[平行四边形]单元检测(A)
《平行四边形》单元检测
一.选择题(每小题2分,共计30分) 1.如图,在▱ABCD中,AD=6,AB=4,DE平分∠ADC交BC于点E,则BE的长是( ) A.2 B.3 C.4 D.5
2.四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
第1题图 第2题图 第3题图
3.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( )
A.18 B.28 C.36 D.46
4.如图,点D、E、F分别为△ABC三边的中点,若△DEF的周长为10,则△ABC的周长为( )
A.5 B.10 C.20 D.40
5.如图,在平行四边形ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.
8cm
第4题图 第5题图 第6题图
6.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,过O点作OE∥BC交DC于点E,若OE=2.5,则AD的长是( ) A.2.5 B.5 C.10 D.15 7.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( ) A.∠A=∠C,∠B=∠D B.∠B=∠D,AD=BC C.AB∥CD,∠A=∠C D.AB∥CD,AB=CD
8.在平行四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:2,则∠D=( ) A.36° B.108° C.72° D.60°
9.已知▱ABCD的周长为40cm,对角线AC、BD相交于点O,△AOD的周长比△COD的周长少4,则AB的长为( ) A.12 B.8 C.9 D.11
10.在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是( ) A.(3,7) B.(5,3) C.(7,3) D.(8,2)
11.如图,过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是( )
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.2S1=S2
第10题图 第11题图 第12题图
12.如图,在△ABC中,AD为中线,AE为角平分线,CF⊥AE于点F,AC=4,AB=6,则DF的长为( )
13.在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,如果AC=10,BD=8,AB=x,则x的取值范围是( )
A.1<x<9 B.2<x<18 C.8<x<10 D.4<x<5
14.在平行四边形ABCD中,点A1,A2,A3,A4和C1,C2,C3,C4分别AB和CD的五等分点,点B1,B2和D1,D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则平行四边形ABCD面积为( ) A.2
B.
C.
D.15
A
.
B.1
C.
D.2
15.如图所示,△A0BC为等腰三角形,在线段BC上,A1为BC中点,A3为A1C中点,A5为A3C中点,A7为A5C中点,…,在线段A0C上,A2为A0C中点,A4为A2C中点,A6为A4C中点…,依此下去,若BC=6,A0B=5,则线段AnAn+1(n>0)的长度不可能为( ) A.
B.
C.
D.
第14题图 第15题图
《平行四边形》单元检测
16.平行四边形ABCD中,若∠A+∠C=130°,则∠D的度数是______. 17.若▱ABCD三边长依次为8,2+x,17﹣x,则这▱ABCD的周长为______. 18.如图,▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E、F,∠EAF=45°, 则∠BAD=______.
19.如图,O为▱ABCD的对角线交点,E为AB的中点,DE交AC于点F,若S□ABCD=12,则S△DOE的值为
第18题图
第19题图 第20题图
20.如图,在△ABC中,点D在BC上,BD=AB,BM⊥AD于点M,N是AC的中点.连
接MN,若AB=5,BC=8,则MN的长为
21.如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,
EF⊥BC,EF=
,则AB的长是______.
22.如图,△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂
足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10,则PQ的长______.
第21题图 第22题图 第231题图 23.如图,△ABC的周长是1,以它的三边中点为顶点组成第2个三角形,再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形,…,则第n个三角形的周长为______.
三.解答题(24-29每小题7分,30-32每小题4分,共计,66分) 24.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠C,
求证:四边形ABCD是平行四边形
25.已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC交BD于点O,四边形AODE是平行四边形. 求证:四边形ABOE是平行四边形.
26.如图,已知AC∥DE且AC=DE,AD,CE交于点B,AF,DG分别是△ABC,△BDE的中线.求证:四边形AGDF是平行四边形.
27.如图,已知E,F,G,H分别是▱ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=CG,BF=DH.求证:四边形EFGH是平行四边形.
28.四边形ABCD是平行四边形,直线EF∥BD,并且与CD、CB的延长线分别交于E、F,交AB、AD于N、M,求证:EN=FM.
