命题及其关系.充分条件与必要条件

第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

导学目标：

1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

自主梳理

1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是

原命题：若p则q(p⇒q)；

逆命题：若q则p(q⇒p)；

否命题：若綈p则綈q(綈p⇒綈q)；

逆否命题：若綈q则綈p(綈q⇒綈p)．

(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假性 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件． 自我检测

1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是( )

A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1

C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0

答案 C

解析 对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x∈R，x3>0是假命题．

2．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 a>0⇒|a|>0，|a|>0a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．

3．(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案 A 解析 对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．

4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的( )

A．逆否命题 B．逆命题

C．否命题 D．原命题

答案 C

解析 由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．

5．(2011·宜昌模拟)与命题“若a∈M，则bM”等价的命题是( )

A．若aM，则bM

B．若bM，则a∈M

C．若aM，则b∈M

D．若b∈M，则aM

答案 D

解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．

探究点一 四种命题及其相互关系

例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．

解题导引 给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．

解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．

(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．

逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．

变式迁移1 有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

答案 ①③

解析 ①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；

④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．

探究点二 充要条件的判断

例2 给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．

(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.

(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．

(3)p：m

(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．

解 (1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；

而(x－2)(x－3)＝0

x－2＝0.

∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；

但两个三角形全等⇒两个三角形相似．

∴p是q的必要不充分条件．

(3)∵m

方程x2－x－m＝0无实根m

∴p是q的充分不必要条件．

(4)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；

而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp.

∴p是q的充分不必要条件．

变式迁移2 (2011·邯郸月考)下列各小题中，p是q的充要条件的是( )

①p：m6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；

f－x②p：1；q：y＝f(x)是偶函数； fx

③p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β；

④p：A∩B＝A；q：∁UB⊆∁UA.

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

答案 D

解析 ①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4(m＋3)>0⇔q：m

π或m>6⇔p；②当f(x)＝0时，由qp；③若α，β＝kπ＋，k∈Z时，显然cos α＝cos β，但2

tan α≠tan β；④p：A∩B＝A⇔p：A⊆B⇔q：∁UA⊇∁UB.故①④符合题意．

探究点三 充要条件的证明

例3 设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．

证明 (1)必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，

222则x20＋2ax0＋b＝0，x0＋2cx0－b＝0，

b22两式相减可得x0＝x20＋2ax0＋b＝0， c－a

222可得b＋c＝a，故∠A＝90°，

(2)充分性：∵∠A＝90°，

22222∴b＋c＝a，b＝a－c2.①

将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，

可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，

即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.

将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，

可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.

故两方程有公共根x＝－(a＋c)．

所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

变式迁移3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

证明 (1)必要性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0.

∴a3＋b3＋ab－a2－b2

＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)

＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

(2)充分性：

∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

又ab≠0，∴a≠0且b≠0.

b3∵a2－ab＋b2＝(a－2b2>0. 24

∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.

综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

转化与化归思想的应用 例 (12分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件．

【答题模板】

解 ∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，

∴m≠0. [2分] 另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，两方程都要有实根，

Δ1＝161－m≥0，∴ 22Δ2＝16m－44m－4m－5≥0，

5解得m∈[－，1]． [6分] 4

∵两根为整数，故和与积也为整数，

mZ

∴4m∈Z4m－4m－5∈Z24 ，∴m为4的约数， [8分]

∴m＝－1或1，当m＝－1时，

第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数，

而当m＝1时，两方程均为整数根，

∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1. [12分]

【突破思维障碍】

本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．

【易错点剖析】

易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．

1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果„„，那么„„”

的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．

2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p与q是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p对q而言，还是q对p而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．

3．本节体现了转化与化归的数学思想．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2010·天津模拟)给出以下四个命题：

①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac

A．① B．② C．③ D．④

答案 C

解析 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．

π2．(2010·浙江)设0

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案 B

π解析 ∵0

∴xsin x

故 选B.

π13．(2009·北京)“α2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的( ) 62

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案 A

π1解析 由α＝＋2kπ(k∈Z)可得到cos 2α＝. 62

1π由cos 2α＝得2α＝2kπ±k∈Z)． 23

π∴α＝kπ±(k∈Z)． 6

1π所以cos 2α＝α＝＋2kπ(k∈Z)． 26

4．(2011·威海模拟)关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c

A．都真 B．都假

C．否命题真 D．逆否命题真

答案 D

解析 本题考查四种命题之间的关系及真假判断．

对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．

5．(2011·枣庄模拟)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析 A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4，a>4a>5，但a>5⇒a>4.故选B.

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________条件．

答案 充要

7．(2011·惠州模拟)已知p：(x－1)(y－2)＝0，q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则p是q的

____________条件．

答案 必要不充分

解析 由(x－1)(y－2)＝0得x＝1或y＝2，由(x－1)2＋(y－2)2 ＝0得x＝1且y＝2，所以由q能推出p，由p推不出q, 所以填必要不充分条件．

8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为

________．

答案 [3,8)

解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，

解得m≥3；又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，

解得m

三、解答题(共38分)

9．(12分)(2011·许昌月考)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

(1)若q

(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；

(3)若x2＋y2＝0，则x、y全为零．

解 (1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q

否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．

逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．(4分)

(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．

否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．

逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．(8分)

(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．

否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．

逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．(12分)

10．(12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a20，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．

解 设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2

B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0} ＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x2}

＝{x|x

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴綈q⇒綈p，且綈p綈q.

则{x|綈q}Ø{x|綈p}，(6分)

而{x|綈q}＝∁RB＝{x|－4≤x

{x|綈p}＝∁RA＝{x|x≤3a或x≥a，a

∴{x|－4≤x

(10分)

3a≥－2，a≤－4，则或(11分) a

2综上，可得－≤a

11．(14分)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.

证明 充分性：当q＝－1时，

a1＝S1＝p＋q＝p－1.(2分)

－当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－1)．

当n＝1时也成立．(4分)

an＋1pnp－1于是p(n∈N*)， anp－p－1

即数列{an}为等比数列．(6分)

必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.

－当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－1)．

∵p≠0，p≠1，

an＋1pnp－1∴p.(10分) anpp－1

∵{an}为等比数列，

pp－1aan＋1∴＝＝p，即＝p， a1anp＋q

即p－1＝p＋q.∴q＝－1.(13分) 综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．(14分)