排列组合习题
排列
一、知识梳理
二、排列定义:一般地,从n个不同的元素中任取mmn个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.
排列数:从n个不同的元素中任取mmn个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中任取m个元素的排列数,记作An.
排列数公式:
m①Annn1n2nm1 m
mAnn!; nm!
②Ann!,规定0!1. 解排列组合问题的方法
①特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置).
②间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉). ③相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列).
④不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间).
⑤有序问题.
⑥选取问题先选后排法.
⑦至多至少问题间接法.
⑧双排列、同元素的排列
⑨环排列
二、典例分析
n1nn例1、证明:An)An(nN*) 1An1(n1n
例2、解方程A2x1140Ax
43
x变式、解不等式A96A9x2,其中n3
例3、3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数
(1)全体站成一排,其中甲只能站中间或两端;
(2)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端;
(3)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端;
(4)全体站成一排,男、女各站在一起;
(5)全体站成一排,男生必须排在一起;
(6)全体站成一排,男生不能排在一起;
(7)全体站成一排,男、女生各不相邻
(8)全体站成一排,甲、乙中间必须有2人;
(9)全体站成一排,甲必须在乙的前面( 不一定相邻);
(10)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻);
(11)排成前后两排,前排3人,后排4人
变式、8个人坐成一排,满足下列条件的不同排法各有多少种?
(1)甲、乙两人必须坐在一起;
(2)甲、乙两人之间必须有三个人;
(3)甲、乙、丙三人两两不相邻;
(4)甲坐在乙的左面。
例4、给定数字0,1,2,3,5,9,每个数字最多用一次
(1)可以组成多少个四位数?
(2)可以组成多少个四位数且是奇数?
(3)可以组成多少个四位数且是偶数?
(4)可以组成多少个自然数?
变式、用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字?
(1)六位数且是奇数;
(2)个位上的数字不是5的六位数;
(3)不大于4310的四位数且是偶数。
例5、用0,1,2,3,4,5六个数字组成的无重复的五位数中,有多少个是5的倍数?
例6、为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( )
A.1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
例7、由1,2,3,4,5,6,组成没有重复数字且1,3,都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A.72 B.96 C.108 D.144
例8、2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )
A.60 B.48 C.42 D.36
例9、用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个。(用数字作答)
例10、从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数,可以组成多少个不同的关于x的一元二次方程axbxc0?其中有实根的方程有多少个?
2
三、知能提升训练
1、6个同学站在一排,甲、乙不能站在一起,不同的排法有( )
42654242A.A6种 C.A4A2种 B.A6A5A5种 D.A4A3种
2、从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文艺委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文艺委员,则不同的选法共有 种(用数字作答)。
3、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不排5月1日和5月2日,不同的安排方法有 种(用数字作答)。
4、一排8个车位,停5辆不同车,每车位至多停1车.
(1)停车5位相邻有多少停法?
(2)不停车的3个空位相邻有多少停法?
(3)一共有多少停法?
5、在一条南北方向的步行街上同侧有8块广告牌,广告牌的底色可红可蓝,要求相邻两块广告牌底色不都为红色,则有( )种不同的配色方案
A.55 B.56 C.46 D.47
6、甲、乙、丙三名志愿者安排在周一至周五的五天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天,每天至多一人,且甲排在其他 两位的前面,共有( )种安排方法
A.20 B.30 C.40 D.60
7、某车队有7辆车,现要调出4辆,再按一定顺序出去执行任务,要求甲、乙两车必须参加,且甲车在乙车前面开出,则不同的调度方案共有 种(用数字作答)。
8、有两排座位,前排11个座位,后排12个座位.现安排2人就做,前排中间3位不能坐,且此2人不能左右相邻,共有( )种坐法.
A.234 B.346 C.350 D.363
9、把‘good’的字母顺序写错有 种写法(用数字作答)
10、设a1,a2,,an是1,2,,n的一个排列,把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai(i1,2,,n)的顺序数.如在排列6,4,5,3,2,1中,5的顺序数为1,3的顺序为0.则在1至8这八个数字构成的全排列中,同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为( )
A.48 B.96 C.144 D.192
11、形如45132的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比它们各自相邻的数字大,则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为( )
A.20 B.18 C.16 D.11
参考答案
n1例1、证明:An)n(n1)321, 1(n1
nAn1(n1)n(n1)32
n(n1)An(n1)n!(n1)n(n1)321
n1nnAn)An(nN*) 1An1(n1
2x14
例2、解:原方程中的x应满足x3
*xN
解得x3,xN
根据排列数公式得(2x1)2x(2x1)(2x2)140x(x1)(x2)
整理得4x35x690 2*
3(因x是正整数,应舍去) 4
所以原方程的解为x3 解得x3或x5
变式:解:由原不等式得9!69!, (9x)!(9x2)!
