高中数学必修 1 高端备课

高中数学必修 1 高端备课

王尚志：首都师范大学 教授

张思明：北京大学附属中学 特级教师

罗强：江苏省苏州五中 特级教师

孙宁：山东师范大学附属中学 中学高级

张思明：各位老师大家好，在必修一整体介绍中我们已经请张老师和王老师就第一模块整体进行了数学分析，并举出了三个案例和大家一起分享了老师们在备课中的思考。

今天，我们就第一模块教学中的一些问题展开进一步的讨论，参加我们讨论的几位嘉宾：最右边首都师范大学博士生导师王尚志教授，山东师范大学附属中学的孙宁老师，也是山东省的教学能手。我旁边这位是江苏省苏州五中的罗强校长，一位特级教师。

我们特别想请两位课改实验区的老师帮我们介绍一下通过这么多年的课程改革，老师们在课程改革中有哪些变化。

罗强：江苏进入高中新课程已经是五年的时间了。

第一个最大的变化，就是校本教研普遍加强，学术研究的氛围加强，成为了很多学校的常态。新课程带来的变化非常大，这个变化具体体现在就是教材的变化。比如说，对内容的处理，不同的教材有不同的处理方式，和老教材又有不一样的处理方式。这些问题正好是校本教研很重要的载体。

比如说，立体几何。立体几何现在是先学空间几何体，再学点线面的位置关系。就是这样的编排不同的教材也不一样，我看了一下人教A 版、人教B 版都是空间几何体在前面，点线面位置关系在后面。那么，苏教版把空间几何体拆成两部分，其中空间几何体的侧面积和体积放到了最后。对于这些问题，我们校本教研就有了一个研究的载体。同时，也有了一个大家民主探讨的氛围。大家可以各抒己见，为什么教材这样安排，哪种安排更合理。因为疑问多，所以老师们之间必须加强合作，通过集体备课，群策群力来解决这些问题。然后，因为大家都研究起来了，所以我们的智慧可以互通，我们的资源可以共享。这也是校本教研的办法。

校本教研还有一个最大的变化，就是我们所有的疑问，所有的思考最后都聚焦到了课堂上。我们的不同思考最后可以用课堂教学来展现出来，然后把思考成果回到课堂去。这是校本教研的第一个变化。

第二，就是教师的教育理念和教学行为也普遍发生了可喜的变化。首先，比如说是教学目标，我们着眼于学生的全面发展，长远发展。现在教学目标中间我们要落实三个目标，最初我们感觉到有一点误区，特别是情感、态度、价值观。但是，随着我们实践的深入，我就感觉到三个目标是：第一个是知识与技能的目标，就是让学生学会。第二个是过程与方法这个目标，就是让学生会学。第三个情感、态度、价值观这个目标就是让学生乐学。 教育理念在不知不觉发生变化，在影响着我们的教学行为。

同时，教师的角色，从知识的传授者向教学的组织者、引导者、合作者转变，这些也都能够在我们的课堂教育中间看到。

还有就是学生的学习方式也在发生变化，课堂里面学生自主、合作、探究的学习方式也越来越多。还有一个就是信息技术也更多的和我们的数学教学整合起来。我觉得这是教育理念和教学行为的一种变化。

第三个变化，就是对于数学教学的思考在向更深层次深入。比如说，我们苏州最近在研究一个很重要的课题，就是如何提高教学的有效性。从教学来讲，首先追求的是效果。但是，我们现在不满足于追求这个效果，还希望追求效率。效率就是说在单位时间内取得的效果，在有限的时间里面取得的效果。还要追求效益，就是这个效果对于学生持续的影响力，对于学生思维的迁移程度，还追求这些。

还有我们对于教学的思考，从研究关注教师的教向关注学生的学转变，在教学中间有一个很普遍的现象值得我们思考，就是学生一听就懂，但是一做就错。这个问题有时候从教师教这个角度来讲，甚至可以找不出毛病。但是，站在学生学这个角度来思考，那这里面就有很多需要我们研究的问题。

