间的层次关系，形成概念体系，用集合论的语言更为清晰.

比如：

{正方形}⊂{矩形、菱形}⊂{平行四边形}⊂{四边形}; {正方形}={矩形}⋂{菱形}； ；{自然数}⊂有理数{⊂}实数{} {无理数}有理数{}=实数{；}{一次函数}⊂正比例函数{⊂}函数{. }

3. 集合论知识对解题的指导作用

3.1对于分类计数问题，经常可以通过集合的文氏图帮助理解，提供解题思路

例 8 有篮球运动员10人，7人能打中锋，4人能打后卫. 今从中选出3中锋2后卫参赛，问共有多少种出场方案？

解 设A ={会打中锋的人}，B ={会打后卫的人}，

A 据题意可画出文氏图如图所示. 设A B ={甲}， 61则按甲打中锋、打后卫不出场三种情况，可得

1出场方案共有C 62C 32+C 63C 3+C 63C 32=165(种) .

例 9 某班有学生45人，其中20个学生有哥哥，10个学

生有姐姐，有哥哥也有姐姐的学生只有一人，求下列学生人数：

（1）有哥哥没有姐姐；

（2）有姐姐没有哥哥；

（3）有哥哥或有姐姐；

（4）哥哥、姐姐都没有.

解 设S ={某班学生},A ={该班有哥哥的学生}，B ={该班有姐姐的学生}，则A B ={该班有哥哥也有姐姐}.

又设n (S ), n (A ), n (B ), n (A B ) 分别表示集S , A , B , A B 的元素的个数，由题设知

n (S ) =45, n (A ) =20, n (B ) =10, n (A B ) =1.

于是

（1） 有哥无姐学生数=n (A B ) =n (A ) -n (A B ) =20-1=19；

（2） 有姐无哥学生数=n (A B ) =n (B ) -n (A B ) =10-1=9；

（3） 有哥或有姐学生数=n (A B ) =n (A ) +n (B ) -n (A B ) =20+10-1=29；

（4） 哥姐都没有的学生数=n (A B ) =n (S ) -n (A B ) =45-29=16.

3.2 对于排例组合问题构造集合，使集合和集合元素之间形成一一对应关系 例 10 将编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中. 若每个信封放两张，其中编号1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）.

A.12种 B.18种

C.36种 D.54种

解 这道题目可以使用一般的求排列组合的方法来计算. 这里使用划归与转化的思想，将投信问题转化为集合的一一对

应关系问题，然后求解. 如题，设6张卡片两两组成一整体构B 2

成集合A ，三封信封为元素构成集合B . 根据题意，集合A 与集合B 的元素是一一对应关系，所以可形成3! 种不同的对应关系，而集合A 中1,2在一起的构成的

6)}{2), (3,6), (4,5)}不同的集合{(1,2), (3,4), (5,6)},{(1,2), (3,5), (4,(1,，共有三种情

形，所以不同的方法共有3! ⨯3=18种.

集合论是整个数学的基础，其思想已渗透到数学的各个领域. 由于集合论对现代数学的基础作用和重要性，因而成为学习和掌握现代数学必不可少的基础知识. 虽大学集合论知识较难，学生在学习集合论时需花大量时间去理解掌握，但教师不可局限于只把学到的集合知识用于高一的只要求4个课时讲解的集合论教学上，教师应掌握运用这门基础、逻辑性强、应用广泛的知识去指导中学数学的教学和研究工作.

参考文献

[1]李三平. 高观点下的中学数学. 陕西：陕西师范大学出版社，2013.

[2]陈月兰. 高观点下的初等数学. 上海：华东师范大学出版社，2011.

[3]康纪权，邓鹏等. 初等数学研究概论. 北京：科学出版社，2010.

[4]程其襄等. 实变函数与泛函分析基础. 北京：高等教育出版社，2010.

[5]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（实验）. 北京：人民教育出版社，2003.