球与多面体
《球与多面体的接、切专题讲座》
一、基本知识点:
1、球内接多面体的定义:多面体的顶点都在球面上,且球心到各顶点的距离都是半径。球内接多面体也叫做多面体外接球
球外切多面体的定义:球面和多面体的各个面都相切,球心到各面的距离都是球的半径。球外切多面体也叫做多面体内切球
2、球与多面体的接、切问题主要指球与正方体、正三棱锥、正四面体的接、切问题;球与其它多面体的接切问题高中不研究
2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题:
(1)球心与多面体中心的位置关系
(2)球的半径与多面体的棱长的关系
(3)球自身的对称性与多面体的对称性
(4)能否做出轴截面
3、球与多面体的接、切中有关量的分析:
(1)球内接正方体:球和正方体都是中心对称和轴对称图形,设球的半径为r,正方体的棱长为a,则:
① 球心就是正方体的中心,球心在正方体的体对角线的中点处
② 正方体的四个顶点都在球面上
③ 轴截面就是正方体的对角面
④ 在轴截面上,含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线,且构造一个直角三角形
a 2
(2)球内接正三棱锥:球是中心、轴对称图形,而正三棱锥不具有对称性,设球的半径为r,球心为O,正三棱锥PABC的底面边长为Pa,侧棱长为b,则:
① 球心O到正三棱锥三个顶点A、B、C距离相
等,则球心O在面ABC上的射影为三角形ABC的中
心M处,M是三角形外接圆的圆心,而P在面ABCO
上的射影也是三角形ABC的中心,则球心O在PM上 C ② AM延长与BC交于BC的中点,则⑤ 球半径和正方体棱长的关系:r
332AMa,RtPAM中,PMba,33
则OMPMr 2AMBD
③ RtOAM中,OA2OM2AM2a, b,r的等量关系
④ 设BC中点为D,则PAD所在的面为轴截面
⑤ 球心到各顶点距离相等,但球心到各面距离不相等,原因是底面为正三角形,而侧面是等腰三角形,即正三棱锥外接球的球心和内切球的球心不重合
(3)球内接正四面体:正四面体实际上是正三棱锥的一种特殊情况(各面都是正三角形,各棱都相等),设球的半径为r,球心为O,正四面体的棱长为a,则:
① 球心到各顶点和各面的距离都相等,则正四面体外接球的球心和内切球的球心重合
6a,将球心和各顶点相连,则构造四个体积相等的三棱3
锥,则利用四个三棱锥体积和等于正四面体的体积可得:
664VOABCVpABC4OMPMOMa,在RtOAM中,OAra 124
(4)球外切正方体:设球的半径为PABC,正方体的棱长为a,则:
① 球面和正方体的各面相切,和棱相离
② 球心为正方体的中心
1③ 球的直径是正方体对面中心的连线,则ra 2
(5)球外切三棱锥:设球的半径为r,球心为O,正三棱锥PABC的底面边长为a,侧棱长为b,则: P
① 球面和正三棱锥的底面、三个侧面都相切,和棱相
离
② 由对称性,球心在高PM上,球心到各面距离相等
为r
③ 求球的半径可利用体积
法:3VOPBCVOABCVPABC A
④ 球O和侧面的切点在斜高上,设BC中点为E,过
O向PE做垂线,则垂足N为球面和侧面PBC的切点,
则三角形PAE为轴截面,在PAE中,大圆和AE、PE相切,与PA相离
⑤ 在轴截面内的计算可以利用三角形相似(PON∽PME)或解直角三角形
(6)球外切正三棱锥:就是球外切三棱锥的一种特殊情况,不再重复
二、例题讲解:
例1.正三棱锥的高为1,底面边长为2,内由一个球与四个面都相切.(1)求棱锥的全面积;(2)求球的面积;(3)求球的体积 解析:球的半径经过计算可得:r2,则 ② 正四面体的高PM
(1)棱锥全面积为:9263
(2)球的面积为:4(62)2 C
4 (3)球的体积为:(62)3 3
例2.一个四面体的所有棱都是2,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为( )
A 3 B 4 C 33 D 6
答案:A
例3.将半径为R的四个球,两两相切地放在桌面上,求上面一个球的球心到桌面的距离 解析:四个球的球心两两相连恰好组成一个正三棱锥,且各棱长都是2R,所球问题就是正三棱锥顶点到底面的距离(高). 答案:(21)R 3