孙宁：山东省第二轮课程改革的一些措施给我们的教育带来了一些可喜的变化。

就数学而言，第一点变化就是课堂教学发生了可喜的变化。老师的角色进行了转变，承认学生在课堂上的价值。老师的课堂教学让学生能够在课堂上充分、最大限度的得到发展。 第二点变化，评价机制发生了根本的变化。对教师的评价改变了过去单纯的以分数的评价，现在更加关注老师对学生的关注程度，教师对校本课程的开发，教师对于教研活动的参与等等各个方面更加科学。对于学生的评价更加关注学生的发展，注重了过程的评价。力求建立一种全面的、适合学生全面发展一个多元化的评价机制，这两点是最可喜的变化。

王尚志：我们新课程强调了一个基点，就是关注学生。整个教育的目的就是要促进学生的全面发展，我们教师应该在这里面扮演一个组织者、引导者、支持者、激励者。不是放弃对于学生知识的传授，更重要的目的是希望学生能动起来，思维活跃，和我们一起把课程学好。 我在听课的过程中感觉，实验区的老师在尽量把自己的数学课上得活一些，让学生喜欢。有的学生跟我讲，上某些老师的数学课是一种享受。我觉得大家都在这方面不断的追求，我想我们中国的数学教育就会做得越来越好。

据我了解山东省第二轮课程改革的力度还是很大的。为了保证我们的学生在一个很好的教育氛围里成长提出了一系列的要求，所有这些要求都围绕着怎么促进学生全面的发展展开，对老师、对学校、对管理，甚至对于教育局的领导都提出了一系列的、非常严格的要求。 我刚从江苏回来，江苏省也在酝酿着一次新一轮的变革，这些变革和山东省的一些变革会有一些类似。随着新课程的发展，会出现很多的问题，我想大家不能回避问题，不断的探索解决问题的办法，我们的最终目的是要让学生获得更大的收获。

张思明：在这次备课活动中我们特别听取了大家对于新课程中存在一些问题的分析和反应，我们下面也请实验区的两位老师帮我们就这些问题进行一下分析。

孙宁：在具体实施新课标教学过程中，我们发现这样一些问题。

第一，新课程标准里面降低了要求的内容，有些老师还在人为的拔高。比如说，几何的概念和运算，不少老师上来就把含参数的方程不等式以及平面点集等等内容抛售给学生，使得学生对于几何的概念没有产生很好的巩固理解。再比如说映射的概念，映射的概念是作为函数概念的一个推导来呈现的。不少老师也搞了一些稀奇古怪的比较难的题目抛给学生，使得学生对映射的概念没有牢固的掌握。

王尚志：老师可以适度的补充一些内容，比如说在几何里面，像几何的参数，有一些带参变量的。但切记拔高的程度，有些老师搞的已经不是数学了，比如说有一些几何参性的讨论已经超出了我们数学的范围。我们数学要讨论的几何，元素和几何的属于关系是清楚的，不清

楚的我们没有必要去研究，刚才孙老师说的都是非常重要的，希望我们老师能够参考。

张思明：这里面可能也有这样一些想法，比如说老师在以前教学过程中，对于教学过程的认识都是先从映射，然后再特殊化，标准和教材有这样一些变动以后，老师比较习惯的按传统的惯性来做，认为那是容易做的事情。但是，跟学生接受程序是不是一致考虑的不一定很充分。

王尚志：数学强调两种思维模式，一种是演义，一种是归纳。这两种思维方式都是重要的。我们既要让学生能够有一个归纳的过程，脑子里要有具体的、生动的函数，映射的例子。然后在这个基础上建立起函数的概念和映射的概念。而函数又是映射的一个特殊情况。同时，一旦我们掌握了一般的概念，再分析它和特殊概念之间的差异。这样两种思维模式，我们都要关注。

新课程强调了归纳推理的作用，因为大部分的概念的来源都是通过归纳得到的。思明刚才讲的这一点，是值得我们老师关注的。

罗强：刚刚进入新课改时，我们老师其实对教材缺乏一个整体的认识，教材的变化，内容有删减增流的变化，要求有升降的变化，教学顺序有前后倒置，还有螺旋上升，分布到位。老师很容易按照一种惯性，原来习惯的，原来教到这个地方就要讲反函数了，讲到这个例子很自然就引申出负函数了，也还存在老师觉得老课程很好，几何之后马上讲一元二次不等式，然后就对几何的多种性质进行研究，可能还有一个不适应的过程，从内心还没有能够完全接受新课程编排的理念。

