抛物线的几何性质.圆锥曲线的共同性质
抛物线的几何性质、圆锥曲线的共同性质
一、知识点回顾:
1、抛物线的几何性质
2
二、巩固练习
(一)抛物线的几何性质
1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x =-2,则抛物线的方程是________.
2.经过抛物线y 2=2px (p >0)的所有焦点弦中,弦长的最小值为________.
3.(2013·烟台高二检测) 过抛物线y 2
=4x 的焦点作直线与抛物线相交于P (x 1,y 1) ,Q (x 2,y 2) 两点,若x 1+x 2=8,则PQ 的值为________.
2
4.(2013·四川高考改编) 抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y
3=1的渐近线的距离是
________.
5.已知等边三角形AOB 的顶点A ,B 在抛物线y 2=6x 上,O 是坐标原点,则△AOB 的边长为________.
6.过抛物线y =ax 2
(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别为m 、n ,则11
m +n =________.
7.(2013·南通高二检测) 已知弦AB 过拋物线y 2=2px (p >0) 的焦点,则以AB 为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________.
8.(2012·陕西高考) 如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时, 拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 ________米.
9.(2013·哈师大附中高二检测) 设抛物线顶点在原点,焦点在y 轴负半轴上,M 为抛物线上任一点,若点M 到直线l :3x +4y -14=0的距离的最小值为1,求此抛物线的标准方程.
10.过点(0,4),斜率为-1的直线与拋物线y 2=2px (p >0) 交于两点A ,B ,如果OA ⊥OB (O 为原点) 求拋物线的标准方程及焦点坐标.
11.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与抛物线y 2=4x 相交于不同的A 、B 两点. (1)如果直线l 过抛物线的焦点,求OA →·OB →的值;
(2)如果OA →·OB →=-4,证明:直线l 必过一定点,并求出该定点.
(二)圆锥曲线的共同性质
1.中心在原点,一条准线方程为x =8,离心率为1
2的椭圆方程为________.
2.双曲线2x 2-y 2=-16的准线方程为________.
2
2
3.如果双曲线x y
42=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是________.
4.(2012·大纲全国卷改编) 椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x =-4,则该椭圆的方程为________.
5.已知椭圆x 2y 2
100361上有一点P ,它到左、右焦点距离之比为1∶3,则点P 到两准线的距离分别为________.
.若双曲线x 2y 2
68-b =1的一条准线与抛物线y 2=8x 的准线重合,则双曲线的离心率为________.
7.(2013·吉林高二检测) 已知A (-1,0) ,B (1,0),点C (x ,y ) 满足:(x -1)+y 1
|x -4|2,则
AC +BC =________.
8.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF →=2FD →
,则椭圆C 的离心率为________.
二、解答题
.已知椭圆x 2y 2
925+16=1,P 为椭圆上一点,F 1、F 2为左、右两个焦点,若PF 1∶PF 2=2∶
1,求点P 的坐标.
10.求中心在原点,长轴在x 轴上,一条准线方程是x =3,离心率为5
3
.已知双曲线x 2y 2
11a b 1(a >0,b >0) 的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ,F 是双曲线的右焦点.
(1)求证:PF ⊥l ;
(2)若|PF |=3,且双曲线的离心率e =5
4,求该双曲线方程.
答案卷
(一)抛物线的几何性质
1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x =-2,则抛物线的方程是________. 【解析】∵p
22,∴p =4,∴抛物线标准方程为y 2=8x . 【答案】 y 2=8x 2.经过抛物线y 2=2px (p >0)的所有焦点弦中,弦长的最小值为________. 【解析】 通径长为2p . 【答案】 2p
3.(2013·烟台高二检测) 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与抛物线相交于P (x 1,y 1) ,Q (x 2,y 2) 两点,若x 1+x 2=8,则PQ 的值为________.
【解析】 PQ =x 1+x 2+2=10. 【答案】 10
.(2013·四川高考改编) 抛物线y 2
=4x 的焦点到双曲线x 2
-y 243=1的渐近线的距离是
________.
【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0), 双曲线的渐近线方程为3x -y =0或3x +y =0,
则焦点到渐近线的距离d |3×1-0|
3|3×1+0|(3)2+(-1)22d 331=2=(3)2+122【答案】 2 5.已知等边三角形AOB 的顶点A ,B 在抛物线y 2
=6x 上,O 是坐标原点,则△AOB 的边长为________.
【解析】 设△AOB 边长为a ,则A 3a a 23
2,2,∴4=6×2.
