基于相位差法的波前检测技术

第33卷第11期 光电工程 Vol.33, No.11

2006年11月 Opto-Electronic Engineering Nov, 2006 文章编号：1003-501X(2006)11-0114-06

基于相位差法的波前检测技术

李 强1,2，沈忙作1

( 1. 中国科学院光电技术研究所 微细加工光学技术国家重点实验室，四川 成都 610209；

2. 中国科学院研究生院，北京 100039 )

摘要：基于相位差法的波前检测技术，主要是利用在焦面和离焦位置上同时采集的一对图像，对光瞳上的波前相位分布进行恢复，同时也可以对目标进行恢复。与哈特曼波前传感器和剪切干涉仪等波前检测技术相比，相位差法具有光路简单、易于实现的特点，同时可以采用扩展目标作为参考源，主要适用于对实时性要求不高的领域。在计算机模拟大气湍流和成像系统的基础上，我们使用有限内存拟牛顿法对波前相位和目标进行了恢复。模拟研究结果表明，相位差法可以较准确的恢复出波前相位，并且最优化的离焦波面差为一个波长。 关键词：波前检测；相位恢复；图像恢复；相位差 中图分类号：O439 文献标识码：A

Wavefront sensing using phase diversity method

LI Qiang1, 2，SHEN Mang-zuo1

( 1. The State Key Lab of Optical Technologies for Microfabrication, the Institute of Optics and

Electronics, the Chinese Academy of Sciences, Chengdu 610209, China; 2. Graduate School of the Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039, China )

Abstract：As a wavefront sensing technique, phase diversity can estimate the pupil phase and object from pairs of simultaneously recorded focused and defocused images. Compared with Hartman wavefront sensor and Shear interferometer, the optical beam train of phase diversity is simpler. In addition, phase diversity can be used with extended sources and is suited to slower application. The aberration induced by atmospheric turbulence and the image-forming system have been simulated by computer, and the unknown wavefront and object have been estimated by using limited memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) method. Simulation results show phase-diversity method can accurately retrieve the wavefront and defocusing of one wavelength is optimal. Key words：Wavefront sensing; Phase retrieval; Image restoration; Phase diversity

引 言

当入射光为平面波时，光瞳口径决定了望远镜的最大分辨能力，但是地球大气湍流的动态扰动，以及望远镜内部温度不均匀或重力畸变引起的扰动，都会使入射光束的波前发生畸变，从而导致望远镜的分辨能力严重下降。因此，如何准确的探测出动态波前畸变和望远镜系统的像差，成为一个重要的研究课题。探测波前的方法主要有两大类：一是测量出波前斜率，然后通过一定的波前重构算法恢复出波前分布，其中包括哈特曼传感器(Hartmann wavefront sensor)和剪切干涉仪(Shear interferometer)等；二是测量光学系统

收稿日期：2006-05-30；收到修改稿日期：2006-08-01 基金项目：国家863 高技术课题

作者简介：李强(1978-)，男(汉族)，新疆呼图壁人，博士，主要研究工作是光电图像处理技术。E-mail: [email protected]

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内两个不同平面上的光强分布，然后通过特定的算法恢复出波前分布，其中包括曲率传感器(Curvature sensor)和相位恢复法(Phase retrieval)等[1,2]。

相位差法(Phase diversity)最早由Gonsalves提出，是相位恢复法的一个分支[3,4]。与哈特曼波前传感器和剪切干涉仪相比，相位差法同时具有光路简单，易于实现的特点，同时对目标没有特定的要求，既可以是点目标，也可以是扩展目标；与GS法等传统的相位恢复算法不同，相位差法利用了两个通道的信息，因而收敛性更好。由于算法较为复杂，相位差法主要适合于对实时性要求不高的领域。在国外，相位差法已被应用于高分辨率图像恢复、大型地面望远镜(拼接镜面)和空间望远镜的像差检测等多个领域[5~10]。在国内，像差检测和波前传感技术主要是使用哈特曼波前传感器和剪切干涉仪等[11,12]。

本文首先对相位差法的原理和装置进行了阐述，然后在计算机模拟大气湍流效应和望远镜成像系统的基础上，对不同程度的大气湍流波前畸变进行了恢复，并分析了离焦量和恢复波前的模式数对恢复算法性能的影响，最后给出了最优化的离焦量。

1 相位差法的原理

1.1 相位差法的原理

相位差法的基本思想是：在成像系

统的焦面和离焦位置上同时采集一对图像，利用这一对图像恢复出光瞳上的波前分布和目标。由图1可见，光束经过大气湍流和望远镜成像系统后，经分束器分束，分别在两个CCD上成像，其中，通道1上的CCD位于成像系统的焦面上，通道2上的CCD处于离焦位置，其离焦量可由离焦距离∆z确定。

假设入射光为非相干光，由大气和

CCD

图1 望远镜成像系统和相位差法图像采集过程示意图

Fig.1 Telescopic optical system and image-collection procedure of phase diversity method