29.如图,BE,CF是△ABC的两条中线,它们相交于点O,M,N分别是OB,OC的中点,你能确定四边形FMNE是什么特殊四边形吗?请说明你的理由.
30.如图:点E、F、G、H分别是线段AC、BD、BC、AD的中点,求证:四边形EGFH是平行四边形.
31.如图,ABCD是矩形纸片,翻折∠B、∠D,使BC,AD恰好落在AC上,其中F,H分别是B,D的落点.求证:四边形AECG是平行四边形. 32.【阅读理解】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BEM=∠CNE(不需证明); 分析:如图,连结BD,取BD的中点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线性质,可证得∠BME=∠CNE; 【问题拓展】如图(2),在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,与BA的延长线交于点G,试判断△AGF的形状,并说明理由.
2016年09月16日卞相岳的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共17小题) 1.(2015•浙江模拟)如图,在▱ABCD中,AD=6,AB=4,DE平分∠ADC交BC于点E,则BE的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】由四边形ABCD是平行四边形,可得BC=AD=6,CD=AB=4,AD∥BC,得∠ADE=∠DEC,又由DE平分∠ADC,可得∠CDE=∠DEC,根据等角对等边,可得EC=CD=4,所以求得BE=BC﹣EC=2.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD=6,CD=AB=4,AD∥BC, ∴∠ADE=∠DEC, ∵DE平分∠ADC, ∴∠ADE=∠CDE, ∴∠CDE=∠DEC, ∴EC=CD=4,
∴BE=BC﹣EC=2. 故选:A.
【点评】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理.注意当有平行线和角平分线出现时,会出现等腰三角形. 2.(2013•泸州)四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC AD=BC
【分析】根据平行四边形判定定理进行判断.
【解答】解:A、由“AB∥DC,AD∥BC”可知,四边形ABCD的两组对边互相平行,则该四边形是平行四边形.故本选项不符合题意; B、由“AB=DC,AD=BC”可知,四边形ABCD的两组对边相等,则该四边形是平行四边形.故本选项不符合题意;
C、由“AO=CO,BO=DO”可知,四边形ABCD的两条对角线互相平分,则该四边形是平行四边形.故本选项不符合题意;
B.AB=DC,AD=BC C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,
D、由“AB∥DC,AD=BC”可知,四边形ABCD的一组对边平行,另一组对边相等,据此不能判定该四边形是平行四边形.故本选项符合题意; 故选D.
【点评】本题考查了平行四边形的判定.
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形. (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形. 3.(2013•襄阳)如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( )
A.18 B.28 C.36 D.46
【分析】由平行四边形的性质和已知条件计算即可,解题注意求平行四边形ABCD的两条对角线的和时要把两条对角线可作一个整体. 【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD=5,
∵△OCD的周长为23, ∴OD+OC=23﹣5=18, ∵BD=2DO,AC=2OC,
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=36, 故选C.
【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质,并利用性质解题.平行四边形的基本性质:①平行四边形两组对边分别平行;②平行四边形的两组对边分别相等;③平行四边形的两组对角分别相等;④平行四边形的对角线互相平分. 4.(2012•台州)如图,点D、E、F分别为△ABC三边的中点,若△DEF的周长为10,则△ABC的周长为( )
A.5 B.10 C.20 D.40
【分析】根据中位线定理可得BC=2DF,AC=2DE,AB=2EF,继而结合△DEF的周长为10,可得出△ABC的周长.
【解答】解:∵D、E、F分别为△ABC三边的中点, ∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线, ∴BC=2DF,AC=2DE,AB=2EF,
故△ABC的周长=AB+BC+AC=2(DF+FE+DE)=20. 故选C.
【点评】此题考查了三角形的中位线定理,解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半,难度一般. 5.(2010•清远)如图,在平行四边形ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm 【分析】由平行四边形ABCD,根据平行四边形的对角线互相平分,可得OA=OC,OB=OD,又由∠ODA=90°,根据勾股定理,即可求得AD的长.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,AC=10cm,BD=6cm ∴OA=OC=AC=5cm,OB=OD=BD=3cm, ∵∠ODA=90°, ∴AD=
=4cm.
故选A.
