麦克斯韦方程组的平面波解
【麦克斯韦方程组的平面波解】
令0,J
0,可得自由空间(真空)中的Maxwell方程组
E
0,
B
0,
EBt,
BE
00t
,
其中真空介电常数(Permittivity constant)08.851012m,真空磁导率(Permeability constant)01.26106m由实验测定。按照现行计量方案,确保光在真空中的传播速度
c
299 792 458 m/s.
利用矢量分析公式
AA
2
A,
可以推导出电磁场的波动方程
2E12E2
12Bc20,B0.0t2c2t
2
这是6个独立的线性齐次微分方程;即电场强度矢量E或磁感应强度矢量B
的任意分量都
满足微分方程
22
AA2A12A
x2y2z2c2t
20. 若以平面电磁波传播方向为x轴,波阵面平行于yz平面,则场分量AA(x,t)与位置坐标y和z无关,并满足如下简单微分方程
2A12x2A
c2t
20, 作为练习,读者可以证明任何形如
A(x,t)A(tkx),
的函数都是波动方程(6)的解,只要其中的参数和k满足
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
显然,简谐平面波
k
c.
A(x,t)A(tkx)0ei,
是波动方程(6)的特殊解,其中2和k2
分别是简谐平面波的园频率和波矢量。
值得指出的是,电场强度矢量E或磁感应强度矢量B
的6个分量必须同时满足Maxwell方程组(1.15-18)四个微分方程。这就要求简谐平面波
E(r,t)Ei(tkr)Bi(tkr
)
0e,B(r,t)0e,
还必须满足一些附加条件,即
kE,kB
00,kB00,kE0B0000E0,
从而自由空间中沿x轴正方向传播的简谐平面电磁波可以写作
E(x,t)Ei(tkx)
0eye,B(x,t)Btkx)0ezei(,
并且
BE0
0
c
. 类似地,沿x轴负方向传播的简谐平面电磁波可以写作
E(x,t)Ei(tkx)0eye,B(x,t)B0ezei(tkx).
简谐平面电磁波具有显著的横波特性,即
kEB
0.
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