望远镜系统组成的系统为线性空不变系统，因此两个CCD上的像分别可以表示为

i1t(x,y)=o(x,y)∗h1t(x,y),

h1t=F−1{peiφt},

2

i2t(x,y)=o(x,y)∗h2t(x,y) (1) h2t=F−1{pei(φt+θ)} (2)

2

式中 o(x，y)表示目标，h1t (x，y)和h2t (x，y)是t时刻两个不同通道的点扩展函数，可以表示为

式中 F-1{}表示逆傅里叶变换，p表示光瞳函数。φt表示t时刻的波前畸变函数，可以用Zernike多项式表示为[13]

φt=∑ajtzj(ξ,η) (3)

j

N

式中 zj(ξ，η)为第j阶模式，ajt为构成t时刻波前分布的第j阶模式系数，令a={ajt}，N为总模式数，ξ，η表示光瞳平面上的归一化坐标。θ为离焦引入的相位差函数，可以表示为

2πθ=∆w(ξ2+η2) (4)

λ

式中 ∆w=∆z/8(F)，λ为入射光波长，F=f /D，f为望远镜焦距，D为望远镜光瞳口径，∆w为离焦量，以波长为单位。

#2#

从(1)、(2)两式可以看出，利用相位差法进行波前恢复，实际是从CCD上的图像中提取出波前信息，

是一个逆问题的求解过程。在目标o(x，y)未知的情况下，(1)式是严重病态的，即使o(x，y)是已知的，由于从相位到点扩展函数的映射是多对一的(h[φ]=h[φ+2nπ])，其逆过程的解也是不唯一的。与一般的相位恢复算法(Phase retrieval)相比，相位差法引入了一个已知的相位差函数(可以是离焦函数或其他函数)，使两个通道的点扩展函数存在一定的非线性关系，从而加强了约束条件，有效的改善了解的唯一性问题。

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1.2 波前恢复算法

对(1)式的求解，通常是先确定一个目标函数，然后采用最优化方法使目标函数最小化，从而求出o和

a[6]。在实际的图像采集过程中，不可避免地存在噪声的影响，假设噪声满足高斯分布，并采用离散化的形式，根据最大似然估计理论可以得到目标函数为[14]

1⎛T2

J0(o,a)=⎜∑∑o∗htk−itk

2⎝t=1k=1

2

⎞γ2

⎟+o (5) ⎠2

1/2

2⎞⎛NxNy

⎟， 式中 ||…||表示Frobenius范数，其定义为 A=⎜aij⎟⎜∑∑ij=1=1⎝⎠

Nx、Ny分别为CCD沿x和y方向的采样点数。(5)式中右边第一

项表示对o和a的最大似然估计，第二项是为了保证解的稳定性和光滑性而引入的正则函数，其中γ>0是正则系数。

根据Parseval定理，(5)式可以变换为

2⎞γ

⎟+O (6) ⎠2

式中 O，Htk，Itk分别为o，htk和Itk的傅里叶变换。若令(6)式等

1⎛T2

J0(O,a)=⎜∑∑OHtk−Itk

2⎝t=1k=1

2

于零，可以得到

O=

*Itk∑∑Htk

T2

γ+∑∑Htk

t=1k=1

t=1k=1

T2

2

(7)

式中“*”表示复数共轭。将(7)式代入(6)式，可以得到简化后的目标函数[14]

2

T2⎛⎞*⎜IH2∑∑tktk⎟1⎜T2⎟k=1

(8) J(a)=⎜∑∑Itk−t=1⎟22t=1k=1

γ+∑∑Htk⎜⎟⎜⎟t=1k=1

⎝⎠

从(8)式可以看出，J(a)是与目标o(x，y)无关的，所包含的未

知变量仅为a。在确定目标函数后，采用最优化方法可以求出使目标函数最小化的解[15]。本文使用有限内存拟牛顿法(L-BFGS)对该问题进行求解[16]，算法流程见图2。

图2 相位差算法的流程图

Fig.2 Flowchart of phase diversity algorithm

2 模拟结果及分析

2.1 成像过程的模拟

在研究大气湍流对望远镜成像的影响时，通常使用一个或多个放置于望远镜光瞳上的随机相位屏来模拟大气湍流效应。本文采用Zernike多项式法模拟满足Kolmogoroff谱的大气湍流，模拟步骤如下[17]

1) 选定Zernike多项式阶数N，并计算出协方差矩阵C； 2) 利用SVD分解，得到C=VSVT(C为厄米矩阵,V为酉矩阵)；

3) 生成零均值、方差为S的随机矢量B，计算A=VB (A=[a1，a2，…aN])； 4) aj = aj× (D/r0)5/6； 5) 根据(3)式计算相位。

Noll的研究结果表明，大气湍流引起的波前畸变可以用Zernike多项式来描述，并且主要由低阶模式构成，高阶模式所占比例很小[13]。因此，我们采用55阶Zernike多项式构成的随机相位屏来模拟大气湍流

