数学教师的专业发展

小学数学教师的专业发展

数学教师是新一轮数学课程改革能否顺利进行并取得成功的关键所在。因此，数学教师的专业成长也成为数学教育研究的热点问题。然而一线数学教师本身对数学教师专业化的认识却是其中的关键。本章将在梳理、界定数学教师专业化内涵的基础上，分析数学教师专业化的要素，并进一步提出数学教师专业化的途径，以期为中小学数学教师更好地理解数学教师专业化提供借鉴。

§13.1数学教师的专业化

对于“教师是一种专业”的认识经历了从质疑到认识的发展过程。如20世纪50年代首先在美国兴起的专业结构功能理论，通过与该学派总结的一般专业的五个指标进行对照，得出教师并不是一个真正的专业的结论。但后来一些国际性组织和团体的研究却推动了教师职业作为一种专业的研究[1]。1966年联合国教科文组织与国际劳动组织就教师的专业性质发表了《关于教师地位的建议》，并明确指出：“应把教育工作视为专门的职业，这种职业要求教师经过严格地、持续地学习并保持专业的知识和特别的技术，它是一种公共的业务。”1996年联合国教科文组织第45届国际教育大会强调了：“主要通过实施高水平的初期师范教育和终身职业的专业发展，创设多样化的以适当的评价体系为支撑的职业结构，以及提高教师的物质的和社会的地位，来提高教师的专业化”的原则。我国也于1986将教师列入了“专业技术人员”之列。在1993年颁布的《中华人民共和国教师法》和1996年颁布的《教育法》中都明确指出：“教师是履行教育教学职责的专业人员。” 那么，教师专业化的含义是什么呢？

§13.1.1教师专业化的内涵

关于教师专业化的含义，不同的学者有不同的界定，也有很多学者用“教师专业成长”这一名词。华东师范大学叶澜教授将教师专业化的理解归纳为三大类[2]：

第一类是指教师专业成长过程。如霍伊尔（Hoyle.E. ）认为：“教师专业发展是指教学职业的每一阶段，教师掌握良好专业实践所必备的知识和技能的过程”；富兰（Fullan,M. ）和哈格里夫斯（Hargreaves.A. ）认为：“教师专业发展既指通过在职教师教育或教师培训而获得特定方面的发展，也指教师在目标意识、教学技能和与同事合作能力等方面的进步”；格拉特霍恩（Glatthorn.A. ）认为：“教师发展即‘教师由于经验增加和对教学系统审视而获得的专业成长’”；台湾学者罗清水认为“教师专业发展乃是教师为提升专业水准和专业表现而经自我抉择所进行的各项活动与学习的历程，以期促进专业成长，改进教学效果，提高学习效能”。

第二类是指促进教师专业成长的过程。如利特尔（Little,J.W ）指出，对教师专业化有两种不同的研究路径，这在一定程度上反映了教师专业一词含义的两个方面：其一是教师掌握教室复杂性的过程。这些研究主要特别关注特定的教学法或课程革新的实施，同时也研究教[1]

[2] 柳海民, 孙志杰. 试论教师专业化及其专业化培养[J].东北师大学报(哲学社会科学版),2003(5):113-118. 叶澜. 教师角色与教师发展新探[M].北京:教育科学出版社,2001:222-225.

师是如何学会教学的，他们是如何获得知识和专业成熟，以及他们如何长期保持对工作的投入等。其二是侧重于研究影响教师和学习机会的组织和职业条件。正如罗清水所指出的，专业发展一般常与专业成长、教师的发展和教师培训等交互作用。

第三类是指第一类与第二类兼有的。如威迪思（Wideen,M. ）指出，教师专业化有五层含义。即，协助教师改进教学技巧的训练；学校改革整体活动，以促进个人最大成长，营造良好的气氛，提高学习效果；是一种成人教育，增加教师对其工作和活动的了解，不只是停留在提高教学成果上；是利用最新的教学成效的研究，以改进学校教育的一种手段；专业发展本就是一种目的，协助教师在受尊敬的、受支持的、积极的气氛中，促进个人的专业成长。

关于数学教师专业发展的具体方面，也是有着多种不同的看法，但概括起来都主要包括如下成分：首先专业知识的发展；其次是专业技能的发展；再次是专业观念的发展。如王子兴在讨论数学教师专业发展时认为[1]，数学教师专业化的内涵包括了数学教师数学专业化、数学教师教育专业化和数学教师专业情意。并进一步指出，所谓数学专业结构是由数学学科知识、数学能力和数学素养构建起来的；而教育专业结构则由教育学科知识、一般文化科学知识、一般教学能力和数学教学能力构建起来。这里事实上即是包含了数学教育的两大母学科——数学与教育专业素养的发展，以及由此而形成的对于数学、教育及数学教育的观念与态度。这将在本章的第二节进行详细地讨论。

