一元二次函数的应用chen

一元二次函数的应用

课题：一元二次函数的应用

教学目的：在学习二次函数及其性质的基础上，引导学生应用二次函数及其性质分析实际问题，培养学生建立简单的二次函数模型以及应用模型去解决实际问题的能力。在引导学生发现二次函数模型产生、发展、形成、应用的过程中，主动参与知识的建构，培养学生自主学习、合作学习的良好习惯及积极思考、主动学习的数学情感 教学重点：应用二次函数及其性质构建二次函数模型，解决实际问题

教学难点：激发、强化、维持学生的学习兴趣与学习期望，二次函数模型的构建

教具：多媒体、40cm 长电线、三角板等

设计思路：整节课设计为逐层推进的三个板块：

板块一：设计游戏情景，分组布置任务，学生在活动中体验知识产生、发展、形成、应用的全过程，引导、培养学生应用二次函数模型解决实际问题的意识和能力

板块二：学生尝试自主构建二次函数模型，教师适时点拔、改进 板块三：构建并应用二次函数模型解决实际问题

教学过程：

一、设计游戏情景，分组布置任务

情景：现有40cm 长电线一根，请大家做一个长方形模型，利用手中的三角板，量一量长和宽并计算模型的面积，比一比谁的长方形面积大？猜一猜何时长方形面积最大？证一证为什么此时面积最大？

学生：每2人一组，合作进行，操作可反复尝试，形成你追我赶的热闹场面，并将结果报与老师，同时猜测何种情况下长方形面积最大？并探索如何证明结果的正确，欢迎小组在整理结果后上台，向大家解释说明。

教师：巡回于各小组之间，将各小组的结果整理后写在黑板上，让学生观察、猜测、推导，教师在关键处略加点拨（注意分寸，点到为止，不能代替学生思维），并注意观察结果正确、说理充分的竞赛小组，为下一板块作准备。

二、学生尝试自主构建二次函数模型应用解决实际问题

1、在行为把握中尝试建立数学模型

① 用电线做矩形，把握做矩形的操作要领：从电线（L ）中点出发弯曲；

②操作要领的数学原理：矩形对边相等，长、宽和是周长的一半，即20cm ；

③ 调动已有知识积累，初步建立数学模型：设面积=y，长=x，宽=20-x，则面积y=x(20-x)

④ 量测各自制作的矩形长、宽；

⑤ 将量测结果填入下表：

⑥ 共同分析上表，形成对模型的初步认识，即一元二次函数的初始概念。

2、在图像把握中深化对模型的认识

① 根据上表绘图；

② 分组或全班共同讨论分析绘成的曲线图特点（包括曲线形状、开口、顶点、升降区间等）；

3、从图像把握上升到符号把握，形成对模型的概念化认识 ① 将讨论结果填入事先准备的表格；

② 建构形成概念化结论。

4、利用已建立的二次函数模型解析生活问题

设计1：公布游戏结果：由各组讨论可知，长、宽愈接近，面积愈大，直至长=宽=10cm，面积100cm 2为最大面积。邀请优胜代表上台解释其小组方案，然后鼓励其他小组补充、修正，完善其方案。最后由教师总结性发言，导出二次函数模型，使学生明确以上过程就是应用二次函数模型的过程，且适用于其他相关实际问题。

设计2：假如以上设计因学生能力有限不能完成，则由教师带路牵头，引导学生共同建构二次函数模型。具体如下：

理论推导：

转化为数学问题

设长方形长为x ，则由已知条件与平面几何知识可得宽为20－x ，而面积

y=x （20－x ）

建立二次函数模型

将上式整理：y =－x 2+20x

因电线总长为40cm ，故长方形长应小于20cm ，且大于0，则得到

y =－x 2+20x ，0＜x ＜20

二次函数模型的解

对解析式配方得：

y = －（x －10）2+100，0＜x ＜20，则可知x →10 cm，面积y 愈大，且x=10时，y 大=100 cm2

对基础较差的同学, 配方法没有完全掌握, 可利用二次函数的性质来解, 即a=-1

实际问题解答

由以上可知：当长方形长x 与宽20－x 相等且为10 cm时，长方形面积最大为100 cm2。

二次函数模型解决实际问题可归纳如下：

转化为数学问题

↑ ∣模型求解

∣验证答案

↓

回归为实际问题

三、应用二次函数模型解决实际问题

事件：杭州是一个美丽的旅游城市，每到国庆游人如织，各大宾馆生意兴隆。某宾馆有客房300间，每间日租金200元，假如全部出租，日收入为60000元，总经理想提高房价，增加收入，但副总经理说提高价格会减少顾客，减少客房出租数，又造成收入减少，且据经验调查价格每提高1元，客房出租会减少1间。二位经理各有道理，举棋不定。如果你是经理，你认为到底要不要提高价格？如果要加，请大家设计一个方案，我们将从中选择最优的一个？

1、学生活动设计申报本组方案

学生：学生每4人一组，组内分析讨论后上报本组方案，并解释本组方案，若其他小组有更优方案，则推翻原方案，推举新方案，如此循环往复，直至产生最优方案。同时思考如何应用二次函数模型加以说明。

教师：建议学生先尝试提高价格10元，20元，…，考察收入变化情况，然后设计本组方案，并应用二次函数模型，分析讨论本组方案是否可行。教师巡回观察，适当点拨、引导，最后共同解决问题。

2、利用二次函数模型解析生活问题

转化为数学问题

设房价提高x 元，实际房价为200+x , 导致客房出租数减少x 间，实际出租300 – x间，得客房日收入为y= (200+x)(300-x) 建立二次函数模型

y=-x2+100x+60000, 0﹤x ≤300

二次函数模型的解

配方得:y= -（x-50）2+62500, 0﹤x ≤300

可知x=50时 ,y大=62500元

对基础较差的同学, 配方法没有完全掌握, 可利用二次函数的性质来解, 即x=-时y 大=

实际问题解答

由以上可知，最优方案是房价应提高50元，日收入最高为62500元，增收2500元

四、课题延伸

案例：某农场有300米长篱笆材料，计划利用已有的一面墙（设长度够用）作为一边，围成一块矩形菜地，请你设计一个方案，使得这块菜地的面积最大？

可以作为学生的课外作业，进行研讨。