随着新课程的逐步推进，特别是一轮课改完成以后，我想这个问题会逐步的得到改变。

孙宁：第二个问题就是忽视学习过程的层次性和渐进性，追求一步到位。比如说，函数的定义域。这个问题很多老师上来讲定义域以后，就把很复杂的复合函数拿出来，然后让学生进行讨论。

最典型的问题就是函数的单调性和奇偶性。很多老师有些都是高三下来的老师，讲到这部分内容的时候，很自然的就把函数、复合函数单调性的讨论，单调性、对称性、奇偶性的关系以专题的形式带到课堂上来，增加了教学时间，学生也不大理解。

王尚志：孙老师说的这一点，正是我们在前面单调性课程里希望老师能够思考的问题。就是什么样的数学内容需要螺旋式上升？大体上，我们认为重要的数学内容是不大可能一步到位的。比如说单调性的问题，在我们整个高中阶段大概分成两个阶段：第一个阶段，就是我们用代数的办法去处理函数的单调性。在这个阶段里我们需要认识单调性的作用和意义，它反应了函数的变化，反应了函数图像的形状。

在这个基础上，我们要帮助学生建立函数单调性的概念，从图形的语言变成自然语言，从自然语言抽象成符号语言，给一个比较简洁的表述。我们还要帮助学生依托于一些具体问题，掌握单调函数判断的过程，也就是证明的过程。

孙宁：王老师说的这个是不是就是从定性的分析到定量？

王尚志：对，到定量的分析。我们要不断的依托要教给学生的一些基本的函数模型，简单的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、等差数列、等比数列，不断的加深。在讨论这些具体函数中单调性应该发挥的作用，经历这么一些过程，才有可能在我们必修阶段形成单调

性的第一个阶段的认识。

到了第二个阶段，我们用变化来研究函数，用导数来研究函数，对于函数单调性有一个再认识。通过这样两轮，我们才有可能对于单调性有一个比较完整的，比较全面的认识。这样就为大学的学习奠定了基础。

在这些重要的函数概念、数学概念、数学技能上，我们可能很难一步到位，需要有一个层次递进。老师必须清楚这些东西，在教学中才能更好的把握住这个度和这个递进的程度。

张思明：这也是刚才罗强校长考虑的教学效率、效益、效果的问题。我们先要保证效果，老师常认为最可靠的效果是所遇到的题都用题形的方式一个一个全弄出来，老师用这种东西来保效果。按照王老师提出的道理，我们要分析一下，把难度一到难度十的题怎样给出来效果好，是刚开始我们难度一到三做一个半开，有其他的例子帮助学生积累经验以后再出三、四、五，再出六、七、八？还是一起给学生？哪样效果好，在这个讨论中，希望老师们向这个方向有更多的思考，然后采用保效果，提效率和效益的措施。

王尚志：再举另外一个例子，比如说在必修一的教学中，有一种非常重要的方法要教给学生，就是我们通常所说的待定系数，这样一种方法也不是一步能到位的。因为，待定系数之所以被我们称之为一个通性通法，代表一类问题。比如说指数函数，

，要解决问题时，我们首先要做出判断，我们是不是在处理一个与函数有关的问题，用哪一个函数来解决这类问题。如果能做出判断，这个问题是属于指数函数范畴的，就要确定在这一类指数函数中，它的底数a 是谁，是大于1还是小于1大于0。

在这个基础上，我们要帮助学生掌握这样一种方法，如何用给的条件来确定a 。这就是我们通常所说的待定系数的方法。研究指数函数是这样，研究对数函数也是这样，研究三角函数也是这样，研究我们通常所说的幂函数、二次函数。这样我们就慢慢帮助学生加深了对于模型的认识，加深了对于待定系数这样一种通性通法的理解和认识。