§13.1.2数学教师的专业标准

在梳理了教师专业化含义之后，一个值得关注的问题是数学教师专业化水平，即数学教师的专业标准问题。全美数学教师理事会（NCTM ）曾于1991年发表过《数学教师专业标准》，提出了如“感受好的数学教学”等6个标准。本节不打算去提出概括性的专业标准，而希望通过案例说明新手教师与专家型教师间存在的典型差异，从一个侧面说明数学教师的专业标准。需要说明的是，这里涉及的案例主要来自吴卫东的博士论文[2]，而我们的工作只是通过这些案例提炼出数学教师的一部分专业标准。这里使用了“一部分专业标准”这样的措辞，一方面是由于我们认为所提炼的标准肯定是不全面的，而只是在案例中所反映出来的一些经验性的东西；另一方面是因为，事实上我们也并不愿意用一个“标准”来僵化“优秀数学教师”的形象。

（一）教学设计的视角：富于联系的概念图式

案例13-1：除法教学的教学目标

新手教师的教学目标：

◆ 学生初步理解除法的含义和概念；

◆ 认识‚÷‛；

◆ 认识除法算式中的3个名称‚除数‛、‚被除数‛、‚商‛。

专家教师的教学目标：

◆ 通过对围棋子分一分，理解‚同样多‛；

◆ 认识‚平均分‛，知道可以用除法表示平均分，认识除号，会读写除法算式，理解除[1]

[2] 王子兴. 论数学教师专业化的内涵[J].数学教育学报,2002,11(4):63-66. 吴卫东. 教师个人知识研究[D].上海:华东师范大学,2007:58-61.

法算式各部分的意义；

◆ 结合点子图发现除法与乘法、加法、减法的内在联系，感觉数学知识之间的内在联系。

从新手教师与专家教师对预设的教学目标可以看出，新手教师更多地是关注了所学概念本身，包括概念的名称、表层的含义等；而专家教师不仅关注了数学概念本身及其与其他知识间的联系，而且对学生学习起点也作了预设。比如，“同样多”是“平均分”概念的基础，“平均分” 则又是“除法”的现实模型，这是一个借助学生可能拥有的操作经验逐渐抽象的过程，也是数学本身发展的过程。

新手教师与专家教师在预设教学目标时的差异表明了两者本身所拥有的数学本体性知识网络的差异。我们认为，一个好的数学教师或一个专业化水平高的数学教师应当拥有层次、复合的数学知识网络。这即是指，新手教师虽然对数学知识有比较清晰的概念，而且也能很容易地解答数学题目，但对数学知识之间的联系把握不清，表现在两方面：一方面，不了解某个具体的数学知识是通过什么知识发展而来，导致认知结构中的数学知识缺乏层次性；另一方面，不了解数学知识间的联系，导致认知结构中的数学知识缺乏联系。

案例中另一个差异即是新手教师与专家教师在预设学生学习起点时的差异。专家教师能有效地考虑学生在学习新知识时所可能存在的学习起点，而新手教师则只能关注学生所要学习的新知识本身。比如，“把一堆东西分成同样多”是大部分学生所拥有的操作性经验，这与所要学习的“除法”概念本质上存在一致性，只是抽象程度不同而已。因此，我们认为，一个好的数学教师善于将学生的经验与所要学的知识有效地结合在一起。当然这种经验并不特指学生的生活经验，也包括学生科学学习中的经验。

概括起来，一个专业化水平高的数学教师应该拥有一个富于联系的概念图式，这里的图式不仅包括有层次而又复合的数学知识网络，而且网络中又有许多如具体的生活经验等经验性的知识作为支撑。

（二）教学过程的视角：非线性的教学实施能力

活生生的学生是数学教学的对象也是数学学习的主体。因此，数学教学存在很多的不确定性，数学教学也就肯定不能完全按照教师预设的过程展开。对于教学中出现的“意外”，教师如何处理？对此问题的处理也就是新手教师与专家教师在教学过程中的典型差异。

案例13-2：分数的意义

在一位浙江省特级教师（下简称‚A 老师‛）执教的‚分数的意义‛的公开课中，教师的预设是通过单位‚1‛的理解，充分把握分数的内涵和外延，然而在课前的调查中，发现学生分数的初步认识学得比较扎实，并有所拓展，如何面对这样的学生调整按部就班的教学程序呢？A 老师把教学中的四个环节拆分成四个部分，分别是单位‚1‛、基础练习、拓展练习和分数单位。A 老师坦言了自己对学生学习起点的估计有误，并说：‚老师带来了四组材料，你们认为先学哪一组，如果都会了，那今天的课就不上了，我们都回家。‛许多学生表示从第四组材料开始研究，因为一般情况下老师总是把最有挑战性的材料放在最后，当老师呈现第四组材料时，学生才发现上当了，原来最难的是第三组。通过第三组材料的研究，逐渐拓展到对分数单位和单位‚1‛的深刻理解。

而新手教师面对这种情况时往往会仍然沿着自己的教学设计完成预设的教学任务，这在新手教师对除法教学的看法中就可以看出：

案例13-3：面对教学中的意外

研究者：我仔细读了你的教案，发现教案中只描述了教师的行为，记录了教师预设的问题与对数学知识的陈述，为什么没有对学生学习结果的描述呢？

新手教师：有的，我记录了学生应该回答的正确答案。

研究者：这只是教师预想的唯一正确的答案，如果学生的回答与你的教案写得不一样那该怎么办呢？

新手教师：总会有学生的回答与我的一样的，其它更多的我也没想过。

从中我们可以发现，专家教师与新手教师在实施教学设计时的最大差别在于：后者的教学实施以教学设计为导向，不太关注学生的反应，整个过程比较顺畅，呈流线型；而前者则以学生反应为导向，教学设计为辅，整个过程表现出“非线性”性和多变性。