∴a =123. 【答案】 3
6.过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别为m 、n ,则11
m +n =________.
【解析】 由焦点弦性质知112x 2=11
PF +FQ =p ,抛物线的标准方程为a (a >0),∴2p =a ,p =12a
∴114a ,即11
PF FQ m +n =4a . 【答案】 4a
7.(2013·南通高二检测) 已知弦AB 过拋物线y 2=2px (p >0) 的焦点,则以AB 为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________.
【解析】 设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,AB 中点为M (x 0,y 0) , 如图,则AB =AF +BF =x 1+x 2+p .
设A ,B ,M 到准线l :x =-p
2距离分别为d 1,d 2,d ,则有d 1=x 1+p d p 22=x 2+2
d =d 1+d 2x 1+x 2+p AB 22
2
∴以AB 为直径的圆与拋物线的准线相切.
【答案】 相切
8.(2012·陕西高考) 如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽________米.
【解析】 设水面与拱桥的一个交点为A ,如图所示,建立平面直角坐标系,则A 的坐标为(2,-2) .
设抛物线方程为
x
2=-2py (p >0),则22=-2p ×(-2) ,得p =1.
设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x 0,-3) ,则x 20=6,解得x 0=6,所以水面宽为26米.【答案】 26
9.(2013·哈师大附中高二检测) 设抛物线顶点在原点,焦点在y 轴负半轴上,M 为抛物线上任一点,若点M 到直线l :3x +4y -14=0的距离的最小值为1,求此抛物线的标准方程.
【解】 设与l 平行的切线方程为3x +4y +m =0,
由⎧2
⎨x =-2py ⎩3x +4y +m =0
得2x 2-3px -pm =0. |14-9∴Δ=0即m =-98. 又d =8p |
152
51, ∴p =8或p =9舍) ,
∴抛物线的标准方程为x 2=-16y .
10.过点(0,4),斜率为-1的直线与拋物线y 2=2px (p >0) 交于两点A ,B ,如果OA ⊥OB (O 为原点) 求拋物线的标准方程及焦点坐标.
【解】 直线方程为y =-x +4.
由⎧⎨y =-x +4,
⎩y 2=2px ,
消去y 得x 2-2(p +4) x +16=0. 设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,则
x 1+x 2=2(p +4) ,x 1x 2=16,Δ=4(p +4) 2-64>0. 所以y 1y 2=(-x 1+4)(-x 2+4) =-8p .
由已知OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0,从而16-8p =0,解得p =2.
所以,拋物线的标准方程为y 2=4x ,焦点坐标为(1,0).
11.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与抛物线y 2=4x 相交于不同的A 、B 两点. (1)如果直线l 过抛物线的焦点,求OA →·OB →
的值;
(2)如果OA →·OB →=-4,证明:直线l 必过一定点,并求出该定点. 【解】 (1)设l :my =x -1与y 2=4x 联立,得y 2-4my -4=0, ∴y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,
∴OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=(m 2+1) y 1y 2+m (y 1+y 2) +1=-3. (2)证明:设l :my =x +n 与y 2=4x 联立,得y 2-4my +4n =0,
∴y 1+y 2=4m ,y 1y 2=4n .
由OA →·OB →=-4=(m 2+1) y 1y 2-mn (y 1+y 2) +n 2=n 2+4n ,解得n =-2, ∴l :my =x -2过定点(2,0). (二)圆锥曲线的共同性质
1.中心在原点,一条准线方程为x =8,离心率为1
2的椭圆方程为________. 【解析】 由题意,得e c 1a 2
a =2c 8,∴a =4,c =2, 2
=a 2
-c 2
=12,∴椭圆方程为x 2y 2x 2y 2
b 16121. 【答案】 16+12=1
2.双曲线2x 2-y 2=-16的准线方程为________.
双曲线方程可化为:y 2x 2
【解析】 1681,∴a 2=16,b 2=8,c 2=24, ∴准线方程为y =436. 【答案】 y =4
6
3.如果双曲线x 2y 2
421上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是________.
【解析】 由题可知a =2,b 2,c 6, a 2右准线x 4c 6
c 6
e =a 2.
设P 到y 轴的距离为d ,则
2
=6,d =46. 【答案】 4-
42336 d 64.(2012·大纲全国卷改编) 椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x =-4,则该椭圆的方程为________.