【点评】此题考查了平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分,解题时还要注意勾股定理的应用. 6.(2010秋•钟山区期末)如图,平行四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,过O点作OE∥BC交DC于点E,若OE=2.5,则AD的长是( )
A.2.5 B.5 C.10 D.15
【分析】根据平行四边形性质求出AD=BC,DO=BO,求出BC=2OE,即可求出答案. 【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,DO=BO, ∵OE∥BC, ∴DE=CE,
∴BC=2OE=2×2.5=5, ∴AD=5, 故选B.
【点评】本题考查了平行线等分线段定理,平行四边形性质,三角形中位线的应用,关键是求出BC的长. 7.(2011秋•金塔县校级月考)不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( )
A.∠A=∠C,∠B=∠D B.AB∥CD,AD=BC C.AB∥CD,∠A=∠C D.AB∥CD,AB=CD
【分析】根据有两组对角分别相等的四边形是平行四边形即可判断A和C;根据已知也可推出等腰梯形,即可判断B;根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可判断D.
【解答】解:
A、∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形,正确,故本选项错误;
B、具备AB∥CD,AD=BC可能是等腰梯形,错误,故本选项正确; C、∵AB∥CD,
∠B+∠C=180°,∠A+∠D=180°, ∵∠A=∠C, ∴∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形,正确,故本选项错误; D、∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,正确,故本选项错误; 故选B.
【点评】本题考查了平行四边形的判定,注意:平行四边形的判定定理有:①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形,②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形,③有两组对边分别平行的四边形是平行四边形,④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形. 8.(2016春•赵县期末)在平行四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:2,则∠D=( ) A.36° B.108° C.72° D.60°
【分析】利用平行四边形的内角和是360度,平行四边形对角相等,则平行四边形的四个角之比为,∠A:∠B:∠C:∠D=2:3:2:3,则∠D的值可求出. 【解答】解:在▱ABCD中,∠A:∠B:∠C:∠D=2:3:2:3, 设每份比为x,则得到2x+3x+2x+3x=360°, 解得x=36° 则∠D=108°. 故选B.
【点评】题考查四边形的内角和定理及平行四边形的性质,平行四边形的对角相等,邻角互补.
9.已知▱ABCD的周长为40cm,对角线AC、BD相交于点O,△AOD的周长比△COD的周长少4,则AB的长为( ) A.12 B.8 C.9 D.11
【分析】根据平行四边形的性质可知,平行四边形的对角线互相平分,由于△AOD的周长比△COD的周长少4cm,则CD比AD大4cm,继而可求出CD,得出AB的长. 【解答】解:如图所示:
∵平行四边形的周长为40cm,
∴CD+AD=20cm,OA=OC,OB=OD,
又∵△AOD的周长比△COD的周长少4cm,
∴CD﹣AD=4cm,
则AD=12cm,∴AB=12cm.
故选:A.
【点评】此题主要考查平行四边的性质、三角形周长的计算;熟练掌握平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分是解题的关键.
10.(2006•南京)在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是( )
A.(3,7) B.(5,3) C.(7,3) D.(8,2)
【分析】因为D点坐标为(2,3),由平行四边形的性质,可知C点的纵坐标一定是3,又由D点相对于A点横坐标移动了2,故可得C点横坐标为2+5=7,即顶点C的坐标(7,3).
【解答】解:已知A,B,D三点的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),
∵AB在x轴上,
∴点C与点D的纵坐标相等,都为3,
又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2,
∴C点横坐标为2+5=7,
∴即顶点C的坐标(7,3).
故选:C.
【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余(补)角的等知识的直接考查.同时考查了数形结合思想,题目的条件既有数又有形,解决问题的方法也要既依托数也依托形,体现了数形的紧密结合,但本题对学生能力的要求并不高.
11.(2012•包头)如图,过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是( )
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.2S1=S2
【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD,证△ABD≌△CDB,得出△ABD和△CDB的面积相等;同理得出△BEM和△MHB的面积相等,△GMD和△FDM的面积相等,相减即可求出答案.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,EF∥BC,HG∥AB,
∴AD=BC,AB=CD,AB∥GH∥CD,AD∥EF∥BC,
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形,
在△ABD和△CDB中; ∵,
∴△ABD≌△CDB(SSS),
即△ABD和△CDB的面积相等;
同理△BEM和△MHB的面积相等,△GMD和△FDM的面积相等,
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等,即S1=S2.