我们认为，数学教育的目标除了教学生数学知识外，还有更为重要的任务是培育学生的数学思维，或更广泛的数学素养。从这一数学教育价值出发，我们不提倡教师像“猎人”一样将学生这一“猎物”引诱到早已埋好的“陷阱”里；而反过来，教师应该像培育“猎人”一样去培育学生利用数学这一工具去观察、思考和解决现实中的问题，去培育学生像“猎人喜欢猎枪”一样去珍爱数学。要实现这一目标，则必须要使学生感受到数学学习并非是再现教师教学设计中的内容，数学教学过程也必然要随着学生不同的反应而变化。正因为如此，我们认为一个好的数学教师应该是具有非线性数学教学实施能力的专业人才。

（三）教学评价的视角：全面的教学反思能力

课后的教学评价是数学教师专业水平的体现，也是提升数学教师专业化水平的重要途径。然而新手教师与专家教师进行评价的焦点存在着差异。

案例13-4：学生真敢想

这是一堂小学一年级的数学课，教师正在用多媒体演示动物王国开运动会的教学情境。教师让学生把看到的动物，两只老虎、三只狮子和两只狐狸，通过连加运算求总数。然后让学生寻找教室中的连加算式。一生自信地回答：‚老师，一盏日光灯加一个老师加一张桌子。‛课后，该教师说：‚今天学生真敢说，这样的算式也能列，我不知道怎么办？‛

该教师把学生的回答归结为个别学生的怪异行为，也因此觉得不可理喻。教师的这一课后评价至少向我们揭示了新手教师在课后反思过程中的两个特点。第一，新手教师对感到困惑的教学细节非常敏感，但对困惑的归因往往也局限于细节。比如案例中，教师的反思未能去思考学生为什么会作出这样的回答。事实上，学生的回答与教师所创设的教学情境在本质上是一样的。而问题的症结却在教师自己混淆了加法运算之有意义的原则：所有数应当是同单位的。这是教师应该去反思的焦点所在。第二，新手教师反思中往往会把教学问题推诿于学生。也正是由于前述的原因，新手教师不能找到教学之所以出现问题的真正原因，而经常性地会抱怨学生思想之怪，甚至是笨。这对于学生而言是不公的，对于教师专业成长来说也是不利的。因此，我们认为一个好的数学教师应该具备全面的反思能力。 [1][1] 吴卫东. 教师个人知识研究[D].上海:华东师范大学,2007:59.

§13.2数学教师的专业素质

数学教师专业化发展的过程，是一个不断学习、积累数学学科知识的过程；是一个数学技能不断形成和数学能力不断提高的过程；是一个数学素养不断形成和发展的过程。教师的专业素质是教师质量的集中表现。对于教师专业素质的构成问题，不少专家学者都进行了大量的研究，归纳起来，大致包括：专业知识、专业能力和专业情意3个方面。专业知识包括普通文化知识、数学学科专业知识以及教育学科知识。专业能力包括教学技能和教育教学能力2个方面。专业情意则包括专业理想、专业情操、专业性向和专业自我4个方面。中学数学教师，除应具备上述3个方面的专业素质外，还应具备独具数学教育特性的素养（或称为数学素养），包括数学科学素养、数学思想方法素养、数学能力素养、数学观素养等[1]。

根据数学学科的特殊性，我们认为数学教师的专业素质可区分为数学专业知识、专业能力和数学素养三个方面。其中专业知识包括数学专业知识以及教育学科知识。专业能力包括数学教学技能和数学教育教学能力两个方面。数学素养则包括数学科学素养、数学思维素养、运用数学的素养、数学人文素养、数学教育观等五个方面。

§13.2.1数学教师的专业知识

数学教师的专业知识包括本体性知识、条件性知识以及教育实践中积累起来的实践性知识。本体性知识决定着数学教师所教的数学的科学性；条件性知识决定着学生学习的难度；而实践性知识则决定着教师能否有效地处理教学中出现的问题。

一、本体性知识

本体性知识即数学专业知识，是数学教师专业知识的基础，包括数学基础知识、数学思想方法、数学史知识和应用数学知识等。大量研究表明数学教师的数学知识对其教学行为和学习行为产生重要的影响。在教学中，数学知识丰富的教师能够帮助学生建立起概念间的联系，提供恰当且多样的表征方式。他们通常采取有利于学生学习的各种课堂活动，如有技巧地引导学生对数学知识进行自由讨论。相反，数学知识缺乏的教师则完全依赖于课本，往往会减少学生相互讨论与学生提问的机会，以避免暴露自己在数学知识上的薄弱。

作为数学教师，对相关数学知识尤其是中小学数学中的核心知识必须有深入理解：从算术到代数、从实验几何到论证几何、从常量数学到变量数学、从确定性数学到随机性数学，各部分知识的内涵外延、知识产生的实践背景及文化背景、知识的形成发展演变脉络、知识的广泛应用，以及相关概念的联系都应了然于心。

以函数教学为例，数学教师不仅应该掌握函数的本质，更应从整体脉络的角度了解学习函数的必要性。具体来说，可让学生明白函数在现实生活中的必要性。即人们需要去把握现实问题中的变化趋势、变化范围及变化速度；反映在函数性质上，就需要研究函数的增减性（进而单调性）、增长率和衰减率、最值等问题。按照从直观到抽象，从定性到定量的认识层次，又得对研究函数性质的工具如图像的特征包括零点、对称性（奇偶性）进行研究；为了提高效率，又得研究周期性。如果教师体会到这些知识生长脉络，就会在函数部分的教学中，自觉地以实际问题为主线，引导学生在探究问题的过程中，自然地形成函数概念，使教学过程变成一个颇具发展性的动态生成过程，让学生真切体会到，不是为了学函数而引入生[1] 王延文, 崔宏. 数学教师专业化与课程改革[J]. 数学教育学报,2003,12(2):78-82.

