2015中考山东青岛数学试题

青岛市二〇一五年初中学生学业考试

数 学 试 题

（考试时间：120分钟；满分：120分）

真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！

本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有24道题．第Ⅰ卷1—8题为选择题，共24分； 第Ⅱ卷9—14题为填空题，15题为作图题，16—24题为解答题，共96分． 要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．

第（Ⅰ）卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

下列每小题都给出标号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1．2的相反数是（ ）．

A ．-2

B ．2

C ．

1

2

D ．2

2．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001s，把0.000 000 001s用科学计数法可以表示为（ ）．

A ．0. 1⨯10s

-8

B ．0. 1⨯10s

-9

C ．1⨯10s

-8

D ．1⨯10s

-9

3．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．

4．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE =1，则BC =（ ）． A ．3 C ．3

B ．2 D ．3+2

5．小刚参加射击比赛，成绩统计如下表

A ．极差是2环 B ．中位数是8环 C ．众数是9环 D ．平均数是9环

6．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB =（ ） A ．30°

B ．35°

C ．45°

D ．60°

7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BC 相交于点O ，E 、F 分别是AB 、BC 边上的中点，连接

EF ，若

EF＝，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长为（ ）．

A ．4

B ．46 C．47

D ．

28

8. 如图，正比例函数y 1=k 1x 的图像与反比例函数y 2=

k 2

的图象相交于A 、B 两点，其中x

点A 的横坐标为2，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）． A．x ＜-2或x ＞2

B．x ＜-2或0＜x ＜2

C．-2＜x ＜0或0＜x ＜2 D．-2＜x ＜0或x ＞2 第Ⅱ卷

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9．计算：3a 3⋅a 2-2a 7÷a 2=________.

10．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的

1

，那么 3

点A 的对应点A ＇的坐标是＿＿＿＿＿＿＿．

11．把一个长、宽、高分别为3cm 、2cm 、1cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S （cm ）与高h (cm ) 之间的函数关系是为_________________________

12．如图，平面直角坐标系的原点O 是正方形ABCD 的中心，顶点A ，B 的坐标分别为（1,1）、（-1,1），

把正方形ABCD 绕原点O 逆时针旋转45°得到正方形A ＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇则正方形ABCD 与正方形A ＇Ｂ＇Ｃ＇

2

Ｄ＇ 重叠部分形成的正八边形的边长为_____________________°．

13．如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E=30°，则∠F= ．

14．如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小正方体，王亮所搭几何体表面积为________________. 三、作图题（本题满分4分）

用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15．已知：线段c ，直线l 及l 外一点A ．

求作：Rt △ABC ，使直角边为AC （AC ⊥l ，垂足为C ）斜边AB ＝c ．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16．（本小题满分8分，每题4分）

2n +1n 2-1

+n ) ÷（1）化简：(； n n

（2）关于x 的一元二次方程 2x +3x -m =0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围 17．（本小题满分6分）

某小学为了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：

2

（1）补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中扇形D 的圆心角的度数；

（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？

18．（本小题满分6分）

小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字。若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜。这个游戏对双方公平吗？请说明理由。

19．（本小题满分6分）

小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°

和35°，已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m 。请求出热气球离地面的高度。

（结果保留整数，参考数据：sin 35︒≈

757

， cos 35︒≈，tan 35︒≈ 12610

20．（本小题满分8分）

某厂制作甲、乙两种环保包装盒。已知同样用6m 的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料。 （1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？

（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度l (m ) 与甲盒数量n (个) 之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料。

21．（本小题满分8分）

已知：如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，AE ∥BC ，CE ⊥AE ；垂足为E ． （1）求证：△ABD ≌△CAE ；

（2）连接DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？ 请证明你的结论．

22．（本小题满分10分）

如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y =-

12

x +bx +c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3m ，6

到地面OA 的距离为

17

m 。 2

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

23．（本小题满分10分）

问题提出：用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

问题探究：不妨假设能搭成m 种不同的等腰三角形，为探究m 与n 之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 探究一：

（1）用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形。所以，当n =3时，m =1 （2）用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形 所以，当n =4时，m

=0

（3）用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当n =5时，m =1

（4）用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当n =6时，m =1 综上所述，可得表①

探究二：

（1）用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）

（2）分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

（只需把结果填在表②中）

你不妨分别用11

解决问题：用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

（设n 分别等于4k -1、4k 、4k +1、4k +2，其中k 是整数，把结果填在表③中）

问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

（要求写出解答过程）

其中面积最大的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒。（只填结果） 24．（本小题满分12分）

已知：如图①，在□ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝5cm ．AC ⊥AB 。△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到 △PNM ，速度为1cm/s；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1cm/s，当△

PNM 停止平移时，点Q 也停止运动．如图②，设运动时间为t (s)（0＜t ＜4）．解答下列问

题：

（1）当t 为何值时，PQ ∥MN ？

2

（2）设△QMC 的面积为y (cm) ，求y 与t 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4？若存在，求出t 的值； 若不存在，请说明理由．