故选:C.
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等,△BEP和△PGB的面积相等,△HPD和△FDP的面积相等,注意:如果两三角形全等,那么这两个三角形的面积相等
12.(2016春•禹城市期中)在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,如果AC=10,BD=8,AB=x,则x的取值范围是( )
A.1<x<9 B.2<x<18 C.8<x<10 D.4<x<5
【分析】根据平行四边形的性质求出OA、OB,根据三角形的三边关系定理得到OA﹣OB<x<OA+OB,代入求出即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,AC=10,BD=8,
∴OA=OC=5,OD=OB=4,
在△OAB中,OA﹣OB<x<OA+OB,
∴5﹣4<x<4+5,
∴1<x<9.
故选:A.
【点评】本题考查了对平行四边形的性质,三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握,求出OA、OB后得出OA﹣OB<x<OA+OB是解此题的关键.
13.如图,在△ABC中,AD为中线,AE为角平分线,CF⊥AE于点F,AC=4,AB=6,则DF的长为( )
A. B.1 C. D.2
【分析】延长CF交AB于点G,证明△AFG≌△AFC,从而可得△ACG是等腰三角形,GF=FC,点F是CG中点,判断出DF是△CBG的中位线,继而可得出答案.
【解答】解:延长CF交AB于点G,
∵AE平分∠BAC,
∴∠GAF=∠CAF,
∵AF垂直CG,
∴∠AFG=∠AFC,
∵在△AFG和△AFC中,
,
∴△AFG≌△AFC(ASA),
∴AC=AG,GF=CF,
又∵点D是BC中点,
∴DF是△CBG的中位线,
∴DF=BG=(AB﹣AG)=(AB﹣AC)=1.
故选B.
【点评】本题考查了三角形的中位线定理,解答本题的关键是作出辅助线,同学们要注意培养自己的敏感性,一般出现即是角平分线又是高的情况,我们就需要寻找等腰三角形.
14.(2008•潍坊)在平行四边形ABCD中,点A1,A2,A3,A4和C1,C2,C3,C4分别AB和CD的五等分点,点B1,B2和D1,D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则平行四边形ABCD面积为( )
【分析】可以设平行四边形ABCD的面积是S,根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积,就可表示出四边形A4B2C4D2的面积,从而得到两个四边形面积的关系,即可求解.
【解答】解:设平行四边形ABCD的面积是S,设AB=5a,BC=3b.AB边上的高是3x,BC边上的高是5y.
则S=5a•3x=3b•5y.即ax=by=.
△AA4D2与△B2CC4全等,B2C=BC=b,B2C边上的高是•5y=4y.
则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by=
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是
则四边形A4B2C4D2的面积是S﹣解得S=.
故选C.
. ﹣﹣﹣=,即=1, .
【点评】考查平行四边形的性质和三角形面积计算,正确利用等分点的定义,得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键.
15.如图所示,△A0BC为等腰三角形,在线段BC上,A1为BC中点,A3为A1C中点,A5为A3C中点,A7为A5C中点,…,在线段A0C上,A2为A0C中点,A4为A2C中点,A6为A4C中点…,依此下去,若BC=6,A0B=5,则线段AnAn+1(n>0)的长度不可能为( )
【分析】根据勾股定理求出A0A1的长度,根据三角形中位线定理表示出A1A2、A2A3的长度,根据规律总结得到答案.
【解答】解:∵△A0BC为等腰三角形,A1为BC中点,
∴A1C=BC=3,A0A1⊥BC,
由勾股定理得,A0A1=4,
∵A2为A0C中点,A3为A1C中点,
∴A2A3=×4=2,
同理,A4A5=×2=1,
∵A1为BC中点,A2为A0C中点,
∴A1A2=×5,
依此下去,则线段AnAn+1为4×()或5×(),
则线段AnAn+1(n>0)的长度不可能为, nn
故选:C.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理和三角形的中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键.