由题意得,-a 2
【解析】c 4,即a 2=4c ,且椭圆的焦点在x 轴上,又2c =4,则c 2
,b 2
=a 2
-c 2
=4,则椭圆的方程为x 2y 2x 2y 2
=2,故a =88+4=1. 【答案】 841
.已知椭圆x 2y 2
5100361上有一点P ,它到左、右焦点距离之比为1∶3,则点P
到两准线的距离分别为________.
【解析】 设P (x ,y ) ,左、右焦点分别为F 1,F 2,由已知的椭圆方程可得a =10,b =6,c 4
c =8,e =a 5PF 1+PF 2=2a =20.
又3PF 1=PF 2,∴PF 1=5,PF 2=15.
PF 25PF 75
设点P 到两准线的距离分别为d 1,d 2,可得d 1=e =4,d 2=e 4故点P 到两准线25752575
的距离分别为44 【答案】 4,4
3c 2c 2112
BF =2FD ,得a =2a -a ,整理得a =3,即e =3
333
∴e =-3舍去) 或e =3【答案】 3 二、解答题
x 2y 2
9.已知椭圆25+16=1,P 为椭圆上一点,F 1、F 2为左、右两个焦点,若PF 1∶PF 2=2∶1,求点P 的坐标.
6.若双曲线x 2y 2
8-b =1的一条准线与抛物线y 2=8x 的准线重合,则双曲线的离心率为________.
【解析】 y 2=8x 的准线为x =-2,因此,双曲线的一条准线方程为x =-2, 则-a 2,又a 2=8, ∴c =4. ∴e =c 4c 2a 22
2. 【答案】
2
7.(2013·吉林高二检测) 已知A (-1,0) ,B (1,0),点C (x ,y ) 满足:(x -1)+y 1
|x -4|2,则
AC +BC =________.
【解析】 ∵点C 到B (1,0)的距离与它到直线x =4的距离之比为1
2
∴点C 的轨迹是椭圆,且c 1a 2
a 2c c =4-1, ∴a =2,c =1.
∴点A 恰好是椭圆的另一个焦点. ∴AC +BC =2a =4. 【答案】 4
8.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF →=2FD →
,则椭圆C 的离心率为________.
【解析】 设椭圆C 的焦点在x 轴上,如图所示,B (0,b ) ,F (c, 0) ,D (x D ,y D ) ,则BF b +c =a . 作DD 1⊥y 轴于点D 1,则由BF →=2FD →
,得OF BF DD 1
=BD
2333c a 2
32
=圆锥曲线的统一定义得FD =e (c 3c
3DD 1=2=2c ,即x D =2c -2) =a -2a . 又由
【解】 设点P 的坐标为(x ,y ) . x 2y 2
∵椭圆25161,∴a =5,b =4,c =3.
∴e =3255x =3.
由圆锥曲线的统一定义知PF ed 325) =3
1=1=5(x +35x +5, PF 3253
2=ed 2=53x ) =5-5.
∵PF 33
1∶PF 2=2∶1,∴(5+5) ∶(5-5) =2∶1, 解得x =258
9,代入椭圆的方程得y =914. ∴点P 的坐标为(258258
9914) 或(9914) .
10.求中心在原点,长轴在x 轴上,一条准线方程是x =3,离心率为5
3 【解】 法一 设椭圆的方程为x 2y 2
a b 1(a >b >0).
⎧a 2⎪c =3,⎧a 由题意得⎨
所以⎪=5,
⎨⎪⎩c
5
⎪⎩c =5
a =3,
3
∴b 2=a 2-c 2=20
9
∴所求椭圆的方程为x 295y 2
20
1.
法二 设M 为椭圆上任意一点,其坐标为(x ,y ) . 由法一知准线x =3对应的焦点为F (5
3,0) . 由圆锥曲线的统一定义得MF 5
d 3
(x -5
2∴
32+y |3-x 5
|
34x 2+9y 2=20.
x 29y 2
∴所求椭圆的方程为520=1.
11x 2y 2
a b 1(a >0,b >0) 的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ,F 是双曲线
(1)求证:PF ⊥l ;
(2)若|PF |=3,且双曲线的离心率e =5
4
:x =a 2b a 2【解】 (1)证明:右准线为l ab
2c l 为y =a x ,则P c c ) ,F (c, 0) ,
ab =c 0∴k a
PF a c
b c 又∵k b ,∴k a b
l =a PF ·k l =-b a =-1. ∴PF ⊥l .
(2)∵|PF |的长即F (c, 0) 到l :bx -ay =0的距离, ∴|bc |c 5a +b =3,即b =3,又e a =4,
a 2+b 225x 2a =4. 故双曲线方程为y 2
∴a 161691.
的右焦点.又