活，而是为便于生活而创造函数。

如果说扎实的数学科学专业知识增加了教学法加工的素材和途径的话，教师对数学知识背景的了解则决定了教学加工的文化深度。例如，同样是勾股定理的证明，中国古代（赵爽、刘徽、梅文鼎）利用直角三角形易于移补的特点，把证明建立在一种不证自明、形象直观的“出入相补”原理上，证法简洁、直观，其展示的割补原理和数形结合思想让我们看到我国古代传统文化中追求直观、实用的文化精髓。而欧氏证法则完全脱离实物的支撑，依托严禁的逻辑和理性的推理，给我们展示的却是西方数学文化传统中对数学美和数学理性的追求。如果我们对中西两种文化传统缺乏了解，就不可能领悟到蕴含于勾股定理证明方法中如此丰富的文化内涵，也就不可能有意识地引导学生感受这种文化差异，更不可能尝试用变换这一现代数学方法去勾通两种文化中的不同证法。

二、条件性知识

数学教师的条件性知识，是指个体关于在何种条件下、为什么以及如何更好地传授学科知识的一种知识类型。主要包括教育学和心理学的知识、数学教学法的知识等。

大量研究表明，丰富的数学学科知识是数学教学的重要条件，但数学学科知识达到一定程度后跟数学教学相关不显著。“数学教育人”不同于“数学人”，关键就在于前者知道在何种条件下、为什么以及如何更好地传授学科知识。例如，在初中数学教学中，我们总会遇到部分学生把分式方程中的“去分母”错误迁移到分式的四则运算中，出现形如

x 2-16x 3+2x 2-3x +-=22-x 2+x 4-x x 2-16x +(3+2x )(2+x ) -(2-3x )(2-x ) =-x +2的错误。面对这样的错误，我们该如何处理？最常见的就是直接告诉他，“你的解法不对，解方程才去分母，分式加减不行，代数式不是等式，你这样处理改变了代数式的值。”这样处理存在这样的基本假设：就算有个别同学还会犯类似的错误，多重复几次也就不会再出现了。但也有教师是这样处理的：他就着学生的解答引导学生研究错误结果与正确结果的关系，发现刚好扩大了4－x 倍，因此只要把错误结果再除以4－x 就能得到正确结果。

解：设原式＝A ，

则（4－x ）A ＝x -16x +(3+2x )(2+x ) -(2-3x )(2-x ) =-x +2 因此，原式＝2222-x +21= 22+x 4-x

由于把分式运算转化为整式运算，学生觉得这种方法挺有意思。因此，该生的解答为创新解法开启了思路。

在我们看来，后者正是“数学教育人”所应该具备的能力，除了具备扎实的数学本体知识外，还具备如何将“数学”转化“教育数学”，并知道如何优化转化过程。这即是条件性

知识，它直接影响着学生数学理解的程度和容易性。

三、实践性知识

数学教师的实践性知识，是指与教学行动、教学实践紧密结合的各种知识形态，是教师在实现有目的的教学行为时所具有的课堂情景知识以及与之相关的知识。

教学中经常能见到这样的教师：他们总能预见学生会提出的问题和将要面临的困难，甚至能猜到学生们可能玩的把戏，并且总有行之有效的方法来对付。教师之所以能够在课堂这样复杂的环境中轻松自如完成教学任务，在很长时间里被认为是因为经验丰富而自动产生的。直到最近十五年，研究者才认识到这与实践性知识有莫大的关系。

例如，还是在“分式四则运算”的教学中，具有一定实践性知识的教师知道部分学生容易出现把分式方程中的“去分母”错误地迁移到分式的四则运算中。那么在教学过程中，就会提前设计一些让学生体验从失败到成功的过程。反过来，如果不能预见学生会出现上述错误，则教学过程中会出现很多“意料之外”，也会更多地采取灌输方式。

这种知识属于临床性知识，其中有直接获得的个人经验积累，也有通过情境学习间接地从他人经验中获得借鉴。当具备了一定的教育实践性知识，教师面对不确定性教学条件时就能作出复杂的解释，能在具体思考后采取适合特定情境的行为。实践性知识有个人经历、意识、风格及知识结构的影响。教师的教育实践知识与其所掌握的学科知识和教育学知识之间存在显著的关联[1]。教师的案例分析，教师行为的访谈，教师经验介绍都为教师提供了丰富的教育情境知识。