16.(2014春•万州区校级期中)如图,O为▱ABCD的对角线交点,E为AB的中点,DE交AC于点F,若S□ABCD=12,则S△DOE的值为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.25
【分析】由平行四边形的面积,找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系,利用面积公式以及线段间的关系求解.分别作△OED和△AOD的高,利用平行线的性质,得出高的关系,进而求解.
【解答】解:如图,过A、E两点分别作AN⊥BD、EM⊥BD,垂足分别为M、N, 则EM∥AN,
∴EM:AN=BE:AB,
∴EM=AN,
由题意SABCD=12,
∴2××AN×BD=12,
∴SOED=×OD×EM=××BD×AN=S四边形ABCD==1.5.
故选:B.
【点评】本题考查平行四边形的性质,综合了平行线的性质以及面积公式.已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法:①面积比是边长比的平方比;②分别找到底和高的比.
17.(2014秋•西城区校级月考)如图,在△ABC中,点D在BC上,BD=AB,BM⊥AD于点M,N是AC的中点.连接MN,若AB=5,BC=8,则MN的长为( )
A.6 B.3 C.1.5 D.1
【分析】根据题目的已知条件易求DC的长为3,易证MN是三角形ADC的中位线,由三角形中位线定理即可求出MN 的长.
【解答】解:∵BD=AB,BM⊥AD于点M,
∴AM=DM,
∵N是AC的中点,
∴AN=CN,
∴MN是三角形ADC的中位线,
∴MN=DC,
∵AB=5,BC=8,
∴DC=3,
∴MN=1.5,
故选C.
【点评】此题考查的是三角形中位线的性质,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
二.填空题(共6小题)
18.(2014春•东海县校级期中)平行四边形ABCD中,若∠A+∠C=130°,则∠D的度数是
【分析】由平行四边形ABCD中,若∠A+∠C=130°,可求得∠A的度数,继而求得∠D的度数.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,
∵∠A+∠C=130°,
∴∠A=65°,
∴∠D=180°﹣∠A=115°.
故答案为:115°.
【点评】此题考查了平行四边形的性质.此题比较简单,注意熟记定理是解此题的关键.
19.(2010春•吉安期末)若▱ABCD三边长依次为8,2+x,17﹣x,则这▱ABCD的周长为
【分析】根据平行四边形的对边相等可列出方程,从而解出x的值,这样就得出了四边的长,周长就不难求出了.
【解答】解:由题意得:8=17﹣x,
解得:x=9,
∴四边长分别为:8、11、8、11,
平行四边形的周长为8+11+8+11=38.
故答案为:38.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,属于基础知识的考查,解答本题关键是掌握平行四边形对边相等的性质,这是要求我们熟练记忆的知识点.
20.如图,▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E、F,∠EAF=45°,则∠BAD=
【分析】由AE、AF分别为BC、CD上的高,且∠EAF=45°,即可求得∠C的度数,又由平行四边形的性质,即可求得答案.
【解答】解:∵AE、AF分别为BC、CD上的高,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠C=360°﹣∠EAF﹣∠AEC﹣∠AFC=135°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠C=135°,
故答案为:135°.
【点评】此题考查了平行四边形的性质.关键是由AE、AF分别为BC、CD上的高,且∠EAF=45°得出∠C的度数.
21.(2013•十堰)如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=,则AB的长是.
【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD,AB∥CD,得出平行四边形ABDE,推出DE=DC=AB,根据直角三角形性质求出CE长,即可求出AB的长.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=CD,
∵AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AB=DE=CD,
即D为CE中点,
∵EF⊥BC,
∴∠EFC=90°,
∵AB∥CD,
∴∠DCF=∠ABC=60°,
∴∠CEF=30°,
∵EF=,
∴CE==2,
∴AB=1,
故答案为:1.
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定,平行线性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线性质,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,此题综合性比较强,是一道比较好的题目.
22.(2014春•无锡期末)如图,△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10,则PQ的长 3 .
【分析】证明△ABQ≌△EBQ,则AQ=EQ,AB=BE,同理AQ=DP,AP=DP,则PQ是△ADE的中位线,根据三角形的中位线定理即可求解.
