小学数学牛吃草问题问题试题专题讲解与练习

小学奥数牛吃草问题问题试题专项练习

解题技巧：牛吃草问题是一种较复杂的消元问题，这种题的关键是牧场上牧草的总数量在不断地变化，因此要解答好这类题首先要分析清草的变化情况，即常说的新生量。然后再找出牧场上原有草的数量，只要你请注意了这两点，就能很好地把问题解答出来。

例1 牧场上有一片匀速生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么这片牧草可供多少头牛吃12天？

解：27头牛6周的吃草量 27×6＝162(牛/天) 23头牛9周的吃草量 23×9＝207(牛/天)

每天新生的草量 (207－162) ÷(9－6) ＝15(牛/天) 原有的草量 207－15×9＝72(牛/天)

72÷12+15=21(头)

例2 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果派10人淘水，6小时淘完；如果派6人淘水，18小时淘完。如果派22人淘水，多少小时可以淘完？

10人6小时淘水量10×6＝60(人/小时) 6人18小时淘水量6×18＝108(人/小时) 漏进的新水(108－60) ÷(18－6) ＝4(人/小时) 原有漏进的水 60－4×6＝36(牛/天)

36÷(22-4)=2小时

例3 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解．

旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客．

设1个检票口1分钟检票的人数为1份．因为4个检票口30分钟通过(4×30) 份， 5个检票口20分钟通过(5×20) 份，说明在(30－20) 分钟内新来旅客(4×30－5×20) 份，所以每分钟新来旅客(4×30－5×20) ÷(30－20) ＝2(份) ．

假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为(4－2) ×30＝60(份) 或(5－2) ×20＝60(份) ．

同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60÷(7－2) ＝12(分) ．

例4 两个顽皮的孩子逆着自动滚梯行走，男孩每秒可走3级台阶，女孩每秒可走2级台阶，结果从滚梯一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒，该滚梯共有多少级？

解：男孩100秒走3×100=300(级) 女孩300秒走2×300=600(级)

说明扶梯每秒走(600－300) ÷(300－100)=1.5(级) 扶梯共有(3－1.5) ×100=150(级)

例5 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已

知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天？

分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少．但

是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量．

设1头牛1天吃的草为1份．20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100－

90＝10(份) ，说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草．由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草(20＋10) ×5＝150(份) ．

由150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃10天，寒冷占去10头牛，所以，

可供5头牛吃10天．

例6 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知

男孩每分钟走80级梯级，女孩每分钟走60级梯级，结果男孩用了0.5分钟到达楼上，女孩用了0.6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级？

分析：与例5比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯

级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题．

上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶

梯的速度．男孩0.5分钟走了80×0.5＝40(级) ，女孩0.6分钟走了60×0.6＝36(级) ，女孩比男孩少走了60－36＝4(级) ，多用了0.6－0.5＝0.1(分) ，说明电梯0.1分钟走4级, 那就是说1分钟走了40级．由男孩0.5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有(80＋40) ×5＝60(级) ．

解：自动扶梯每分钟走(80×0.5－60×0.6) ÷(0.6－0.5) ×10＝40(级) ，

自动扶梯共有(80＋40) ×0.5＝60(级) ．

答：扶梯共有60级．

例7 有三块草地，面积分别为5，15和24公顷．草地上的草一样厚，而且长得

一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天．问：第三块草地可供多少头牛吃80天？

分析与解：例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地．为了解决这个

问题，只需将三块草地的面积统一起来．

[5，15，24]＝120．

因为5公顷草地可供10头牛吃30天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供10×

24＝240(头) 牛吃30天．

因为15公顷草地可供28头牛吃45天，120÷15＝8，所以120公顷草地可供28

×8＝224 (头) 牛吃45天．

120÷24＝5，问题变为：120公顷草地可供19×5＝285(头) 牛吃几天？

因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：

“一块匀速生长的草地，可供240头牛吃30天，或供224头牛吃45天，那么可

供多少头牛吃80天？”

这与例1完全一样．设1头牛1天吃的草为1份．每天新长出的草有 (224×45

－240×30) ÷(45－30) ＝192(份) ．草地原有草7200-192×30＝1440(份) ．可供？头牛吃80天。 1440÷80+192＝210(天) ．所以，第三块草地可供210头牛吃80天

1. 一片牧场长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，问：可供多少头牛吃5天？

解：(1)10头牛吃20天，共吃了10×20＝200的草量。 (2)15头牛吃10天，共吃了

15×10＝150的草量。每天长出的新草：(200-150)÷(20-10)=5份 求出草地上原有的草量。200－5×20＝100或者150－5×10＝100 100÷5+5=25头

2. 一片均匀生长的牧草，如果9头牛吃,12天吃光所有的草, 如果8头牛吃16天吃完所有的草。如果13头牛吃，多少天可以把草吃完？

解：(1)9头牛吃12天，共吃了9×12＝108的草量。 (2)8头牛吃16天，共吃了8×16

＝128的草量。

每天长出的新草：(128-108)÷(16-12)=5份 求出草地上原有的草量。108－12×5＝48或者150－5×10＝100

48÷(13-5)=8天 3. 有一片牧场, 草每天生长的速度相同。草地上的草可供10头牛吃10周，或可供24只羊吃20周。已知每周1头牛和3只羊的吃草量相同，那么10头牛和12只羊一起吃草，可以吃多少周？