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引起的波前畸变。考虑到表示波前平移的第一阶Zernike多项式对成像质量没有影响，以及相位差法经过图像对准后，无法准确恢复出表示波前倾斜的第二、三阶Zernike多项式，我们将Zernike多项式的前三阶移去。

在模拟中，假设望远镜的光瞳口径D=1.00m，焦距f

=20m，工作波长λ=600nm，同时不考虑噪声的影响。图3给出了模拟的目标图像，采样点数为256×256。图4中给出了大气相干长度r0=0.1m时的模拟波前分布，相应的RMS值为0.310λ、PV值为1.734λ，图中为光瞳部分的相位分布

图3 模拟目标

Fig.3 Simulated object

图4 随机相位屏

Fig.4 Random phase screen

(128×128)。图5(a)和图5(b)分2.2 恢复结果及分析

别为在焦面和离焦面上采集的图像，其中离焦量∆w为1.0λ，相应的离焦距离约为1.92mm。

我们选择均方根误差(RMSE)作为衡量波前恢复精度的标准，其定义为：

RMSE(φ)=

∑∑[φ(i,j)−φ0(i,j)]

i=1j=1

NxNy

2

/Npupil (9)

式中 φ是估计值，φ0是真实值，Npupil是望远镜圆形孔径内的采样点数。按照图2中所给出的流程，选择初始值a＝0、规划参数γ=10-5，用于波前恢复的Zernike多项式模式数Ns=55。图6中给出了目标函数J随迭代次数的变化曲线，可以看出经过200次迭代后，结果趋于稳定。图7中给出了恢复波前的残差分布，相应的RMSE为0.002λ。

50

100 150

Iteration

200

图5 通道1和通道2上CCD采集到的图像

Fig.5

Simulated images collected by CCD on Channel 1 and 2 图6 目标函数J随迭代次数的变化曲线Fig.6 Cost function varing with iteration number

在利用相位差法进行波前和图像恢复时，离焦量的选择十分重要。当离焦量太小，通道2上CCD距

离焦面很近时，两个通道上的图像过于相似，而无法提供足够的信息来提高算法的收敛性和准确性；反之，当离焦量太大时，图像由于离焦会严重模糊，两幅图像又差异太大，通道2上的图像就失去了参考价值。图8中给出了在r0＝0.1m、0.2m、0.3m时，波前恢复的均方根误差随离焦量的变化曲线。从图中可以看出，当离焦量∆w＝1.0λ时恢复误差最小，并且在0.75λ~1.50λ的范围内都具有较好的恢复效果。

图9中给出了在r0＝0.1m、0.2m、0.3m时，波前恢复的均方根误差随重建模式数Ns变化的曲线。从

图中可以看出，当NsN时，恢复误差会随着重建模式数的增加而增大，特别是在波前畸变的PV

值较大的时

(例如

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r0=0.1m)，误差增加的十分明显。如前所述，利用相位差法进行波前恢复是一个逆问题的求解过程，是严重病态的[18]，当未知变量数增加时，解的稳定性和准确性都会下降。

0.0070.0060.0050.0040.0030.0020.001

1

2

3

4

5

6

Defocus ∆w

(waves)

0.400.300.200.100.00

20 40 60 80Zernike number

图7 波前恢复残差φ-φ0

Fig.7

Residual error of wavefront retrieval

图8 不同r0情况下均方根误差

与离焦量的关系

Fig.8 RMSE versus defocus in various r0

图9 不同r0情况下均方根误

差与波前模式数的关系

Fig.9 RMSE versus Zernike mode number in various r0

3 结 论

本文对基于相位差法的波前检测技术进行了分析，在计算机模拟望远镜成像系统和大气湍流效应的基础上，利用相位差法对大气湍流引起的波前畸变和模糊图像进行了恢复，并研究了离焦量和恢复波前的模式数对算法性能的影响。研究结果表明，在不考虑噪声的情况下，相位差法可以实现较高的波前恢复精度，当离焦量等于一个波长时恢复效果最好，并且恢复波前模式数的选择对波前恢复精度的影响较大，当恢复模式数等于实际模数时恢复效果最好。

相位差法与哈特曼传感器、剪切干涉仪等波前测量方法相比，具有设备简单、易于实现的特点，但是也存在着不足之处，由于使用迭代算法进行波前恢复，因而实时性较差，该方法可以应用于对实时性要求不高的像差检测和波前传感领域。本文初步对相位差法进行了研究，今后还需要深入研究不同噪声水平、不同光子水平、不同程度波前畸变情况下，利用相位差法进行波前恢复的性能。 参考文献：

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(上接第48页)

7 结 论

运用感知器理论设计专门的钢板缺陷检测摄像机，改变了传统的从标准摄像机读取数据、传输、分析的思路，使摄像机具有了高速的识别功能，把有用数据和无用数据在摄像机中进行分类，只传输和分析有用的数据，提高了检测效率，简化了系统设计，并且应用FPGA现场可编程能力，实现了根据环境变化修正参数的灵活检测方案。 参考文献：

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