如果老师清楚这样一个过程，就会借助不同载体，帮助学生自然而然的形成和掌握待定系数的方法。

张思明：数形结合的思想我感觉也是这样。

孙宁：数形结合的方法也是要在教学过程中逐步的深刻。比如说，在必修一模块，函数的单调性最初认识的就是上升和下降，然后到了定量分析，看函数的平均变化率，平均变化率大于0是增函数，变化率小于0是减函数。

到了必修二，还可以再结合函数直线的斜率，函数出现了任意两点效率大于0增函数，小于0减函数。然后还有王老师你说的到了导数，进一步再考虑变化率的基线，这是一个循环渐进的过程，数形结合也是不能一步到位的。

王尚志：我非常赞成孙老师的说法。我们支撑数形结合有三个重要的载体：一个是函数。因为，我们知道函数既有代数或者说列表表达的方式，我们通常所说代数的形式，又有作为几何图形的形式，就是我们通常所说的函数图象。因为，它本身就是一个数形结合的数学概念。 第二个重要载体就是解析几何，研究的对象是几何，用的方法是代数。它就必然会成为一个数形结合的焦点。

第三个重要的载体就是我们在必修四要学到的向量，它同样有代数的含义，可以算，又有几何的含义。只有通过我们对这些数学内容的认识，数学内容它的本质了解，才能在我们的教

学中不断把数形结合的思想融在学生对于数学问题的思考中，来提高他的数学素养。

孙宁：我们在教学过程中感觉第三个突出的问题就是急于综合，超前评价，不注意教材的整体变化。

这里面最突出的问题，就是二次函数问题。二次函数它是一个重点内容，但是它也是一个循环渐进的过程。初中里面我们讲二次函数只是形象化的描述，高一对二次函数需要再研究，要研究函数和方程的关系，到了必修四我们还要牵扯到二次函数，三角函数里面都有。到必修五，我们要讲二次函数和二次不等式，进一步来加深对二次函数的理解，通过数和形的这样一个思想。

二次函数在导数里面又发挥了它很重要的作用。因为，三次函数的导数就是二次函数，所以二次函数的研究对于我们认识三次函数有一个很好的把握。

但是，我们现在看到的二次函数在必修一的过程中很多题目，单参数的，双参数的统统的进来了，学生招架不住，搞得一头雾水。所以，老师也感觉到在这个地方教学也产生一些困难。

罗强：我补充一点，我觉得在课堂教学中间，比较普遍的还是一种以解题得分为指向的教学模式。那么，为什么会有这样一种教学模式？

我觉得这就跟每位教高中的老师包括我跟孙老师一样，都有“恐高症”。这个恐高就是恐高考，因为高考它的要求里面，它的功能就是选拔性考试。所以在高考试题里面必然有一部分试题能够考察学生的能力，我们说知识的要求是有限度的，但是对于能力的要求没有限度，它是一个无底洞。因为恐高，所以老师就急于在高一的时候，刚刚学一个新知识的时候就想把这种要求贯彻下去，超越了教材的要求，超越了学生的实际。

比如说，在教学模式中间，我们新课程倡导要创设问题情境，要让学生进行数学活动。但是，这两个环节费时也费力，对于解题得分能产生直接效果吗？有时候看不见，那么有一些老师就省略了这个环节。这样的话，长此以往无形中就忽视了对于学生数学思维能力的培养，忽视了学生对于数学本质的理解。一上来对学生的训练就是题形、题海。学生要训练成拿到题目不仅思考，又能够去做。其实，无形中间成了一个机器，解题是厉害的。但是，其实是一种条件反射，是一个机器，没有自己思维的机器，我觉得这个问题值得引起我们的重视。

王尚志：非常同意罗校长的分析。具体表现出的典型问题，就是对于概念教学关注不太够。 在大学老师中，对于中学生进入大学普遍有一个感觉，就是希望能够帮助学生改变这样一种习惯，只能通过做题来学习数学。做题是学习数学一个非常重要的、不可或缺的手段。但是，不是唯一的手段。

