双曲线典型例题讲解(二)
双曲线典型例题讲解（二）
[例5]设双曲线C：与直线
（1）求双曲线C的离心率的取值范围；
（2）设直线与
轴的交点为P，且
相交于两个不同的点A、B。
，求的值。
解：（1）由C与相交于两个不同的点
故知方程组 有两个不同的实数解，消去
并整理得 ①
所以解之，得
且
双曲线的离心率因为
且
，所以
且
，所以
即离心率的取值范围为（2）设因为由此得由于所以消去由
，得，所以
都是方程①的根，且
[例6]已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线
。
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
（其中O为原点），求的取值范围。
（1）求C的圆心轨迹L的方程. （2）已知点MF0），且P为L上动点，求MPFP的最大值及 此时点P的坐标.
本题主要考查几何意义求轨迹方程，难度适中 （1）解：设C的圆心的坐标为(x,y)，由题设条件知
|4,化简得L的方
x2
y21. 程为4
（2）解：过M，F的直线l
方程为y2(x，将其代入L
的方程得15x840.
解
得
2
x1
5
故与交点为
5
1
因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故|MT1||FT1||MF|2,
|MT2||FT2||MF|2.，若P不在直线MF上，在MFP中有 |MP||FP||MF|2.故|MP||FP|只在T1点取得最大值2。
x2y2
[例8](2011·山东济南)已知点F1,F2分别是双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，
ab
过F1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 A．(1,)
B．(,22) C．(12,)
D．(1,12)
b2b2b2b2
解：设Ac,,Bc,，F2A2c,,F2B2c,.
aaaa
22b
F2AF2B4c20,e22e10,1e1
a
[例9](2011·山东省潍坊三县)已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，
直线y3x是双曲线S的一条渐近线，且原点O、点A(a,0)和点B(0,b)）使等
22422
式OAOBOAOA成立.
3
（I）求双曲线S的方程；
（II）若双曲线S上存在两个点关于直线l:ykx4对称，求实数k的取值范围
.
x2y2
解：（I）根据题意设双曲线S的方程为221,
ab
b
3a且, 解方程组得a1,b.
4a2b2a2b2
3
y2
1. 所求双曲线的方程为x3
2
（II）当k0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线l:ykx4对称； 、
当k0时，设又曲线S上的两点M、N关于直线l对称，lMN. 设直线MN的方程为y
1
xm,则M、N两点的坐标满足方程组 k
1yxm2222
, 消去y得(3k1)x2kmx(m3)k0. k
3x2y23
2
显然3k10, (2km)24(3k21)[(m23)k2]0. 即km3k10.
2
2
2
kmx03k21
设线段MN中点为D(x0,y0), 则. 2
3kmy03k21
3k2mk2m
4. D(x0,y0)在直线l:ykx4上, 2
3k13k21
22km3k122
. 即km3k1. 22
2
km3k10
3k213k21
0或1. kmmk0,解得m0或m1. k2k2
2
2
2
111
k2或k2. 即|k|或|k|,且k0.
3432k的取值范围是(,
113
)(,0)(0,)(,) 3223