数学建模 雨中行走问题

数 学 模 型 论 文

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雨中行走问题

摘要 当我们在雨中冒雨行走时总会下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量就会越小。但事实上会是这种情况吗？在这里，我们将给予综合性的考虑，来解释不同情况下的淋雨量。

在不考虑风向的情况下，若人的全身都受到雨淋，理所当然人跑的越快所淋的雨就会越少。那么模型也可算出淋雨量。

当雨线从正面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成θ角。因为迎着雨的方向跑，所以全身都会淋到雨，由于有夹角，可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分。便可根据题的要求解出模型。

当雨线从后面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成α角。因为背着雨的方向跑，所以全身不一定都会淋到雨。可分几种情况分别来说。

关键词 人速；雨速；风向；夹角

1. 问题的重述

当人们在雨中行走时，是不是走的越快就会淋越少的雨呢？对于这个问题，建立合理的数学模型。讨论一下，在不考虑风向时，人的淋雨量为多少；进而进一步讨论一下，在考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内成不同角度时的淋雨量。

2. 问题的分析

当人在雨中行走时，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案当然不是。人在雨中所淋到的雨量和风向有关，因为风向的不同会导致雨线和人成不同的角度。从而使人所淋到的雨量有所不同。

3. 模型的假设与符号说明

3.1模型的假设

（1）把人体视为长方体，身高h 米，身宽w 米，身厚d 米，淋雨总量C 升。 （2）把降雨强度视为常量，记为：I （cm h ）。 （3）风速保持不变。

（4）以定速度v (m s ) 跑完全程D 。

3.2符号说明

h 人体的身高 （m ）

w 人体的宽度 (m) d 人体的厚度 (m) D 人跑步的全程 (m) v 人跑步的速度 (m/s)

i 降雨强度 (cm/h) c 人在跑步中的淋雨总量 (L) s 人在雨中会被雨淋的面积 (㎡) t 人在雨中跑步的时间 (s) v 雨滴下落速度 (m/s) θ 雨滴反方向与人速度方向的夹角

ρ 雨滴密度

4. 模型的建立与求解

（1）不考虑雨的方向，此种情况，人的前后左右都会淋雨。 淋雨面积：S =2w h +2dh +w d （m ） 行走世间：t =

D v (s )

2

I 3.6*10(L )

5

降雨强度：I (cm h ) =0.01I (m h ) =

ISt 3.6*10

D IS 360v

(m s )

淋雨量：C =

() =5m

3

结论：在此种情况下，跑步全程长度、降雨强度、淋雨面积都是定参数，

只有跑步速度是变量。可知，淋雨量与速度成反比。验证了快跑能减少淋雨量。

但我们也可以发现，当我们取参数D =1000m ，I =2cm h ，w =0.5m ，

h =1.8m

，d =0.2m ，v =6m s 时，可求得：S =2.62m ，C =2.6L 。也就是说

2

在不到三分钟时间内淋雨量就很大了，不太符合实际情况。

结论：用这种模型来描述淋雨量问题不符合实际，原因是模型太简单，没有考虑降雨方向，使得模型太粗超。

（2）考虑降雨方向，可知，I =r ρ 此种情况，淋雨的部位只有头顶和前面。

头顶的淋雨量：C 1=前面淋雨量：C 2=

D w d ρr sin θ

v

D w h (ρ(r cos θ+v )

v

v

-6

淋雨总量：C =C 1+C 2=

ρw D (dr sin θ+h (r cos θ+v )

取参数r =4m s , I =3600*2cm s , ρ=1.39*10 计算上式得：C =

6.95*(0.8sin θ+6cos θ+1.5v )

v

-4

可以看出：淋雨量与降雨的方向和跑步的速度有关。这样我们就可以把问

题转化成给定角度求淋雨量最小的问题。

1 θ=

π

2

时

-4

C =6. 9510*

(+1v

)

结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为

6m s 。则计算可得：

C =1.13L

2 θ=

π

3

时

-4

C =6. 9510*

3

(+1v

)

结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为

6m s 。则计算可得：

C =1.47L

3

π

2

时

雨滴将从身后落下。

C =6.95*10[(

-4

0.8sin θ+6cos θ

v

) +1.5]

令θ=α+

π

2

，则0

π

2

。计算得：

-4

C =6.95*10(

0.8cos α-6sin α

v

+1.5)

此种情况中，淋雨量有可能为负值，这是不可能的，产生的原因是我们认为雨是从前面落到身上的。这种情况另行讨论。

当跑的速度小于雨滴的水平运动速度，即v =r sin α时，雨滴将会从后面淋在身上。可计算得：

C =

D w ρ(dr cos α+h (r sin α-v )

v

D w d ρr cos α

r sin α

-4

当v =sin α时，C 取最小值。

C =

代入数据得

C =6.95*10

cos α5sin α

结论：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿。

若雨滴是以

2π3

的角度落下，即雨滴以

π

6

的角从背后落下，应该以

v =4sin

π

6

=2m s 的速度行走，此时，淋雨量为 ：

这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。

当行走速度快与雨滴的水平运动速度，即v >r sin α你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿 你的前胸。被淋得雨量是：

C =D w ρr (

d cos α-r sin α

v

+h r )

C =0.24L

当d cos α-r sin α>0, v 尽可能大，C 才会最小。 当d cos α-r sin αr sin α, v 接近r sin α，C 才可能最小。 现取v =6m s ，α=

5. 模型的评价

经过解题可知： 对于问题一的模型，由于不考虑风向所带来的影响，求得的结果是非常大的。不符合现实中的实际情况。

对于问题二的模型，在考虑风向所带来的影响时，求得的结果迅速减小。并且想淋到最少的雨，就应该尽量跑得快些，因为淋雨量和人跑的速度为减函数关系。

对于问题三的模型，当雨从后面下来时，人淋雨量的多少和雨的水平分量有关。随着人跑步速度的改变淋雨量将发生不同的变化。

模型的优点：（1）模型可以准确的根据已知数据求解出淋浴量的多少。 （2）模型简单明了，易于理解。 模型的缺点：（1）由于假设雨速和人跑步的速度一直不变，可能造成一些误差。

π

6

时，C =0.77L

参考文献

【1】 姜启源、谢金星、叶俊 数学模型（第三版） 高等教育出版社 【2】 姜启源、谢金星、叶俊 数学模型习题参考答案 高等教育出版社