【解答】解:∵△ABC的周长是26,BC=10,
∴AB+AC=26﹣10=16,
∵∠ABC的平分线垂直于AE,
∴在△ABQ和△EBQ中,
,
∴△ABQ≌△EBQ,
∴AQ=EQ,AB=BE,
同理,AP=DP,AC=CD,
∴DE=BE+CD﹣BC=AB+AC﹣BC=16﹣10=6,
∵AQ=DP,AP=DP,
∴PQ是△ADE的中位线,
∴PQ=DE=3.
故答案是:3.
【点评】本题考查了三角形的中位线定理,全等三角形的判定与性质,正确求得DE的长度是关键.
23.(2012•阜新) 如图,△ABC的周长是32,以它的三边中点为顶点组成第2个三角形,再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形,…,则第n个三角形的周长为 2﹣n .
6
【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系,按规律求解.
【解答】解:根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半,
那么第二个三角形的周长=△ABC的周长×=32×,
第三个三角形的周长为=△ABC的周长××=32×(),
…
第n个三角形的周长=32×()
6﹣nn﹣12=26﹣n, 故答案为:2.
【点评】本题考查了三角形的中位线定理,解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第n个三角形的周长与第一个三角形的周长的关系.
三.解答题(共10小题)
24.(2015春•盱眙县期中)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=∠C,四边形ABCD是平行四边形吗?为什么?
【分析】根据平行线的性质与判定得出∠B+∠A=180°,进而得出AD∥BC,进而利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出即可.
【解答】解:四边形ABCD是平行四边形,
理由:∵AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°,
∵∠A=∠C,
∴∠B+∠A=180°,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行四边形的判定,根据平行四边形的定义得出是解题关键.
25.(2012春•花都区校级期中)已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC交BD于点O,四边形AODE是平行四边形.
求证:四边形ABOE是平行四边形.
【分析】因为▱ABCD,OB=OD,又AODE是平行四边形,AE=OD,所以AE=OB,又AE∥OD,根据平行四边形的判定,可推出四边形ABOE是平行四边形.
【解答】证明:∵▱ABCD中,对角线AC交BD于点O,
∴OB=OD,
又∵四边形AODE是平行四边形,
∴AE∥OD且AE=OD,
∴AE∥OB且AE=OB,
∴四边形ABOE是平行四边形.
【点评】此题考查了行四边形的判定定理:有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
26.如图,已知AC∥DE且AC=DE,AD,CE交于点B,AF,DG分别是△ABC,△BDE的中线.求证:四边形AGDF是平行四边形.
【分析】首先证明△ABC≌△DBE可得CB=EB,AB=DB,再根据中线定义可得BF=BG,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.
【解答】证明:∵AC∥DE,
∴∠C=∠E,
在△ABC和△DBE中,
,
∴△ABC≌△DBE(AAS),
∴CB=EB,AB=DB,
∵AF,DG分别是△ABC,△BDE的中线,
∴BF=BC,GB=BE,
∴GB=FB,
∴四边形AGDF是平行四边形.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定,关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形.
27.(2016春•阳谷县期中)如图,已知E,F,G,H分别是▱ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=CG,BF=DH.求证:四边形EFGH是平行四边形.
【分析】易证得△AEH≌△CGF,从而证得对应边BE=DG、DH=BF.故有△BEF≌△DGH,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证.
【解答】证明:在平行四边形ABCD中,∠A=∠C(平行四边形的对边相等);
又∵AE=CG,AH=CF(已知),
∴△AEH≌△CGF(SAS),
∴EH=GF(全等三角形的对应边相等);
在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),
∴AB﹣AE=CD﹣CG,AD﹣AH=BC﹣CF,
即BE=DG,DH=BF.
又∵在平行四边形ABCD中,∠B=∠D,
∴△BEF≌△DGH;
∴GH=EF(全等三角形的对应边相等);
∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质.平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
28.四边形ABCD是平行四边形,直线EF∥BD,并且与CD、CB的延长线分别交于E、F,交AB、AD于N、M,求证:EN=FM.