以上三方面知识是相互支撑，渗透的有机整体，从而构成灵活的个人实践知识——它体现为数学教师行为的科学性、艺术性和个人独特性。当然除去上述三种知识之外，随着现代科技的高度分化又高度综合的趋势，教师还要有广博的文化知识，其中包括学科知识的延伸和辅助学科知识。教师丰富的文化知识，是职业知识的前瞻，它不仅能扩展学生的精神世界，而且能激发他们的求知欲。教师拥有的知识中，还包含教师个人的智慧。教师对各种专业知识的融合，也体现出个人特征，我们只有在具体的教学内容、学生、课堂情境中，才能看到教师的知识状况和水准。

§13.2.2数学教师的专业能力

能力对于数学教师专业发展的意义和重要性毋庸置疑，新一轮数学课程改革对数学教师的能力提出了新的要求，数学教师形成新的能力结构以适应新时势。然而数学教师应该具备哪些能力却是仁者见仁，智者见智。前苏联的克鲁捷茨基认为数学能力由九种成分构成[2]。国内则有学者认为数学教师的逻辑思维能力至关重要，并认为数学教师能力结构应包括基础层次、核心层次及目标层次三个层次[3]。也有学者认为数学教师的专业能力结构包括与教师教学实际相联系的能力、教育科研能力以及合作交流能力等[4]。

事实上，数学教师的能力结构至少应该包括基础能力、数学能力、数学教学能力以及拓[1]

[2] 辛涛. 小学数学教师职业知识的结构与内在关系[J]. 心理发展与教育,2005,(2):52-55. [苏]克鲁捷茨基. 中小学数学能力心理学[M].李伯黍译. 上海:上海教育出版社,1988:112.

[3] 王奎实. 面向新世纪的中学数学教师能力结构初探[J]. 数学教育学报,1995,4(3):79-80.

[4] 李渺. 对初中数学教师专业结构的再认识——读《数学课程标准》有感[J].河北教育,2003(5):30-31

展能力[5]。其中基础能力是指完成一般工作所需的能力；数学能力和数学教学能力是数学教师在完成数学教育教学活动中体现其职业特点的专业能力，也是一种特殊能力；拓展能力则是时代发展的需要，体现数学教师自我完善与自我发展的一种需求。

一、基础能力

基础能力中的认识能力包括观察力、注意力、记忆力、想象力和思维力，即一个人的智力方面。它始终贯穿于教师的职业活动之中，标志着一个数学教师能力起点的高度。数学教师除了要具有一般的表达能力外，还应具有数学表达和交流的能力，能用数学语言来传递信息、进行交流，这样可以组织和强化学生的数学思维。数学教师需要与学生进行思想和情感的交流和沟通，给学生以个体影响，使学生在数学学习过程中情感、态度、价值观方面也得到良好的发展。此外，教师还需要与社会、家长、校长和同事建立和谐的交往关系，形成共育良才的教研合力。在网络时代，信息已成为一种重要的教学资源。数学教师无论作为普通社会人，还是作为专业教师都应该掌握信息技术并具备一定的信息素养。信息技术为数学教师提供了更丰富的教学媒体，但不同的媒体具有不同的教学特性，数学教师必须根据教学目标、教学对象、教学条件来选择和优化组合媒体，整合教学内容，从而提高教学质量。终身学习能力是数学教师能够在不断发展的社会环境中，有意识地更新自己的知识体系和能力结构，以便保证自己职业的适应性。终身学习能力既是社会发展对人的要求，也是教研变革对数学教师职业角色提出的要求。

二、数学能力

数学能力是一种特殊能力，是顺利完成数学活动所必须具备、直接影响其活动效率的个性心理特征。同时它也是数学教师区别于其他教师的主要特征之一。数学教师的数学能力，主要包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数学地提出、分析和解决问题的能力，还包括数据处理的能力、数学表达和交流的能力、独立获取数学知识的能力。为了避免能力结构中构成要素的重复，我们把数据处理的能力归到信息素养中，把数学表达和交流的能力归到语言表达能力中，把独立获取数学知识的能力归到终身学习能力中。数学能力中的空间想象能力在数学研究、数学教学中尤其是几何课程的研究和教学是一种基本的能力。抽象概括能力不仅是数学本身与数学教学的需要，也是现代社会对未来公民基本的素养要求。推理论证能力既包括逻辑推理，也包括数学发现、创造过程中的合情推理，这是数学的基本思考方式，也是数学教学的基本功。运算求解能力还包括对估算能力、求近似解的能力等方面的要求。提出问题是我国数学教育中的一个薄弱环节，新数学课程要求教师不仅会做、会讲现成的题，还要能自己发现问题、提出问题，这是创造意识和创造能力培养的主要方面。

三、数学教学能力

数学教学活动中，决定教师在其中的地位、作用的核心因素就是教师的数学教学能力。数学教师的教学能力主要包括：对数学课程内容准确驾驭的能力、数学教学设计能力、数学教学实施能力和数学教学反思能力。

（一）对数学课程内容准确驾驭的能力 [5] 傅敏, 刘燚. 论现代数学教师的能力结构[J].课程·教材·教法,2005,25(4):78-82.