解：因为“1头牛的吃草量相当于3只羊的吃草量”，所以：24只羊吃20周，等于24只羊=8头牛吃20周。

设1头牛1周吃的草量为1份。

1周新长的草：(8×20—10×10) ÷(20-10)=6份 原有的草：10×10—6×10=40份 同样的道理，10头牛12只羊，等于10+12÷3=14头牛 可吃：40÷(14—6)=5周

4. 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏水时，船已经进了一些水。如果用12个人来淘水，3小时可以淘光，如果用5个人来淘水，10小时才能淘光。现在要2小时淘光，需要安排多少人淘水？

解：设1个人每小时舀水量为1。

则船每小时进水量为（5×10－12×3）÷（10－3）＝14÷7=2小时

因为题目刚说发现漏洞时已进入一些水，因此这时候的船内的水量是：5×10-10×2=30或（12×3-2×3=30）

因此现在可以用一元一次方程来完成：

设X 个人2小时可将水舀完，则有2X=原来船内有的水量+2小时船进的水量。

即是：2X=30+2×2

则 2X=34

求得：X=17人所以要2小时舀完，需要17人。

已漏进的水+3小时漏进的水，每小时需要12x3=36人舀完，也就是36人用1小时才能舀完。 已漏进的水+10小时漏进的水，每小时需要5x10=50人舀完，也就是50人用1小时才能舀完。

1小时漏进的水，2个人用1小时能舀完： （50-36）*（10-3）=2

已漏进的水： (12-2)x3=30

已漏进的水加上2小时漏进的水，需34人1小时完成：30+2x2=34

用2小时舀完这些水需要17人： 34*2=17（人）

5. 一水库存原有水量一定，河水每天均匀入库。用5台同样的抽水机连续20天可将水抽干；用6台同样的抽水机连续工作15天可将水抽干。若想6天将水库里的水全部抽干，需要多少台同样的抽水机？

5台抽20天相当于1台抽多少天？ 5×20=100

6台抽15天相当于1台抽多少天？ 6×15=90

(20-15)天流入水库的水相当于1台抽多少天？ 100-90=10

1天流入水库的水相当于1台抽多少天？ 10÷5=2

水库原有的水相当于1台抽多少天？ 100-2×20=60或 90-2×15=60 6天流入水库的水相当于1台抽多少天？ 2×6=12

6天抽完需要多少台抽水机？ （60+12）÷6=12

6. 公路客运站早上5点开始售票，但早就有人排队等候买票了，每分钟来的旅客一样多，从开始售票到等候买票的队伍消失，如果同时开5个售票口需30分钟，如果同时开6个售票口需20分钟。如果让队伍10分钟消失，那么要同时开几个售票口？

解：把一个售票口一分钟售票量作为1份， 则每分钟来的旅客为：（5×30－6×20）÷（30－20）＝3份

所以开始售票前有旅客： 5×30－30×3=60份 所以要十分钟队伍消失，要开（60＋3×10）÷10＝9个

7. 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照这样计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或可供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？

解：设一亿人一年消耗的能源是单位“1” 那么一年新生的能源是：

[210*90-110*90]/[210-90]=75单位

原来地球上的能源是：110*90-75*90=3150单位

要想使得人类不断生存下去，则每年消耗的能源最多就是每年新生的能源，那么最多的人口是：75/1=75亿人。

8、而女孩需3分钟才能到达。问该自动扶梯共有多少级?

(1) 第一种做法：

解：男孩逆向一共走了 27×3×2＝162 级 女孩逆向一共走了 24×3×3＝216 级 也就是电梯一分钟走 216－162＝54机 那么男孩就是多走了 54×2＝108级

（女孩多走了 54×3＝162级） 实际电梯 162-108＝54级 （216-162＝54）

(2)第二种做法：

女孩每20秒落后男孩27－24＝3级 2分钟后，落后男孩 3×3×2＝18级

这个18级，需要（3－2）＝1分钟走完 实际女孩走了 18×3＝54级

(3) 第三种做法：

设：电梯的速度x/秒, 共有Y 级 (24/20-x)*180=y

(27/20-x)*120=y

(24-20x)*3=(27-20x)*2

72-60X=54-40X

20X=18

X=18/20

Y=6/20*180=54

答：电梯共有54级

9. 由于天气逐渐变冷，牧场上草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天，则11头牛可以吃多少天？

解：设1头牛1天吃的草为1单位。 牧场上的草每天自然减少（20×5-16×6）÷（6-5）=4（单位）；

原来牧场有草（20+4）×5=120（单位）； 可供11头牛吃120÷（11+4）=8（天）。

10. 商场的自动滚梯以均匀的速度由下往上行驶着, 两个孩子嫌滚梯走的太慢，于是在行驶的滚梯上, 男孩每秒钟向上走1 级台阶，女孩每3秒向上走2级台阶，结果男孩用50秒到达搂上，女孩用了60秒到达搂上。问商场的自动滚梯共有多少级？

解：男孩50秒走了50×1＝50级； 女孩60秒走了60÷3×2＝40级；

女孩比男孩少走50－40＝10级， 但是都到达，所以在60－50＝10秒内电梯走了10级，

所以共有50÷10×10＋50＝100级