【分析】首先证明四边形BDMF和四边形BDEN是平行四边形,所以NE=BD,FM=BD,所以FN=EM,即EN=FM.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD‖BC,AB‖CD,
又∵EF‖BD,
∴四边形BDMF和四边形BDEN是平行四边形,
∴NE=BD,FM=BD,
∴FN=ME
∴FN+NM=ME+NM,
即EN=FM.
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是熟记平行四边形的各种判定方法并且熟练运用.
29.如图,BE,CF是△ABC的两条中线,它们相交于点O,M,N分别是OB,OC的中点,你能确定四边形FMNE是什么特殊四边形吗?请说明你的理由.
【分析】四边形FMNE是平行四边形,由中位线定理,可得EF∥BC,MN∥BC,且都等于边长BC的一半.分析到此,此题便可解答.
【解答】解:四边形FMNE是平行四边形,
理由如下:
:∵BE,CF是△ABC的中线,
∴EF∥BC且EF=BC,
∵M是BO的中点,N是CO的中点,
∴MN∥BC且MN=BC,
∴EF∥MN且EF=MN,
∴四边形MNEF是平行四边形.
【点评】本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理,三角形的中位线的性质定理,为证明线段相等和平行提供了依据.
30.(2010春•团风县校级月考)如图:点E、F、G、H分别是线段AC、BD、BC、AD的中点,求证:四边形EGFH是平行四边形.
【分析】连接AB,CD后,根据三角形的中位线定理,可证明EGFH的对边平行,从而可证明四边形EGFH是平行四边形.
【解答】证明:如图,连接AB,CD.
∵点E、F、G、H分别是线段AC、BD、BC、AD的中点,
∴EG∥AB,HF∥AB,GF∥DC,EH∥DC,
∴GE∥HF,GF∥EH,
∴四边形EGFH是平行四边形.
【点评】本题考查三角形的中位线定理以及平行四边形的判定定理.
31.(2014•鄂托克旗模拟)如图,ABCD是矩形纸片,翻折∠B、∠D,使BC,AD恰好落在AC上,其中F,H分别是B,D的落点.求证:四边形AECG是平行四边形.
【分析】利用翻折变换的性质得出2∠GAH=∠DAC,2∠ECF=∠BCA,进而得出AG∥CE求出即可.
【解答】证明:在矩形ABCD中,
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.
由已知得:2∠GAH=∠DAC,
2∠ECF=∠BCA,
∴∠GAH=∠ECF.∴AG∥CE
又∵AE∥CG,
∴四边形AECG是平行四边形.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及翻折变换的性质,得出∠GAH=∠ECF是解题关键.
32.(2015春•平度市期末)如图,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点(E与A、D不重合),G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.请证明:四边形EGFH是平行四边形.
【分析】由G、F、H分别是BE、BC、CE的中点,根据三角形中位线的性质,可得FH∥BE,FG∥CE,则可判定四边形EGFH是平行四边形.
【解答】证明:∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点,
∴FH∥BE,FG∥CE,
∴四边形EGFH是平行四边形.
【点评】此题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质.注意准确利用三角形中位线的性质证明是解此题的关键.
33.【阅读理解】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BEM=∠CNE(不需证明); 分析:如图,连结BD,取BD的中点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线性质,可证得∠BME=∠CNE;
【问题拓展】如图(2),在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,与BA的延长线交于点G,试判断△AGF的形状,并说明理由.
【分析】△AGF是等边三角形,理由为:连接BD,取BD的中点H,连结HF、HE,则HF是△ABD的中位线,HE是△BDC的中位线,从而判断HE=HF,从而得出∠1=∠2,得到△AGF为等边三角形.
【解答】解:△AGF是等边三角形,理由为:
证明:如图,连接BD,取BD的中点H,连结HF、HE,
∵F是AD的中点,
∴HF∥AB,HF=AB,
∴∠1=∠3,
同理,HE∥CD,HE=CD,
∴∠2=∠EFC,
∵AB=CD,
∴HF=HE,
∴∠1=∠2,
∵∠EFC=60°,
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,
∴△AGF为等边三角形.
【点评】此题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是参考题目给出的思路,作出辅助线,有一定难度.