对数学课程内容准确驾驭的能力是数学专业功底的集中体现。其主要用途在于拓宽学生的数学视野，主动用较高的观点分析和研究中小学数学问题，培养迅速把握中小学数学某个具体内容的核心和数学本质的能力，同时，培养研究初等数学问题的良好能力。

良好的数学专业功底是从事中小学数学教学的基本前提。 如果教师的数学素养得不到及时更新，对相应数学内容的学习和掌握欠缺，那么，数学教学的效果将大打折扣！这正是当前数学课程改革遭遇的最大障碍之一。

如何正确把握义务教育阶段数学课程部分的核心目标，成为衡量义务教育阶段数学教师专业能力的重要指标之一。如果不理解“义务教育阶段空间与图形的核心目标在于培养学生的空间观念、几何直觉和推理能力，积累几何活动的经验”，那么要想取得高质量的“空间与图形”教学几乎是不可能的；如果不理解“义务教育阶段统计与概率的核心目标在于培养统计观念与随机意识，建立统计直觉；统计教育价值的核心在于逐步养成尊重事实、通过数据来分析问题的习惯，培养理解和把握随机现象的能力，中小学阶段统计教学应该体现从收集数据到统计推断的全过程，建立统计直观。”那么，统计与概率的课程实施将会大打折扣！

值得一提的是，对数学课程内容准确驾驭能力的缺失，正是当前不少著名学者所担心的“去数学化”倾向的症结所在！当然，对中小学数学课程内容的准确把握，并非仅仅具备雄厚的数学专业知识就能够解决，同时也需要对数学教学进行设计的能力。

（二）数学教学设计能力

数学教学设计能力主要是指教师对数学教学目标、教学任务、学习者特点、教学方法与策略以及教学情境的分析判断能力。在教学能力结构中，教学设计能力是基础，它直接影响到教师教学准备的水平，影响到教学方案设计的质量。

新课程理念之下的数学教学设计，目的在于帮助学生更好地进行数学学习，以获得良好的学习效果。在实施数学教学之前，教师通过数学教学设计对教学行为进行周密思考与妥善安排，对教什么、如何教、学生如何学、要达到什么目标要求等进行系统分析与研究；对如何达到教学目标、如何组织教学活动过程以及在活动过程中将采取什么策略、方案等，进行一系列的系统设计与安排。为此，数学教学设计必须始终体现学生数学学习的自主性，这是核心问题。尤其是，要克服教学目标分析中的“知识结果中心”倾向，学习分析中的“教材中心”倾向，以及教学策略制定中的“教师中心”倾向。

（三）数学教学实施能力

数学教学实施能力，是为实现所设计的教学方案而灵活有效地组织数学教学的能力。它不仅包括课堂教学的各项基本技能（如课堂组织管理技能、板书技能、 导入技能、讲解技能、提问技能等），还包括教学监控能力等复合能力。数学教学监控能力，是指教师为了保证数学教学达到预期目标，在教学的过程中，将数学教学活动本身作为意识的对象，不断对其进行计划、检查、评价、反馈、控制和调节的能力。它是数学教学能力诸成分中的高级成分，主要包括：教师对数学教学活动有意识的监察、评价和反馈；对自己的数学教学活动进行调节、校正和有意识的自我控制。数学教学监控能力是从微观上促使数学教师从“经验型”教师向“研究型”教师转化的核心要素。以教学实施能力为例，在课堂中，教师教学实施能力的一个重要方面就在于合理地安排课堂教学中的A 型知识（即教科书及教学参考书提供

的知识）、B 型知识（即教师个人的知识）、C 型知识（即师生互动产生的新知识）三者的比例。 而数学课程改革使课堂授受知识中的A 型、B 型、C 型知识之间的比例发生了明显的变化，如何合理安排好这些知识之间的比例，就取决于教师的教学实施能力中的教学调控本领。

（四）数学教学反思能力

数学教学反思能力主要指数学教师对所选教学目标的适用性以及根据这一目标选定的教学策略作出判断的能力。例如数学教师可以反思下列问题：这节课是否如我所希望的？怎样用教和学的理论来解释我的数学课堂教学？怎样评价学生是否获得了数学知识，形成了技能，发展了数学能力，达到了预定的目标？上课时改变了计划中的哪些内容，为什么改变？是否有另外的教学活动或方法会更成功，为什么？根据这些问题教师就可以判断自己是成功地完成了教学目标，还是需要重新计划或尝试新的策略。教学反思有利于提升数学教学实践的合理性，是教师专业成长的有效途径。

四、拓展能力

拓展是指改变事物的原有状态，扩大或开辟事物的发展途径，它的本质是改革创新。拓展能力是新时期数学教师自我完善与自我发展的一种需求。现代数学教师不仅应该是现代教育的实践者，还应该是集教学、科研、管理等多种功能于一身的复合型教师，这是时代对数学教师提出的新要求。数学教师要善于从教育理论中汲取知识来指导自身的数学教学实践，同时也需要把数学教学实践中的教研、体会归纳总结，并在一定思想指导下将其升华为指导后继数学教育活动的理论。

数学教育对象的多变性与差异性，决定教师工作本身就是一种创造性劳动。我国现阶段基础教育的根本任务是培养具有创新精神和创新能力的一代新人，而学生的创造品格、创造才能需要教师的创造性教育教学来培育。因此，现代数学教师必须具备创造能力，包括能更新数学教育教学内容、能创造新的数学教育教学方法、能优化数学教育教学过程的能力，能培养学生的数学意识、数学地提出、分析和解决问题的能力，以及创新意识和创新能力等。