（4）是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择

四、解答题

(n +1) 2n n +1

16、（1）原式= ⨯=

n (n -1)(n +1) n -1

（2）由题知∆=32-4⨯2⨯(-m ) ＞9，解得m ＞-

99

，答：m 的取值范围是m ＞- 88

17、（1） （2）360︒⨯

3

=27︒ 40

（3）2000⨯(25%+30%+35%)=1800 18、解：

共有16P (数字之和＞5）=

3163

=，因为≠，所以不公平。

82168

19，解：如图，作AD ⊥CB 延长线于点D 由题知：∠ACD=35°、∠ABD=45° 在Rt △ACD 中，∠ACD=35° tan 35︒=

AD 710

≈ 所以CD =AD CD 107

在Rt △ABD 中，∠ABD=45° tan 45︒=

AD

=1 所以BD =AD BD

由题BC =CD -DB =100 所以

10

AD -AD =100 7

解得AD ≈233m 答：热气球到地面的距离约为233米 20，解：（1）设制作每个乙盒用x 米材料，则制作甲盒用（1+20%）x 米材料 由题可得：

66

-=2 解得x =0. 5（米） x (1+20%)x

经检验x =0. 5是原方程的解，所以(1+20%)x =0. 6 答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料

⎧n ≥2(3000-n )

（2）由题⎨ ∴2000≤n ≤3000

n ≤3000⎩

l =0. 6n +0. 5(3000-n ) =0. 1n +1500

∵k =0. 1＞0，∴l 随n 增大而增大，∴当n =2000时，l 最小=1700 21:，（1）证明：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB 又因为AD 是BC 边上的中线 所以AD ⊥BC ，即∠ADB=90° 因为AE ∥BC 所以∠EAC=∠ACB 所以∠B=∠EAC

∵CE ⊥AE ∴∠CEA=90° ∴∠CEA=∠ADB

又AB=AC ∴△ABD ≌△CAE （AAS ） （2）AB ∥DE 且AB=DE。

由（1）△ABD ≌△CAE 可得AE=BD， 又AE ∥BD ，所以四边形ABDE 是平行四边形 所以AB ∥DE 且AB=DE

22，解：（1）由题知点B (0, 4), C (3,

17

) 在抛物线上 2

⎧c =4

⎧b =212⎪

y =-x +2x +4 所以⎨17，解得，所以1⎨

6c =4=-⨯9+3b +c ⎩⎪6⎩2

所以，当x =-

答：y =-b =6时，y 最大=10 2a 12x +2x +4，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 6

22＞6，所以可以通过 3 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x =2(或x =10) 时，y =

（3）令y =8，即-12x +2x +4=8，可得x 2-12x +24=0，解得6

x 1=6+2, x 2=6-23 x 1-x 2=4 答：两排灯的水平距离最小是43

23，解：探究二

（1）若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形

若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形

若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形

所以，当n =7时，m =2

问题应用：∵2016=4 672 24，解：（1）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =

由平移性质可得MN ∥AB

因为PQ ∥MN ，所以PQ ∥AB ，所以BC 2-AB 2=4 CP CQ 4-t t 20==，解得t =，即 CA CB

459

（2）作PD ⊥BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E

由S ∆ABC =

则由勾股定理易求CE =

因为PD ⊥BC ，AE ⊥BC

所以AE ∥PD ，所以△CPD ∽△CAE 1112AB ⨯AC =AE ⨯BC 可得AE = 22516 5

所以4-t CD PD CP CD PD ====，即（备注，粗略通读题，用得着的计算一并先算16124CA CE AE

55

12-3t 16-4t ，CD = 55

12-3t 5出） 求得：PD =因为PM ∥BC ，所以M 到BC 的距离h =PD =

所以，△QCM 是面积y =1112-3t 36CQ ⨯h =⨯t ⨯=-t 2+t 225105

（3）因为PM ∥BC ，所以S ∆PQ C =S ∆M Q C

若S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4，则S △QMC ∶S △ABC ＝1∶5

即：-3261t +t =⨯6，整理得：t 2-4t +4=0，解得t =2 1055

答：当t=2时，S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4

（4）若PQ ⊥MQ ，则∠MDQ=∠PDQ=90°

因为MP ∥BC ，所以∠MPQ=∠PQD ，

所以△MQP ∽△PDQ ，所以PM PQ ，所以PQ 2=PM ⨯DQ =PQ DQ

16-4t 16-9t ，所以DQ = CD-CQ= 5522 即：PD +DQ =PM ⨯DQ ，由CD =

故(12-3t 216-9t 216-9t 2) +() =5⨯，整理得2t -3t =0 555

3 2 解得t 1=0(舍), t 2=

答：当t =

3时，PQ ⊥MQ 。 2