化归与转化思想
一、知识整合
1.解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、
类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一
个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原
问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。除极简单的数学问题外,
每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决
数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根
本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如
未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间
的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,
高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想
的体现。
3.转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能
使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以
保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。
4.化归与转化应遵循的基本原则:
(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的
知识、经验和问题来解决。
(2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,
达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。 (3)和谐化原则:
化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,
或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规
律。(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。(5)正
难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反
面去探求,使问题获解。
二、例题分析
例1.某厂2001年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂
方正在改造建设,元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等,随着投入资金的
逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建设资金又恰好与12
月的生产利润相同,问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系是 ( )
A. m>N B. m
润组成一个等差数列{an },且公差d >0,每月的投资额组成一个等比数列{bn },
且公比q >1。a 1=b 1,且a 12=b 12,比较S 12与T 12的大小。若直接求和,很难比较
出其大小,但注意到等差数列的通项公式a n =a1+(n-1)d 是关于n 的一次函数,其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式b n =a1q n-1是关于n 的指数函数,其图象是指数函数上的一些点列。
在同一坐标系中画出图象,直观地可以看出a i ≥b i 则S 12>T 12,即m >N 。 [点
评]把一个原本是求和的问题,退化到各项的逐一比较大小,而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵,通过对问题的反思、再加工后,使问题直观、形象,使解答更清新。
例2.如果,三棱锥P —ABC 中,已知PA ⊥BC ,PA=BC=l,PA ,BC 的公垂线
1ED=h.求证三棱锥P —ABC 的体积V =l 2h . 6
分析:如视P 为顶点,△ABC 为底面,则无论是S △ABC 以及高h 都不好求.如
果观察图形,换个角度看问题,创造条件去应用三棱锥体积公式,则可走出困境.
解:如图,连结EB ,EC ,由PA ⊥BC ,PA ⊥ED ,ED ∩BC=E,可得PA ⊥面ECD .这样,截面ECD 将原三棱锥切割成两个分别以ECD 为底面,以PE 、AE 为高的小三棱锥,而它们的底面积相等,高相加等于PE+AE=PA=l,所以
1111V P -ABC =VP -ECD +VA -ECD =S △ECD •AE+S △ECD •PE=S △ECD •PA=•333311BC ·ED ·PA=V =l 2h . 26
评注:辅助截面ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解.
例3.在(x 2+3x +2) 5的展开式中x 的系数为( ).
(A)160 (B)240 (C)360 (D)800
分析与解:本题要求(x 2+3x +2) 5展开式中x 的系数,而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理,因此,就要把对x 系数的计算用上述两种思路进行转化:
思路1:直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解,则(x 2+3x +2) 5展
2开式是一个关于x 的10次多项式,(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x 2+3x +2) 5 =(x+3x+2)
(x2+3x+2) (x2+3x+2),它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一
14次项3x 并在其余四个括号中均选 择常数项2相乘得到,故为C 5·(3x)··24=5C 4
×3×16x=240x,所以应选(B).
思路2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算,∵x 2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x),∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法.①如利用x 2+3x+2=x2+(3x+2)转化,可以发
5现只有C 5(3x+2)5中会有x 项,即C 54(3x)·24=240x,故选(B);②如利用x 2+3x+2=
411(x2+2)+3x进行转化,则只C 5 (x2+2) ·3x 中含有x 一次项,即C 5·3x ·C 44·24=240x;
③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化,就只有C 54·(x2+3x)·24中会有x 项,
即240x ;④如选择x +3x+2=(1+x)(2+x)进行转化,(x 2+3x +2) 5=(1+x ) 5×(2+x ) 52
展开式中的一次项x 只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到,即为151x ·C 52+C 5•2•x •C 50•1=160x+80x=240x,故选(B). C 5545
评注:化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。
例4.若不等式x 2+px >4x +p -3对一切0≤p ≤4均成立,试求实数x 的取
值范围。解:x 2+px >4x +p -3 ∴(x -1) p +x 2-4x +3>0
令g (p ) =(x -1) p +x 2-4x +3,则要使它对0≤p ≤4均有g (p ) >0,只要有
⎧g (0)>0 ∴x >3或x 0⎩
的问题中,常常有一个变元处于主要地位,我们称之为主元,由于思维定势的影响,在解决这类问题时,我们总是紧紧抓住主元不放,这在很多情况下是正确的。
但在某些特定条件下,此路往往不通,这时若能变更主元,转移变元在问题中的地位,就能使问题迎刃而解。本题中,若视x 为主元来处理,既繁且易出错,实行主元的转化,使问题变成关于p 的一次不等式,使问题实现了从高维向低维转化,解题简单易行。
三、总结提炼
1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙。
2.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题。