比如说，对于概念的理解。对于概念的理解不仅仅是在学习概念的时候。在我们思考问题的过程中，在我们解题的过程中，我们老师都需要不断的强调这个概念所起的作用，概念所发挥的作用。这一点有时候老师常常没有给予足够的关注。

我们还拿函数的单调性来说。函数的单调性是一个概念，当给定一个函数y=f（x), 在某一个范围，当任意X 1 小于X2 的时候，我们问函数f(X 1 )与函数f （X2）的关系是什么？如果是小于关系，我们就说是严格单调，如果是小于等于我们说是不严格单调等等。

这样一个概念，它反应的是什么呢？反应的是函数在变化，自变量变化了，函数值的变化。这样一种变化规律是反应函数最核心的性质，在解题中，或者在思考某些数学问题中怎么发挥作用呢？要把我们对于概念的理解融在学习整个数学的过程之中，或许就能像罗校长说的一样，有效率，又有效应。

在这个问题上不能太短见，要在概念教学上下一点功夫，要去思考怎样才能提高概念教学的效率，怎样才能提高概念教学的效益。怎样在解题过程中反复的强调基本概念所发挥的作用，

都是需要我们认真来考虑的。

当然，还有一些其他需要关注的东西，比如说学生的经验的积累。这次在义务教育课程修改过程中加了一个学生的数学活动经验，积累经验是要让学生自己去感悟它。

比如说，刚才孙老师说到数形结合这件事情，不是我们讲到了、提到了学生就建立起来了，他要积累这方面的经验，逐步变成一种思维的习惯，碰到问题要画一个图，或者试图画一个图，把你要解决的问题用图形的方式直观的表达出来。概念了、经验了，这些通性通法了，都是我们在教学中需要关注的问题。

刚才罗校长提到了的问题是我们总结出来的经验。我们在辨识的过程中，无论如何要关注什么是不变的，这才是是最本质的东西，而不能把问题停留在一些末节上去变来变去，反而忽视了对于最核心东西的认识。

罗强：我再补充课改中间的一个问题。

比如说现在新课改强调信息技术和数学教学的整合。从学校来讲在硬件上面也加大了投入，在软件上面也加大了投入。有了互联网以后，课件、资源的获取也越来越方便了。但是，我觉得在信息技术使用的初期，它很有可能出现一种信息技术与题海战的这样一种结合。 一些课因为有了信息技术所以变成信息量大了，题目多了，老师的讲解多了，然后变化直观了，但是学生的思维反而少了的情况。

王尚志：这是典型的问题，过去老师要在黑板上抄一个题目。在抄的过程中，实际上是给学生一个思考的机会。现在当然信息技术可以节约时间，一下子把问题打出来了，老师马上就进入了分析，学生还没有一个足够的准备。所以，使用信息技术就像罗校长说的，还是需要关注学生的思维过程。

罗强：因为苏州信息技术使用比较早，在使用过程中我们也有体会，就是要用得恰到好处。比如说，我印象比较深的五中有两次活动。一次活动是我们对外公开课，一位老师上三角函数图像的变换。他在学校内部第一次试上的时候，做了一个很精美的动画，把图像的变化很直观的、动态的呈现在学生面前。当时我听了以后就提出试试看不用多媒体能不能把变化的规律也呈现给学生？然后比较一下两种方法哪一种方法更好。提出这个问题以后，这位老师回去很深入进行了思考，思考过后他最后选择的就是放弃用多媒体。这堂课当时是一个公开课，最后这个老师就完全在黑板上面，借助五点作图法，把这个图像的变化一步一步的呈现出来，最后概括出这个变化规律，我们觉得这个效果非常好。

再比如说另外一堂课讲的是线性回归方程的求解。当时，同期要求两个老师，一个用多媒体，一个不允许用多媒体。因为教学手段的差异，所以教师在教学设计中间也有导向性的差异。当然可能因为教学经验也有差异，最后的结果是，用多媒体的那个老师更多的关注提供给学生更多的信息量，把线性回归方程历史，甚至曾经在天文学上的用途、事件作为一个情景，历史人物的介绍，信息量大。因为它是一个规则的教学，最后让学生掌握线性回归方程A 和B 参数求解的时候，最后时间来不及了。