§13.2.3数学教师的数学素养

数学素养，是指在个人先天素质的基础上，受后天教育与环境的影响，通过个体自身的学习、认识和实践活动等所获得的数学知识、数学能力和数学思想观念等的一种综合修养，也被称为数学品质。数学素养，包括数学科学素养、数学思维素养、运用数学的素养、数学人文素养、数学教育观素养等。

一、数学科学素养

数学教师的数学科学素养将直接影响到学生的数学科学素养。这里，我们将从一个教学片断出发进行讨论。

案例13-5[1]：‚工程问题‛课的结尾

师：谁还有什么问题吗？

生：工作总量可以不设为‚1‛，而设为2、3、4等其他的数吗？

（听了学生的问题，老师愣了一下，显然对于这个问题自己一时也弄不懂，于是‚巧妙‛[1] 横锋. 教师有必要补上数学素养这一课[J].江苏教育,2006(9):25-26.

地把球踢给了学生）

师：这个问题提得好！是啊，工作总量是否能设为其他数呢？谁能替他解决这个问题？ 生：工作总量不能设为其他数。因为‚工程问题‛是一种分数应用题，而分数表示‚把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数‛。所以工作总量只能设为‚1‛。

师：回答得好！你能把新旧知识联系起来解决问题，真棒。你们看，课本上都把工作总量设为‚1‛的，课本上的设法不会错的。

其实这位老师的说法是有问题的。工作总量不仅可以设为单位“1”，也可以设为其他数，教材中将工作总量设为单位“1”，目的是使学生在解题时简明、易懂，便于理解和掌握。有时把这个工作总量设为其他特殊的数往往比设单位“1”解题时更为简便。比如，苏教版义务教育第十一册教材第84页例5：“一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。甲、乙两队合做，多少天可以完成？”如果把整个工作总量设为“60”，（20和30的最

（小公倍数），依据题意得：60÷6060＋）＝60÷5＝12（天）。由此例可以看出，巧设工2030

程总量，能化繁为简，化难为易，提高解题的正确率。

另外，数学语言是数学科学素养中的一个重要内容。随着社会的进步，生活中需要越来越多的数学语言，各种统计图表，如股市行情、降雨概率、空气质量指数、利息与利率、彩票中奖率等，以准确、简明、抽象的数学语言正大踏步地进入人们的日常生活。所以，教师在教学中使用的语言一定要准确、科学。要使教学语言准确无误，必须概念清楚。例如：“负号乘以正号得负号”；把“非负数”说成“正数”；“不是正数，则必定是负数”；“绝对值一定大于零”；“x 一定为正数”；“a 的零次幂为1”等说法都是不正确的。

二、数学思维素养

数学学习本质上是一种思维活动，数学在训练思维、提高思维水平方面发挥着突出的作用。“数学是思维的体操”，是指形式训练价值，即论证推理与合情推理。但数学规律、数学结论及其证明的方法是如何发现的，这在传统的数学课堂上是被忽视的，但却是数学思维素养发展的另一面。例如，在传统课堂上对于“异面直线所成的角及其距离”这一问题，大都只介绍如何求，但却不了解为什么求，求的价值在什么地方？但作为教师，思考这些问题却是重要的，例如在异面直线这一问题上可作如下思考。

案例13-6：对于异面直线，为什么既要研究它们所成的角，又要研究它们之间的距离。 两条相交直线的相互位置关系，可以用它们所成的角来表示；两条平行直线的相互位置关系可以用它们之间的距离来表示。两条异面直线的相互位置关系用什么来表示？但用它们所成的角或者它们之间的距离都不能确定它们的相互位置，必须同时用这两个量才能确定两条异面直线的空间结构，这是由两条异面直线不同于两条相交直线和两条平行直线的本质属性所决定的。

进一步再来研究两条异面直线所成的角的概念是如何产生的。两条相交直线的夹角是表示两条直线方向的差异，是其中一条直线绕两条直线的交点旋转到和另一条直线重合所成的角。两条异面直线所成的角也要表示两条直线方向的差异，但是两条异面直线不相交，没有交点，怎么办？只有平移其中一条直线，使它和另一条直线相交，这样两条直线的方向没有2

变化，但是产生了交点，转化为相交直线，就有了夹角，可以表示两条异面直线方向的差异，用这种方法，两条异面直线所成的角就可以定义了。

只有教师拥有了这种思维素养，才能通过上面对两条异面直线所成的角的背景分析，使学生对两条异面直线所成的角的概念的产生的背景和形成的过程有了比较深刻的理解，才能知道为什么要学习这些数学知识，而且通过教师的启发诱导使学生亲自参与概念的建立，使学生才能真正理解这些数学知识，灵活运用这些数学知识。另一方面，也是更为重要的是教师只有具备这种思维习惯，才有可能更多地避免案例13-1中教师所出现的教学准备不足、思考问题过于肤浅等情况。

数学中的演绎推理是论证推理，数学中的归纳推理和类比推理是合情推理。无论是论证推理还是合情推理都是数学抽象思维的基本表现形式，数学直觉则是一种非逻辑思维。这样，逻辑和直觉、分析和推理、共性和个性构成了数学的基础。然而在过去，人们谈到数学思维素养时过多地重视了演绎思想，对于数学的其他方面思维的重视过少，这在新一轮数学课程改革中是需要改变的。