其中3x9,xN
即(11x)(10x)6,
整理得x21x1040
所以x8或x13,
而3x9,xN
故x3,4,5,6,7
所以原不等式的解集是3,4,5,6,7
例3、解:(1)(特殊元素优先法)先考虑甲的位置,有A3种方法,再考虑其余6人的位置,有A6种方法,故有A3A62160(种)方法
(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙的位置,有A2种方法,再安排其余5人的位置,有22**1616
525种方法,故有A2A5A5240(种)方法
(3)解法1:(特殊元素优先法)按甲是否在最右端分两类:
6第一类,甲在最右端,有A6种方法;
115第二类,甲不在最右端,甲有A5个位置可选,乙也有A5个位置可选,其余5人有A5种排
115法,即A5A5A5种方法;
6115故有A6A5A5A53720(种)方法
7解法2:(间接法)无限制条件的排列方法共有A7种,而甲在最左端,乙在最右端的排法分
765别有A6种,甲在最左端且乙在最右端的排法有A5种,故有A72A6A53720(种)方65
法
解法3:(特殊位置优先法)按最左端优先安排分步
对于最左端除甲外有A6种排法,余下六个位置全排列有A6种排法,其中甲不在最左端,乙
151615在最右端的排法有A5A5种,故有A6A6A5A53720种方法 16
(4)相邻问题(捆绑法):男生必须站在一起,即把3名男生进行全排列,有A3,女生必须站在一起,即把4名女生进行全排列,有A4,全体男生、女生各看作一个元素全排列有A2
342故共有A3A4A2288(种) 423
(5)(捆绑法)把所有男生看作一个元素,与4名女生组成5个元素全排列,故有35A3A5720(种)
(6)不相邻问题(插空法)先排女生共A4种,把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中,
43有A5,故有A4A51440(种)
34(7)对比(6),让女生插空:有A3A4144(种) 34
(8)(捆绑法)除甲、乙外,从其余的5人中任取2人,并站在甲、乙之间,与甲、乙组成一个整体,再与余下的3个人进行全排列,故有(A5A2)A4960(种)
7A7(9)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半,故有22520(种) A2224
(10)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变,即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排
71A7列种数的3,故有3840(种) A3A3
34(11)直接分步完成共有A7A45040(种)
27变式:解:(1)A2A710080(种)
342(2)A6A4A25760(种)
53(3)A5A614400(种)
8A8(4)220160(种) A2
1343例4、解:(1)A5A5300或A6A5300
(2)A4A4A4192
13112(3)300192108或A1A5A1A4A4108 112
[1**********]A6A5A5A5A5A5A5A5A5A5A56251003006006001631
114114654变式、解:(1)A3A4A4288或A4A3A4288或A63A53A4288
6545114(2)A62A5A4504或A5A4A4A4504
11212111(3)A2A3A4A2A42A3A2A32110
413例5、解:A5A4A4216
例6、解:C.共有5!120(个)不同的闪烁,每一个闪烁时,每个彩灯持续时间为1秒,因此共有5120600(秒)闪亮彩灯的时间;每两个闪烁的时间间隔均为5秒,所有不同的闪烁的时间间隔共为5(1201)595(秒),所以时间至少是6005951195(秒)
12222例7、解:C.A3(2A3A23A2A2)108
例8、解:B.A3(A2A2A2A2)48
例9、解:3A3A4A3A43A3A433A3A3324
例10、解:A4A448,A4A22A218
1、C
2、解:A3A436 [***********]31
253、解:A5A52400
514、解:(1)A5A4480(种)
6(2)A6720(种)
111115(3)A8A7A6A5A4A86720(种)
12345、解:A.C8C7C6C5155 326、解:C5A220
227、解:C5A4120
211221128、解:解法一:2A3C4C4A2A11C8C12A21232110192346
222解法二:A203A2211A238034346
9、解:C4A2111(种)
32412210、C.解:A4A2A4A3A4A2144 232211、C.解:A2A3A2A216 22