而不用信息技术的那位老师，因为没有这样一个手段，所以把更多的精力放在如何探求求解的方法上，然后通过一个例题来训练学生怎样求解。这两堂课上下来，从单纯的效果来讲，不用多媒体的反而好一些。

王尚志：我想信息技术是一个好东西，首先我们要肯定。另外，我们还要认识到信息技术是一个帮忙的东西，是一个辅助的东西。

我想我们要把这个帮忙的东西发挥好，这是数学老师的本领，而不是冲淡了要教的东西，我

想这件事情是值得我们大家去思考的，怎样把信息技术用在点子上，用在能够帮助我们建立起数学的思维，抓住数学的本质上，这个思考非常有价值。不能简单的说用好还是不用好，而是我们要结合我们要教的具体内容来看怎么用能帮助我们的学生更好的理解数学。

除了刚才二位老师提到的一些问题，我很希望老师再认真继续思考一个很重要的问题，就是我们怎样发挥学生的作用，怎样把学生学习数学的激情、兴趣激发出来，让我们的学生喜欢我们的数学课，让我们的学生喜欢你这个教数学的老师。也许我们教师的职业生涯在这个方面能有所推进以后，会变得更加的活跃，更加的有吸引力。

孙宁：王老师提的这个问题非常好，能否在课堂上最大限度的发挥学生的作用是我们老师课堂教学水平的一个体现。

比如说，我们讲指数函数和对数函数图像关系的时候，是不是需要让学生亲自动手用几何画板去做出函数的图形，从中体会一下两个函数的图像在大于1的时候有没有交点，有几个交点，在大于小于1的时候有没有交点，有几个交点。如果学生没有参与到这个过程里面，他体会不到探索的快乐。

王尚志：我想这个问题可能需要我们的老师能贡献出更多的智慧，能够提供更多的好的案例，作为一个数学老师来说，无论是大学老师、中学老师还是小学老师，可能都喜欢，或者都应该让你的学生喜欢你的数学课，让你学生喜欢你，通过你更喜欢数学课，让你的学生在你所上的数学课里感到一种愉悦。我想这样的数学课会对整个数学教育，或者会对学生的发展会有很大的好处。

张思明：我们前几节课程当中老师们都提出来重视概念教学，那么把握什么是重要的概念，我们也感觉到有一些差异，这种差异其实我觉得是老师对于概念的数学价值，数学内涵的思考是不是到位了。比如说，我们第一章里面，很多老师也在把握几何的概念里去强调讲三性，在函数教学过程中，把定义域、值域、单调性、奇偶性这些性质或者说这些定义分的层次，认为是在同一个层面上。

在新课程里要把重要的概念把握好，要重视核心概念，或者说更本质的东西，需要提高自己在学科上的素养。王老师反复提的整体把握，做到整体把握核心要在数学上对我们的内容有更多的思考，更多的去体会标准和教学背后的那些数学背景里发生的变化。我觉得这也是我们应该注意的一个问题。

王尚志：最后我们想给老师一个建议，也是我们这次培训工作的一个核心理念。就是当我们备一节课，一章课，学习一个模块的时候，一定要跳出这一节、一章、一个模块来看这一节课、一章课、一个模块的内容在整个高中课程中的作用。

就是从具体到整体，我觉得这是一个，然后再从整体回到具体，那么你就会清楚这一节课、一章课或者是一个模块的课程在整个高中课程应该做什么样的贡献，应该处于一个什么样的位置，应该教到什么程度。

所以，局部到整体再到局部，是我们在这次培训过程中希望全面和老师交流的一个关键。 第二，就是刚才我们提的问题，怎样激发学生喜欢我们的课，愿意来上我们的数学课，并从我们的数学课里感到一种愉悦，喜欢我们教数学课的老师。所以，我们觉得在这个方面，我们期待依托于必修一这样一个模块，我们的老师能把各自的经验通过作业的方式提供给我们，让我们大家一起来分享你们在教学过程中的这方面积累出来的经验，从而推动整个新课程不断向深入的方向去发展。