三、运用数学的素养

运用数学的素养是数学素养的重要组成部分。数学作为各门科学的重要基础，作为人类文明的重要支柱，在很多领域中已起着关键性的作用，数学的应用已从传统的理工科发展到人文社会学科，从后台走向了前台。如随着社会信息反馈的不断深入，出现用概率统计方式播报的天气预报、用图表表示的工作速度、用正态分布图表示的生产工艺水平、用统计方法研究《红楼梦》等。在这样的形势下，数学教师应能把相关学科、生产和日常生活中的实际问题抽象成数学问题，运用数学知识、技能去分析解决它们。

但是需要提出的是，我们在运用数学解决实际问题时需要注意“实际性”，不然就会成为“伪应用”。比如一位老师在教学“按比例分配应用题”时设计这样一题：李叔叔用盐水浸种，盐和水的比为1：2。如果调配这种盐水90千克，你能帮助李叔叔算一算需要盐和水各多少千克吗？

此题从生活实际看，至少有两方面问题：其一，在20 C 下100克水只能溶解36克盐，即盐和水的比约为36：100，而不可能为1：2；其二，用盐水浸种，只能用浓度较低的盐水，通常使用的盐和水的比为3：100的淡盐水，否则会“烧坏”种子。

可见，教师本身运用数学的素养至关重要，否则只能设计出只有在数学课堂上才有的“实际问题”，甚至还可能影响学生本来正确的生活直觉。

四、数学人文素养

数学是一种文化。从某种意义上说，数学教育就是数学文化的教育。这种文化修养既涵盖养成实事求是的科学态度，推理严谨、言必有据和条理化的思维习惯，也涵盖了养成的数学意识——理解数学的科学意义、文化内涵、懂得数学的价值。正如莫里斯·克莱因（M. Klein ，1908-1992）所指出的：在最广泛的意义上来说，数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人的物质、道德和社会生活，试图回答有关人类自身提出的问题，努力去理解和控制自然，尽力去探求和确立已经获得的知识是最深刻和最完美的内涵。因此，数学人文素养也是

数学教师所必须具备的素养。

五、数学教育信念素养

数学教师的教育信念是指教师对数学及数学教学的总体认识。研究表明[1]：教师的教育信念在其界定任务和选择认知工具去解释、计划、决策任务中起到了指导性的作用。数学教师的教育信念主要包括教师的数学观、学生观和数学教育价值观三个方面。

首先，树立正确、科学、积极的数学观对数学教师至关重要。首先，数学观对于学生的数学学习有着十分重要的影响。研究表明，数学观会影响学生的学习方式以及解数学题的方法[2]。其次教师的数学观对学生的数学观有着十重要影响。这是可以想象的，如果教师所认识到的数学主要是柏拉图主义的，即把数学看成是一个与逻辑有关的、有严谨体系的、关于图形和数量的精确运算的一门学科；那么学生所体验到的数学也就是一堆法则的集合，学生也会持类似的数学观。因此，教师的数学观是数学教师信念素养的一个重要维度。

其次，教师的学生观其对自己教育对象的基本看法。教师不应把学生看作是被动的知识接受者，而是学习的主体。教师应培养学生的主体精神，即积极、主动学习的精神，让他们成为自己发展的主人；应看到学生发展的可塑性，增强对学生发展的信心，为学生的发展和成长创造各种条件；应找出学生的各自特点以及他们之间的差异，发展他们各自的特长，为学生创新能力的发展打好基础、创造条件。

再次，传统的教师教育价值观更多地表现为“传道、授业、解惑”，而忽略了教育在促进历史发展中所起到的作用。我们认为，数学教育的目的应当是培养出适应社会发展、促进社会发展的人。在这种教育观的指导下，教师应该处处从发展、成长的角度去关心学生。

在上述数学教育价值观下，教师的教学效能感就显得格外重要。教学效能感是指教师对自己影响学生学习行为和学习成绩的能力的主观判断，包括个人教学效能感和一般教学效能感两个方面。所谓个人教学效能感是指教师对自己是否有能力完成教学任务和教好学生的信念；一般教学效能感反映了教师对教与学的关系、对教育在学生发展中的作用等一般看法和判断。作为对其教学活动的独特的主观判断，教师的教学效能感并不是先天形成的，而是在其教学活动中逐渐形成和发展起来的。教师的一般教育效能感随着其教龄的增长而呈下降趋势；而个人教学效能感则随着教师教龄的增长表现出上升趋势。在其教学效能感的总体水平上，虽然也表现出随教龄增长的上升趋势，但这种变化很小，不存在统计上的显著性。

数学教师专业知识、专业能力和数学素养是数学教师专业素质三个递进的层面。但又不只是专业知识到专业能力，再到数学素养的单向、单维的递进，而是相互联系、相互影响的一个统一体。数学教师专业化的过程实质上也就是这三个方面共同提升、相互融合的过程。 [1]

[2] Zhihui Fang. A review of research on teacher belief and practices[J]. Educational Research, 1996, 38(1): 47-65. 黄毅英. 数学观研究综述[J].数学教育学报,2002,11(1):1-8.